সমাধান — অধ্যায় ০.৪ · Calculus II — Integration¶

অধ্যায় ফাইল: part-0-foundations/00-04-calculus-2-integration.md (§৭ অনুশীলনী)। সব সংখ্যাগত উত্তর scipy.integrate ও sympy দিয়ে যাচাই করা হয়েছে।

ক · ধারণাগত (conceptual)¶

সমাধান ১ (★)¶

continuous random variable-এর probability একটি density curve $f(x)$-এর নিচের area হিসেবে সংজ্ঞায়িত: $$ P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx. $$ "ঠিক একটি নির্দিষ্ট মান $c$ নেওয়া" মানে $a = b = c$ — অর্থাৎ শূন্য-প্রস্থের একটি ব্যবধান। শূন্য-প্রস্থ rectangle-এর area শূন্য, তাই $$ P(X = c) = \int_c^c f(x)\,dx = 0. $$ কিন্তু একটি প্রকৃত range $[a, b]$ ($a < b$)-এ প্রস্থ ধনাত্মক, তাই নিচের area (এবং তাই probability) ধনাত্মক। insight (অন্তর্দৃষ্টি): continuous ক্ষেত্রে অসীম সম্ভাব্য মান থাকে; কোনো একটি বিন্দু মোট area-র এক "টুকরো"ও দখল করে না — probability জমা হয় শুধু একটি ব্যবধান জুড়ে।

সমাধান ২ (★)¶

definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা — $a$ থেকে $b$ পর্যন্ত curve-এর নিচের signed area।
indefinite integral $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ একটি function (antiderivative-দের পরিবার), যার derivative আবার $f$।

"$+C$" শুধু indefinite-এ থাকে কারণ একটি function-এর অসীম-সংখ্যক antiderivative আছে — যেকোনো দুটির পার্থক্য একটি ধ্রুবক (ধ্রুবকের derivative $0$)। definite integral-এ FTC প্রয়োগে $F(b) - F(a)$ নিলে এই $C$ বিয়োগে কাটাকাটি হয়ে যায় ($\,(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a)\,$), তাই উত্তরে $C$ থাকে না।

সমাধান ৩ (★★)¶

FTC-র দুটি বিবৃতি:

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (যেখানে $F' = f$) — অর্থ: integration (সঞ্চয়) করতে হলে একটি antiderivative-ই যথেষ্ট; "differentiation উল্টে" গেলে integral পাওয়া যায়।
$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ — অর্থ: area জমা হওয়ার তাৎক্ষণিক হার সেই বিন্দুর function মান; "integration-এর পর differentiation" করলে আদি function ফিরে আসে।

একসাথে এরা দেখায় differentiation ও integration একটি অন্যটিকে বাতিল করে — তাই পরস্পরের বিপরীত (inverse) প্রক্রিয়া।

খ · গণনামূলক (computational)¶

সমাধান ৪ (★)¶

(ক) $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$। antiderivative $F(x) = x^2 + x$। $$ F(3) - F(1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = \boxed{10}. $$

(খ) $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$। antiderivative $-\cos x$। $$ \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = \boxed{2}. $$

(গ) $\displaystyle\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx$। antiderivative $\ln\lvert x\rvert$। $$ \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = \boxed{1}. $$

সমাধান ৫ (★★)¶

$\displaystyle\int_0^2 x\,e^{x^2}\,dx$। ধরি $u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \tfrac12\,du$। সীমা: $x=0\Rightarrow u=0$, $x=2\Rightarrow u=4$। $$ \int_0^2 x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int_0^4 e^{u}\,du = \frac12\big[e^u\big]_0^4 = \frac{e^4 - 1}{2} \approx \boxed{26.799}. $$ (sympy: $-\tfrac12 + \tfrac{e^4}{2}$; সংখ্যাগতভাবে $26.79908$।)

সমাধান ৬ (★★)¶

$\displaystyle\int_1^{e} \ln x\,dx$। by parts: $u = \ln x,\ dv = dx \Rightarrow du = \tfrac{1}{x}dx,\ v = x$। $$ \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C. $$ সীমা প্রয়োগ: $$ \big[x\ln x - x\big]_1^{e} = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = \boxed{1}. $$

