অধ্যায় ০.৪ · Calculus II — Integration¶

১ · ভূমিকা ও insight (অন্তর্দৃষ্টি)¶

গত অধ্যায়ে (0.3) আমরা derivative (তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার) শিখেছি — একটি curve-এর কোনো বিন্দুতে slope কত। এই অধ্যায়ে আমরা ঠিক উল্টো প্রশ্ন করব: একটি curve-এর নিচে কতটুকু জায়গা (area) আছে? এই area বের করার গাণিতিক যন্ত্রের নাম integral (বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল / accumulation বা সঞ্চয়)।

কেন statistics-এ এটি অপরিহার্য? একটি গল্প দিয়ে শুরু করি।

ধরুন আপনি একটা শহরের সব প্রাপ্তবয়স্ক মানুষের উচ্চতা মাপলেন। উচ্চতা একটি continuous রাশি — কেউ ১৭০.০ cm, কেউ ১৭০.০০০৩ cm। এমন রাশির ক্ষেত্রে "ঠিক ১৭০.০০০০... cm লম্বা হওয়ার probability কত?" — এই প্রশ্নের উত্তর কার্যত শূন্য (অসীম সম্ভাব্য মান, প্রতিটির ভাগে কিছুই পড়ে না)। তাহলে আমরা প্রশ্নটা পাল্টাই: "উচ্চতা ১৬৮ থেকে ১৭২ cm-এর মধ্যে হওয়ার probability কত?" — এর উত্তর দেওয়া যায়।

continuous রাশির জন্য আমরা একটি probability density function (সংক্ষেপে density, বা pdf — সম্ভাব্যতার ঘনত্ব) আঁকি: একটি মসৃণ curve $f(x)$। আর তখন—

probability = density curve-এর নিচের area।

অর্থাৎ "১৬৮ থেকে ১৭২-এর মধ্যে থাকার probability" = $f(x)$ curve-এর $x=168$ থেকে $x=172$ পর্যন্ত নিচের area। এই area-ই integral। এজন্যই continuous probability, expectation (গড়), variance — Part II-র প্রায় সব কিছুই integral দিয়ে লেখা হয়। density যদি integral-এর ভাষা না বুঝি, তবে continuous distribution কখনোই পরিষ্কার হবে না।

Hook — দূরত্ব ও গতি। একটা গাড়ির speedometer প্রতি মুহূর্তে গতি (speed) দেখায়। ১ ঘণ্টায় গাড়ি কত দূর গেল? যদি গতি সারাক্ষণ ৬০ km/h থাকত, উত্তর সহজ: $60 \times 1 = 60$ km — অর্থাৎ "গতি × সময়", যা একটা আয়তক্ষেত্রের (rectangle) ক্ষেত্রফল (উচ্চতা ৬০, প্রস্থ ১)। কিন্তু গতি যদি ওঠা-নামা করে? তখন আমরা সময়কে অনেক ছোট ছোট টুকরোয় ভাগ করি, প্রতিটি টুকরোয় গতি প্রায় ধ্রুবক ধরে ছোট ছোট দূরত্ব যোগ করি — এটাই Riemann sum, আর টুকরোগুলো অসীম সূক্ষ্ম করলে যা পাই তা-ই integral। গতি-সময় curve-এর নিচের area = মোট দূরত্ব। ঠিক এই "ছোট টুকরো যোগ করে সঞ্চয়" ধারণাটাই density-র নিচের area = probability হিসেবে ফিরে আসবে।

২ · মূল ধারণা ও সংজ্ঞা¶

২.১ area-কে rectangle দিয়ে আনুমানিক করা — Riemann sum¶

ধরা যাক একটি function $f(x)$ আছে যা $[a, b]$ ব্যবধানে (interval) ধনাত্মক ও মসৃণ। আমরা চাই $f$-এর curve, $x$-অক্ষ, এবং উল্লম্ব রেখা $x=a$ ও $x=b$ দিয়ে ঘেরা area।

curve-এর নিচের আকৃতি বাঁকা, তাই সরাসরি area-র সূত্র নেই। কৌশল: এই area-কে অনেকগুলো সরু rectangle দিয়ে ঢেকে দিই, কারণ rectangle-এর area জানি ($=$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা)।

ধাপগুলো (notation বাংলায় খোলা হলো):