সমাধান ৭ (★★)¶

$\displaystyle\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx$ ($\lambda > 0$)। antiderivative $-e^{-\lambda x}$। $$ \int_0^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lim_{t\to\infty}\big[-e^{-\lambda x}\big]0^{t} = \lim\big). $$ }\big(-e^{-\lambda t} + e^{0$\lambda > 0$ হওয়ায় $e^{-\lambda t} \to 0$ যখন $t\to\infty$, তাই মান $= 0 + 1 = \boxed{1}$। অতএব rate-$\lambda$ Exponential density-র মোট area $1$ — এটি বৈধ (normalized) density। (sympy: $1$।)

গ · প্রমাণভিত্তিক (proof-based)¶

সমাধান ৮ (★★) — linearity¶

definite integral-এর Riemann-sum সংজ্ঞা ব্যবহার করি। একই partition ও একই প্রতিনিধি বিন্দু $x_i^\*$, প্রস্থ $\Delta x$-এর জন্য: $$ \int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big)\,dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \big(\alpha f(x_i^*) + \beta g(x_i^*)\big)\,\Delta x. $$ সসীম যোগফল $\sum$ নিজেই linear (distributive + ধ্রুবক বের করা যায়): $$ = \lim_{n\to\infty}\left( \alpha \sum_i f(x_i^*)\Delta x + \beta \sum_i g(x_i^*)\Delta x \right). $$ limit-ও linear (যোগের limit = limit-এর যোগ; ধ্রুবক গুণিতক বাইরে আনা যায়), তাই $$ = \alpha \lim_{n\to\infty}\sum_i f(x_i^*)\Delta x + \beta \lim_{n\to\infty}\sum_i g(x_i^*)\Delta x = \alpha \int_a^b f\,dx + \beta \int_a^b g\,dx. \qquad\blacksquare $$ (বিকল্প, সহজ পথ: $f,g$-এর antiderivative $F,G$ হলে $\alpha F + \beta G$ হলো $\alpha f + \beta g$-এর antiderivative; FTC প্রয়োগ করে সরাসরি ফল।)

সমাধান ৯ (★★★) — additivity¶

$F$-কে $f$-এর একটি antiderivative ধরি ($F' = f$, $f$ continuous বলে আছে)। FTC Part 1 প্রতিটি টুকরোয় প্রয়োগ করি: $$ \int_a^c f\,dx = F(c) - F(a), \qquad \int_c^b f\,dx = F(b) - F(c). $$ যোগ করি — মাঝের $F(c)$ কাটাকাটি (telescoping): $$ \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx = \big(F(c) - F(a)\big) + \big(F(b) - F(c)\big) = F(b) - F(a) = \int_a^b f\,dx. \qquad\blacksquare $$ insight (অন্তর্দৃষ্টি; area দিয়ে): $a$ থেকে $b$ পর্যন্ত নিচের area-কে $x=c$ রেখায় কেটে দুই টুকরো করলে দুই টুকরোর area যোগ করলে মূলটাই ফেরে — overlap নেই, ফাঁক নেই। (এই additivity Part II-তে probability-র countable additivity-র দিকে ইঙ্গিত দেয়।)

ঘ · কোডিং (coding)¶

সমাধান ১০ (★)¶

import numpy as np

def riemann_sum(f, a, b, n, rule="mid"):
    edges = np.linspace(a, b, n + 1)
    dx = (b - a) / n
    if rule == "left":   x_star = edges[:-1]
    elif rule == "right": x_star = edges[1:]
    else:                 x_star = 0.5 * (edges[:-1] + edges[1:])
    return np.sum(f(x_star) * dx)

f = lambda x: 4 * x**3          # ∫_0^1 4x^3 dx = [x^4]_0^1 = 1
for r in ["left", "right", "mid"]:
    print(f"{r:5s}: {riemann_sum(f, 0, 1, 1000, r):.6f}")