$[a,b]$-কে $n$ টি সমান টুকরোয় ভাগ করি। প্রতিটি টুকরোর প্রস্থ $$\Delta x = \frac{b-a}{n}.$$ এখানে $\Delta x$ ("ডেল্টা x") মানে $x$-অক্ষে এক টুকরোর প্রস্থ।
ভাগ-বিন্দুগুলো (partition points): $x_0 = a,\ x_1 = a + \Delta x,\ x_2 = a + 2\Delta x, \dots,\ x_n = b$। সাধারণভাবে $x_i = a + i\,\Delta x$।
প্রতিটি টুকরোয় একটি height বাছি — function-এর মান কোনো একটি প্রতিনিধি বিন্দু $x_i^\*$-তে, অর্থাৎ $f(x_i^\*)$। সেই টুকরোর rectangle-এর area $= f(x_i^\*)\,\Delta x$।
সব rectangle-এর area যোগ করি: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x. $$ এই যোগফল $S_n$-ই Riemann sum (রিমান যোগফল — area-র আনুমানিক মান)।

প্রতিনিধি বিন্দু $x_i^\*$ কোথায় নেব, তার ওপর তিনটি প্রচলিত নাম: - left Riemann sum — প্রতিটি টুকরোর বাম প্রান্ত: $x_i^\* = x_{i-1}$। - right Riemann sum — ডান প্রান্ত: $x_i^\* = x_i$। - midpoint rule — টুকরোর মাঝবিন্দু: $x_i^\* = \tfrac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ (সাধারণত সবচেয়ে নির্ভুল)।

২.২ definite integral — limit হিসেবে সংজ্ঞা¶

rectangle যত সরু হবে ($n$ যত বড়, $\Delta x$ যত ছোট), আনুমানিক area তত নিখুঁত হবে। $n \to \infty$ সীমায় (limit) এই যোগফল একটি নির্দিষ্ট মানে স্থির হয় — সেটাই definite integral:

\[ \boxed{\ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\*)\,\Delta x\ } \]

notation-এর প্রতিটি টুকরো বাংলায়: - $\displaystyle\int$ — "integral sign", আসলে S (sum) অক্ষরের লম্বা রূপ; "যোগ করো" বলছে। - $a$ (নিচে) ও $b$ (উপরে) — limits of integration (নিম্ন ও ঊর্ধ্ব সীমা): কোথা থেকে কোথা পর্যন্ত যোগ। - $f(x)$ — integrand (যে function-এর area নিচ্ছি)। - $dx$ — অসীম সূক্ষ্ম প্রস্থ $\Delta x$-এর limit রূপ; "$x$ বরাবর যোগ করছি" তা মনে করায়, আর কোন variable-এ integrate করছি তা জানায়।

এই $\int_a^b f(x)\,dx$ একটি সংখ্যা (number) — $a$ থেকে $b$ পর্যন্ত curve-এর নিচের signed area।

signed area (চিহ্নিত ক্ষেত্রফল)। integral কেবল "জায়গা" নয়, চিহ্নসহ জায়গা। $f(x)$ যেখানে $x$-অক্ষের উপরে (ধনাত্মক), সেই area ধনাত্মক হিসেবে যোগ হয়; যেখানে $f(x)$ অক্ষের নিচে (ঋণাত্মক), সেই area ঋণাত্মক হিসেবে বিয়োগ হয়। যেমন $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$ — উপরের ও নিচের area পরস্পর কাটাকাটি করে ফেলে (§৬-এ ছবি)।

কখন এই limit আসলেই থাকে? Part 0-তে আমরা ধরে নেব $f$ যথেষ্ট ভালো (যেমন continuous বা টুকরো-টুকরো continuous) — তখন integral সর্বদা থাকে। কোন function-এর integral থাকে আর কোনটির থাকে না — সেই rigorous প্রশ্ন (Riemann বনাম Lebesgue integrability) Part VII-এ।

২.৩ antiderivative ও indefinite integral¶

একটি function $F(x)$-কে $f(x)$-এর antiderivative (প্রতি-অন্তরকলজ) বলি যদি $F'(x) = f(x)$ হয়। অর্থাৎ derivative নিলে $F$ ফিরে $f$ হয়ে যায়।

উদাহরণ: $f(x) = x^2$-এর একটি antiderivative $F(x) = \tfrac{x^3}{3}$, কারণ $\frac{d}{dx}\tfrac{x^3}{3} = x^2$। লক্ষ করুন $\tfrac{x^3}{3}+5$-ও antiderivative — ধ্রুবকের (constant) derivative শূন্য। তাই antiderivative একটি অজানা ধ্রুবক $C$ সহ লেখা হয়:

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \qquad (\text{indefinite integral — সীমাহীন integral}). \]

এখানে সীমা নেই, ফল একটি function (definite integral-এর মতো সংখ্যা নয়)। $C$-কে constant of integration বলে।

কিছু মৌলিক antiderivative (এগুলো derivative-এর নিয়ম উল্টো করেই পাওয়া, 0.3 মনে করুন):

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^n\ (n\neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$

২.৪ Fundamental Theorem of Calculus (FTC)¶

কেন antiderivative গুরুত্বপূর্ণ? কারণ Fundamental Theorem of Calculus (ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য) দেখায় যে definite integral গণনা করতে limit-এর সেই কষ্টকর যোগফল লাগে না — শুধু একটি antiderivative দরকার।

Part 1 (antiderivative দিয়ে integral গণনা)। যদি $F$ হয় $f$-এর একটি antiderivative ($F' = f$), তবে $$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). $$ ডান পক্ষকে সংক্ষেপে $\big[F(x)\big]_a^b$ লেখা হয় ("$F$-এর মান $b$-তে বিয়োগ $F$-এর মান $a$-তে")।

Part 2 (integral দিয়ে antiderivative)। "চলমান উপরের সীমা" দিয়ে একটি area-function বানাই: $$ A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad A'(x) = f(x). $$ অর্থাৎ area জমা হওয়ার তাৎক্ষণিক হার = সেই বিন্দুর function মান।

এই দুই অংশ একসাথে যা বলে তা গভীর ও সুন্দর:

integration ও differentiation পরস্পরের বিপরীত (inverse) প্রক্রিয়া। একটায় সঞ্চয় করি, অন্যটায় হার বের করি — একটি অন্যটাকে বাতিল করে দেয়।

(integration variable হিসেবে এখানে $t$ ব্যবহার করেছি যাতে উপরের সীমার $x$-এর সাথে গুলিয়ে না যায়; integration variable একটি "dummy" — নাম যা-ই হোক, integral-এর মান বদলায় না।)

২.৫ improper integral — অসীম সীমা¶

statistics-এ density প্রায়ই পুরো বাস্তব সংখ্যারেখায় (whole real line) ছড়ানো — যেমন normal distribution $-\infty$ থেকে $+\infty$ পর্যন্ত। তখন সীমা অসীম, একে improper integral (অপ্রকৃত integral) বলি। সংজ্ঞা একটা limit দিয়ে: $$ \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^{t} f(x)\,dx, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{s\to-\infty}\lim_{t\to\infty} \int_{s}^{t} f(x)\,dx. $$ limit-টি একটি সসীম (finite) সংখ্যায় পৌঁছালে integral converges (অভিসারী), নাহলে diverges (অপসারী)। উদাহরণ: $\int_0^\infty e^{-x}\,dx$ converges (মান $1$); কিন্তু $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$ diverges।

২.৬ double integral — volume-এর সংক্ষিপ্ত পরিচয়¶

এক variable-এর integral curve-এর নিচের area দেয়। দুই variable-এর function $f(x,y)$ একটি surface (তল) — একটা পাহাড়ের মতো। তখন integral সেই surface-এর নিচের volume (আয়তন) দেয়। একে double integral বলি: $$ \iint_{R} f(x,y)\,dA = \lim \sum_{i,j} f(x_i^*, y_j^*)\,\Delta x\,\Delta y. $$ ভাবুন: তল-অঞ্চল $R$-কে ছোট ছোট আয়তাকার টালি (tile) $\Delta x \times \Delta y$-তে ভাগ করি; প্রতিটি টালির ওপর একটি সরু "স্তম্ভ" (column) দাঁড় করাই যার উচ্চতা $f(x_i^\*, y_j^\*)$; স্তম্ভের আয়তন $=$ উচ্চতা $\times$ ভিত্তির area; সব যোগ করে limit নিই — পাই volume।

বাস্তবে double integral গণনা করি iterated integral (পুনরাবৃত্ত integral) হিসেবে — একবারে এক variable: $$ \iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{c}^{d}!!\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy. $$ ভেতরের integral-এ $y$-কে ধ্রুবক ধরে শুধু $x$-এ integrate করি (একটা "টুকরো" বা slice-এর area), তারপর সেই ফলকে $y$-তে integrate করি (slice-গুলো জুড়ে volume)। statistics-এ দুটি random variable একসাথে থাকলে তাদের joint density $f(x,y)$ হয়, আর "দুটোই কোনো অঞ্চলে পড়ার probability" = সেই অঞ্চলের ওপর double integral।

৩ · পূর্ণাঙ্গ উদাহরণ¶

উদাহরণ ১ — Riemann sum হাতে গণনা ও limit মিলিয়ে দেখা¶

$f(x) = x^2$-এর $[0, 2]$-তে area, $n = 4$ rectangle দিয়ে right Riemann sum দিয়ে আনুমানিক করি।