আউটপুট:

left : 0.998001
right: 1.002001
mid  : 0.999999

মান $1$-এর সবচেয়ে কাছে: mid (midpoint rule)। ব্যাখ্যা: $f(x) = 4x^3$ $[0,1]$-তে কঠোরভাবে বাড়ন্ত (increasing)। প্রতিটি টুকরোয় left প্রান্ত function-এর সবচেয়ে ছোট মান, তাই left sum প্রতিটি rectangle-এ আসল area-র কম নেয় → কম-আনুমান ($0.998 < 1$)। right প্রান্ত সবচেয়ে বড় মান → বেশি-আনুমান ($1.002 > 1$)। midpoint কম ও বেশি ভুলের মাঝামাঝি পড়ে, তাই error প্রায় কাটাকাটি হয়ে যায় — অনেক বেশি নিখুঁত (error $\sim 10^{-6}$ বনাম $\sim 2\times 10^{-3}$)। বাড়ন্ত function-এ left ও right তাই দুই বিপরীত দিকে ভুল করে।

সমাধান ১১ (★★)¶

import numpy as np
from scipy import integrate
import sympy as sp

# numeric (quad)
val, _ = integrate.quad(lambda x: x**2 * np.exp(-x**2/2) / np.sqrt(2*np.pi),
                        -np.inf, np.inf)
print("quad  :", val)          # 1.0000000000000011

# symbolic (sympy)
x = sp.symbols('x')
res = sp.integrate(x**2 * sp.exp(-x**2/2) / sp.sqrt(2*sp.pi), (x, -sp.oo, sp.oo))
print("sympy :", res)          # 1

আউটপুট:

quad  : 1.0000000000000011
sympy : 1

দুই উত্তর একই: $1$। এটি standard normal distribution-এর variance — $$ \mathrm{Var}(Z) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx = 1, $$ কারণ $\mathbb{E}[Z]=0$, তাই $\mathrm{Var}(Z) = \mathbb{E}[Z^2] = 1$। (quad-এর শেষ অঙ্কের সামান্য বিচ্যুতি numeric rounding; symbolic-ই হুবহু $1$।)

সমাধান ১২ (★★★)¶

import numpy as np
from scipy import integrate

f = lambda y, x: x + y     # joint density f(x,y) = x + y on [0,1]^2

# (1) বৈধ density? মোট integral = 1 হওয়া চাই
total, _ = integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: 0, lambda x: 1)
print("total integral :", total)        # 1.0

# (2) P(X + Y <= 1): ত্রিভুজ অঞ্চল, ভেতরের সীমা y: 0 -> 1-x
p, _ = integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: 0, lambda x: 1 - x)
print("P(X+Y<=1)      :", p)             # 0.3333333333333333

আউটপুট:

total integral : 1.0
P(X+Y<=1)      : 0.3333333333333333

(1) মোট integral $$ \int_0^1!!\int_0^1 (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1!\Big[xy + \tfrac{y^2}{2}\Big]_0^1 dx = \int_0^1!\big(x + \tfrac12\big)dx = \Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x}{2}\Big]_0^1 = \tfrac12 + \tfrac12 = 1. $$ সুতরাং $f$ একটি বৈধ joint density।

(2) ত্রিভুজাকার অঞ্চল $\{(x,y): x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1\}$-এর ওপর: $$ P(X+Y\le 1) = \int_0^1!!\int_0^{1-x} (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1!\Big[xy + \tfrac{y^2}{2}\Big]_0^{1-x} dx = \int_0^1!\Big(x(1-x) + \tfrac{(1-x)^2}{2}\Big)dx. $$ ভেতরের রাশি সরল করি: $x - x^2 + \tfrac12(1 - 2x + x^2) = \tfrac12 - \tfrac12 x^2$। তাই $$ P(X+Y\le 1) = \int_0^1\Big(\tfrac12 - \tfrac12 x^2\Big)dx = \Big[\tfrac{x}{2} - \tfrac{x^3}{6}\Big]_0^1 = \tfrac12 - \tfrac16 = \boxed{\tfrac13}. $$ সংখ্যাগত ($0.3333$) ও হাতে-করা ($1/3$) মিলছে। এটি joint density-তে একটি অঞ্চলের probability = সেই অঞ্চলের double integral — Part II-এর সরাসরি পূর