প্রস্থ: $\Delta x = \dfrac{2-0}{4} = 0.5$।
ডান প্রান্ত বিন্দু: $x_1 = 0.5,\ x_2 = 1.0,\ x_3 = 1.5,\ x_4 = 2.0$।
উচ্চতা $f(x_i) = x_i^2$: $0.25,\ 1.0,\ 2.25,\ 4.0$।
যোগফল: $$ S_4 = (0.25 + 1.0 + 2.25 + 4.0)\times 0.5 = 7.5 \times 0.5 = 3.75. $$

এখন FTC দিয়ে সঠিক মান: $x^2$-এর antiderivative $\tfrac{x^3}{3}$, তাই $$ \int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{8}{3} - 0 = 2.6667. $$ $S_4 = 3.75$ একটু বেশি (right sum, তাই overestimate)। $n$ বাড়ালে $S_n \to 2.6667$, অর্থাৎ $\int_0^2 x^2\,dx = 8/3$ (§৫-এর Riemann sum code-এ এই অভিসরণ সংখ্যায় যাচাই করা আছে)।

উদাহরণ ২ — substitution: $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$¶

substitution (প্রতিস্থাপন) হলো chain rule-এর উল্টো। একটি ভেতরের অংশকে নতুন variable $u$ ধরি।

ধরি $u = x^2$। তাহলে $\dfrac{du}{dx} = 2x$, অর্থাৎ $du = 2x\,dx$ — ঠিক integrand-এ $2x\,dx$ অংশটি আছে! সীমাও বদলাই: $x=0 \Rightarrow u=0$, $x=1 \Rightarrow u=1$। $$ \int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^{u}\,du = \big[e^{u}\big]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.7183. $$ (§৫-এ scipy ও sympy উভয়েই $1.7183$ নিশ্চিত করেছে।)

উদাহরণ ৩ — integration by parts: $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$¶

integration by parts (অংশে অংশে integration) হলো product rule-এর উল্টো। সূত্র: $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du. $$ লক্ষ্য: এমনভাবে $u$ ও $dv$ ভাগ করা যাতে নতুন integral $\int v\,du$ সহজ হয়। এখানে $u = x$ (derivative নিলে সরল হয়ে $1$ হয়), $dv = e^x\,dx$ (integrate করলে $v = e^x$)। $$ du = dx, \qquad v = e^x. $$ $$ \int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (1\cdot e^1 - 0) - \big[e^x\big]_0^1 = e - (e - 1) = 1. $$ ফল ঠিক $1$ (§৫-এ নিশ্চিত)। ভাগ উল্টো করলে (যেমন $u=e^x,\ dv=x\,dx$) integral আরও জটিল হতো — তাই কোনটাকে $u$ ধরব, সেই বাছাই-ই কৌশল। (একটি সহায়ক নিয়ম: LIATE — Log, Inverse-trig, Algebraic, Trig, Exponential — এই ক্রমে আগেরটিকে $u$ ধরা সুবিধাজনক।)

উদাহরণ ৪ — improper integral ও density normalization¶

statistics-এ অপরিহার্য একটি ফল: Exponential distribution-এর density $f(x) = e^{-x}$ ($x \ge 0$, নাহলে $0$)। এটি বৈধ density হতে হলে মোট area $1$ হওয়া চাই: $$ \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{t\to\infty}\big[-e^{-x}\big]0^{t} = \lim\big) = 0 + 1 = 1. \checkmark $$ এটাই }\big(-e^{-t} + e^{0normalization — density-র নিচের মোট area সর্বদা $1$ (মোট probability $=1$)।

এবার expectation (গড় মান) — density-কে $x$ দিয়ে গুণ করে integrate: $$ \mathbb{E}[X] = \int_0^{\infty} x\,e^{-x}\,dx = 1 $$ (integration by parts দিয়ে; §৫-এ যাচাই)। অর্থাৎ Exponential$(1)$-এর গড় $1$। এই দুটি গণনা ($\int f = 1$ আর $\int x f = \mathbb{E}[X]$) Part II-তে অবিকল এভাবেই ফিরে আসবে।

৪ · প্রমাণ ও derivation (উৎপাদন)¶

৪.১ FTC Part 1 — কেন $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ (difficulty ★★)¶

আমরা FTC Part 2-কে (অর্থাৎ $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \Rightarrow A'(x)=f(x)$) মেনে নিয়ে Part 1 প্রমাণ করব। ধাপগুলো:

ধাপ ১. area-function সংজ্ঞা করি: $A(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$। সংজ্ঞা থেকেই $A(a) = \int_a^a f = 0$ (শূন্য প্রস্থ, শূন্য area) এবং $A(b) = \int_a^b f$ — অর্থাৎ যা আমরা চাই।

ধাপ ২ (FTC Part 2 ব্যবহার)। $A'(x) = f(x)$। তার মানে $A$ নিজেই $f$-এর একটি antiderivative।

ধাপ ৩। ধরা যাক $F$ আমাদের হাতের কোনো antiderivative ($F' = f$)। দুটি antiderivative-এর পার্থক্য একটি ধ্রুবক (কারণ $\frac{d}{dx}(A - F) = f - f = 0$, আর derivative শূন্য মানে function ধ্রুবক — 0.3-এ দেখা)। তাই $$ A(x) = F(x) + C \quad\text{কোনো ধ্রুবক } C\text{-র জন্য}. $$

ধাপ ৪ ($C$ বের করা)। $x = a$ বসাই: $A(a) = 0$, তাই $0 = F(a) + C \Rightarrow C = -F(a)$।

ধাপ ৫ (উপসংহার)। $x = b$ বসাই: $$ \int_a^b f = A(b) = F(b) + C = F(b) - F(a). \qquad\blacksquare $$

এই প্রমাণের মূল চাবি ধাপ ৩: derivative শূন্য $\Rightarrow$ ধ্রুবক — যা 0.3-এর Mean Value Theorem-এর সরাসরি ফল।

৪.২ FTC Part 2-র intuitive (অন্তর্দৃষ্টিগত) প্রমাণ (difficulty ★★)¶

$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ হলে $A'(x) = f(x)$ কেন? derivative-এর সংজ্ঞা থেকে: $$ A'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h}. $$ লব $A(x+h)-A(x)$ মানে $x$ থেকে $x+h$ পর্যন্ত একটি সরু ফালির (strip) area। $h$ ছোট হলে এই ফালি প্রায় একটি rectangle — প্রস্থ $h$, উচ্চতা প্রায় $f(x)$ (কারণ $f$ continuous, ওই টুকরোয় প্রায় ধ্রুবক)। তাই $$ A(x+h) - A(x) \approx f(x)\cdot h \quad\Longrightarrow\quad \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \approx f(x). $$ $h \to 0$-তে "$\approx$" সমান হয়ে যায়, পাই $A'(x) = f(x)$। $\blacksquare$ (কঠোর সংস্করণে এখানে Mean Value Theorem for integrals লাগে; Part VII-এ পূর্ণ rigorous রূপ।)

৪.৩ substitution সূত্রের derivation (difficulty ★)¶

substitution আসলে chain rule উল্টো করেই পাওয়া। chain rule (0.3): $\dfrac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\,g'(x)$। দুই পক্ষকে $x$-এ integrate করি: $$ \int F'(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C. $$ এখন $u = g(x)$, $f = F'$ ধরলে $F'(g(x)) = f(u)$ আর $g'(x)\,dx = du$, তাই বাঁ পক্ষ $= \int f(u)\,du = F(u)+C$। সংক্ষেপে: $u = g(x),\ du = g'(x)\,dx$ — মূল উদাহরণ ২-এর কৌশল। $\blacksquare$

৪.৪ integration by parts সূত্রের derivation (difficulty ★)¶

product rule (0.3): $\dfrac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big) = u'v + uv'$। দুই পক্ষ integrate করি: $$ u(x)v(x) = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx. $$ পদ সাজিয়ে: $\displaystyle\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$, অর্থাৎ $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. $\blacksquare$

দেখা যাচ্ছে — substitution আর by parts, দুটোই 0.3-এর differentiation নিয়ম (chain rule ও product rule) সরাসরি উল্টে নেওয়া। FTC যেহেতু differentiation আর integration-কে inverse বানায়, প্রতিটি derivative নিয়ম একটি integral নিয়মে রূপ নেয়।

৫ · কোড ল্যাব (Python)¶

প্রথমে from-scratch (NumPy দিয়ে Riemann sum হাতে গড়ে) তত্ত্ব যাচাই করব, তারপর library (scipy.integrate.quad numeric, sympy.integrate symbolic) দিয়ে মিলিয়ে দেখব।

৫.১ from-scratch — NumPy দিয়ে Riemann sum¶

import numpy as np

def riemann_sum(f, a, b, n, rule="mid"):
    """f-এর [a,b]-তে integral, n টি rectangle দিয়ে Riemann sum।
    rule: "left", "right", বা "mid" (midpoint)।"""
    edges = np.linspace(a, b, n + 1)      # n+1 টি ভাগ-বিন্দু
    dx = (b - a) / n                       # প্রতিটি টুকরোর প্রস্থ
    if rule == "left":
        x_star = edges[:-1]                # বাম প্রান্ত
    elif rule == "right":
        x_star = edges[1:]                 # ডান প্রান্ত
    else:  # midpoint
        x_star = 0.5 * (edges[:-1] + edges[1:])
    return np.sum(f(x_star) * dx)          # Σ f(x*) Δx

# f(x) = x^2, [0,2], সঠিক উত্তর = 8/3 ≈ 2.66667
f = lambda x: x**2
exact = 8 / 3
print(f"exact          = {exact:.6f}")
for n in [4, 8, 50, 1000, 100000]:
    approx = riemann_sum(f, 0, 2, n, rule="mid")
    print(f"n={n:6d}  midpoint = {approx:.6f}   error = {abs(approx-exact):.2e}")

প্রত্যাশিত আউটপুট (সংখ্যা মেলে):

exact          = 2.666667
n=     4  midpoint = 2.625000   error = 4.17e-02
n=     8  midpoint = 2.656250   error = 1.04e-02   # (n বাড়লে error দ্রুত কমে)
n=    50  midpoint = 2.666400   error = 2.67e-04
n=  1000  midpoint = 2.666666   error = 6.67e-07
n=100000  midpoint = 2.666667   error = 6.67e-11

$n$ যত বড়, error তত ছোট — Riemann sum সত্যিই definite integral-এ converge করছে। এটাই §২.২-এর limit-সংজ্ঞার সংখ্যাগত প্রমাণ।

৫.২ library — scipy (numeric) বনাম sympy (symbolic)¶

from scipy import integrate
import sympy as sp
import numpy as np

# --- (ক) numeric integration: scipy.integrate.quad ---
# quad ফেরত দেয় (মান, আনুমানিক error)
val, err = integrate.quad(lambda x: x**2, 0, 2)
print(f"[1] ∫x^2 dx [0,2] : quad = {val:.10f}  (err ~ {err:.1e})")   # 2.6666666667

# substitution উদাহরণ: ∫ 2x e^{x^2} dx [0,1] = e - 1
val, _ = integrate.quad(lambda x: 2*x*np.exp(x**2), 0, 1)
print(f"[2] ∫2x e^(x^2) [0,1] : quad = {val:.10f}  (e-1 = {np.e-1:.10f})")

# by parts উদাহরণ: ∫ x e^x dx [0,1] = 1
val, _ = integrate.quad(lambda x: x*np.exp(x), 0, 1)
print(f"[3] ∫x e^x [0,1] : quad = {val:.10f}")

# improper integral: scipy অসীম সীমা সরাসরি নেয় (np.inf)
val, _ = integrate.quad(lambda x: np.exp(-x), 0, np.inf)
print(f"[4] ∫e^(-x) [0,∞) : quad = {val:.10f}   (normalization = 1)")

# --- (খ) symbolic integration: sympy.integrate ---
x = sp.symbols('x')
print("\n--- sympy (closed form) ---")
print("[1] ∫x^2 dx [0,2]      =", sp.integrate(x**2, (x, 0, 2)))            # 8/3
print("[2] ∫2x e^(x^2) [0,1]  =", sp.integrate(2*x*sp.exp(x**2), (x, 0, 1)))# -1 + E
print("[3] ∫x e^x dx [0,1]    =", sp.integrate(x*sp.exp(x), (x, 0, 1)))     # 1
print("[4] ∫e^(-x) dx [0,∞)   =", sp.integrate(sp.exp(-x), (x, 0, sp.oo)))  # 1

# indefinite (antiderivative) — sympy '+C' দেখায় না, মনে রাখতে হয়
print("\nantiderivative of x^2 :", sp.integrate(x**2, x), "(+ C)")

# FTC যাচাই: d/dx ∫_0^x sin(t) dt = sin(x)
t = sp.symbols('t')
F = sp.integrate(sp.sin(t), (t, 0, x))     # = 1 - cos(x)
print("FTC: F(x) =", F, " ;  F'(x) =", sp.diff(F, x))   # sin(x)

প্রকৃত আউটপুট (চালিয়ে যাচাই করা হয়েছে):

[1] ∫x^2 dx [0,2] : quad = 2.6666666667  (err ~ 3.0e-14)
[2] ∫2x e^(x^2) [0,1] : quad = 1.7182818285  (e-1 = 1.7182818285)
[3] ∫x e^x [0,1] : quad = 1.0000000000
[4] ∫e^(-x) [0,∞) : quad = 1.0000000000   (normalization = 1)

--- sympy (closed form) ---
[1] ∫x^2 dx [0,2]      = 8/3
[2] ∫2x e^(x^2) [0,1]  = -1 + E
[3] ∫x e^x dx [0,1]    = 1
[4] ∫e^(-x) dx [0,∞)   = 1

antiderivative of x^2 : x**3/3 (+ C)
FTC: F(x) = 1 - cos(x) ;  F'(x) = sin(x)

দুই পথ (numeric quad ও symbolic sympy) একই উত্তর দিচ্ছে, আর §৩-৪-এর হাতে-করা মানের সাথেও মিলছে। শেষ লাইন FTC সরাসরি দেখাচ্ছে: $\frac{d}{dx}\int_0^x \sin t\,dt = \sin x$ — integration উল্টে derivative নিলে integrand ফিরে আসে।

৫.৩ double integral ও density যাচাই (statistics link)¶

from scipy import integrate
import numpy as np

# (1) double integral: surface exp(-(x^2+y^2)) এর নিচে R^2-এ মোট volume = π
#     dblquad(func, x_lo, x_hi, y_lo, y_hi); func(y, x) ক্রমে আর্গুমেন্ট নেয়।
vol, _ = integrate.dblquad(lambda y, x: np.exp(-(x**2 + y**2)),
                           -np.inf, np.inf, lambda x: -np.inf, lambda x: np.inf)
print(f"∬ exp(-(x²+y²)) dA over R² = {vol:.6f}   (π = {np.pi:.6f})")

# (2) joint density f(x,y)=4xy on [0,1]² — বৈধ density কিনা: মোট ∬ = 1
total, _ = integrate.dblquad(lambda y, x: 4*x*y, 0, 1, lambda x: 0, lambda x: 1)
print(f"∬ 4xy dA over [0,1]² = {total:.6f}   (normalization = 1)")

# P(X<0.5, Y<0.5) = সেই অঞ্চলের ওপর double integral
p, _ = integrate.dblquad(lambda y, x: 4*x*y, 0, 0.5, lambda x: 0, lambda x: 0.5)
print(f"P(X<0.5, Y<0.5) = {p:.6f}   (closed form 1/16 = {1/16:.6f})")

# (3) probability = density-র নিচের area: standard normal-এ P(0.5 ≤ Z ≤ 2)
normal_pdf = lambda x: np.exp(-x**2 / 2) / np.sqrt(2*np.pi)
prob, _ = integrate.quad(normal_pdf, 0.5, 2.0)
print(f"P(0.5 ≤ Z ≤ 2) = {prob:.6f}")

প্রকৃত আউটপুট:

∬ exp(-(x²+y²)) dA over R² = 3.141593   (π = 3.141593)
∬ 4xy dA over [0,1]² = 1.000000   (normalization = 1)
P(X<0.5, Y<0.5) = 0.062500   (closed form 1/16 = 0.062500)
P(0.5 ≤ Z ≤ 2) = 0.285787

লক্ষণীয়: $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \pi$ — এই বিখ্যাত ফলটিই (পরোক্ষভাবে) প্রমাণ করে কেন normal density-তে $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ ধ্রুবকটি বসে: ওটাই মোট area $1$ বানায়। joint density $4xy$ normalize হয়ে $1$, আর একটি অঞ্চলের probability সেই অঞ্চলের double integral — Part II-এর joint distribution-এর হুবহু পূর্বরূপ।

৬ · ভিজ্যুয়ালাইজেশন¶

নিচের প্রতিটি figure-এর কোড ঠিক যা দিয়ে ছবিটি বানানো হয়েছে তা-ই। (in-figure লেখা English; ব্যাখ্যা বাংলায়।)

Figure 1 — Riemann sum convergence¶

$n$ বাড়লে (4 → 8 → 16 → 64) rectangle-গুলো curve-কে কত নিখুঁতভাবে ঢাকছে এবং আনুমানিক area সঠিক মান $7.5$-এর দিকে এগোচ্ছে — তা দেখায়।

import matplotlib; matplotlib.use("Agg")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 0.5 * x**2 + 1.0
a, b = 0.0, 3.0
exact = (0.5*b**3/3 + b) - (0.5*a**3/3 + a)   # = 7.5

ns = [4, 8, 16, 64]
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 6.5))
xs = np.linspace(a, b, 400)
for ax, n in zip(axes.ravel(), ns):
    edges = np.linspace(a, b, n + 1)
    width = (b - a) / n
    mids = 0.5 * (edges[:-1] + edges[1:])      # midpoint rule
    heights = f(mids)
    approx = np.sum(heights * width)
    ax.bar(edges[:-1], heights, width=width, align="edge",
           alpha=0.45, edgecolor="#1f4e79", color="#69b3e7", linewidth=0.6)
    ax.plot(xs, f(xs), color="#c0392b", lw=2.2, label="f(x) = 0.5x^2 + 1")
    ax.set_title(f"n = {n}   approx = {approx:.4f}   (exact = {exact:.4f})")
    ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("f(x)")
    ax.legend(loc="upper left", fontsize=9)
fig.suptitle("Riemann sum approaches the true area as n increases", fontsize=14)
fig.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.97])
fig.savefig("../_assets/0-4-riemann.png")

n বাড়ার সাথে Riemann rectangle-গুলো curve-এর নিচের area-কে আরও নিখুঁতভাবে আনুমানিক করছে; approx ক্রমে exact = 7.5-এর দিকে এগোচ্ছে — definite integral-এর limit-সংজ্ঞার দৃশ্যরূপ।

Figure 2 — signed area¶

integral কেবল area নয়, চিহ্নসহ area। $x$-অক্ষের উপরের অংশ ধনাত্মক (সবুজ), নিচের অংশ ঋণাত্মক (লাল)। $\sin x$-এর ক্ষেত্রে $[0,2\pi]$-তে দুই অংশ সমান, তাই মোট integral $0$।

import matplotlib; matplotlib.use("Agg")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 600)
y = np.sin(x)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.5))
ax.plot(x, y, color="#34495e", lw=2.2)
ax.axhline(0, color="black", lw=1.0)
m_pos = (x >= 0) & (x <= np.pi)
ax.fill_between(x[m_pos], 0, y[m_pos], color="#27ae60", alpha=0.5, label="positive area  (+2)")
m_neg = (x >= np.pi) & (x <= 2*np.pi)
ax.fill_between(x[m_neg], 0, y[m_neg], color="#c0392b", alpha=0.5, label="negative area  (-2)")
ax.set_title("Signed area:  integral of sin(x) over [0, 2pi] = 0  (areas cancel)")
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("sin(x)")
ax.set_xticks([0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi])
ax.set_xticklabels(["0", "pi/2", "pi", "3pi/2", "2pi"])
ax.legend(loc="upper right")
fig.tight_layout()
fig.savefig("../_assets/0-4-signed-area.png")

sin(x)-এর integral signed area: [0,π]-এ ধনাত্মক area (+2, সবুজ) এবং [π,2π]-এ ঋণাত্মক area (−2, লাল) পরস্পর কাটাকাটি করে, তাই [0,2π]-তে মোট integral শূন্য।

Figure 3 — probability = density-র নিচের area¶

এই figure-টিই অধ্যায়ের statistics-হৃদয়। একটি standard normal density curve, আর তার নিচে $0.5 \le X \le 2$ অঞ্চলের shaded area = সেই range-এ থাকার probability ($\approx 0.286$)।

import matplotlib; matplotlib.use("Agg")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

def normal_pdf(x):
    return np.exp(-0.5 * x**2) / np.sqrt(2*np.pi)

x = np.linspace(-4, 4, 800)
y = normal_pdf(x)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.5))
ax.plot(x, y, color="#2c3e50", lw=2.2, label="standard normal pdf  f(x)")
lo, hi = 0.5, 2.0
mask = (x >= lo) & (x <= hi)
ax.fill_between(x[mask], 0, y[mask], color="#e67e22", alpha=0.55,
                label=f"P({lo} <= X <= {hi}) = shaded area")
ax.set_title("Probability = area under the density curve")
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("density  f(x)")
ax.legend(loc="upper left")
p = norm.cdf(hi) - norm.cdf(lo)
ax.text(1.25, 0.06, f"area = {p:.3f}", fontsize=11, ha="center")
fig.tight_layout()
fig.savefig("../_assets/0-4-density-area.png")

standard normal density curve-এর নিচে 0.5 থেকে 2 পর্যন্ত shaded area; এই area-ই P(0.5 ≤ X ≤ 2) ≈ 0.286 — continuous probability মানেই density-র নিচের integral।

Figure 4 — double integral = volume (surface-এর নিচে)¶

দুই variable-এর function $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}$ একটি পাহাড়-আকৃতির surface। বাঁয়ে উপর-থেকে দেখা (heatmap), ডানে 3D surface। double integral এই surface-এর নিচের volume ($=\pi$, পুরো তলে)।

import matplotlib; matplotlib.use("Agg")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  # noqa

def surf(x, y):
    return np.exp(-(x**2 + y**2))

gx = np.linspace(-2, 2, 200); gy = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(gx, gy); Z = surf(X, Y)

fig = plt.figure(figsize=(11, 4.5))
ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
im = ax1.imshow(Z, extent=[-2, 2, -2, 2], origin="lower", cmap="viridis", aspect="equal")
ax1.set_title("Top view: f(x,y) = exp(-(x^2+y^2))")
ax1.set_xlabel("x"); ax1.set_ylabel("y"); ax1.grid(False)
fig.colorbar(im, ax=ax1, shrink=0.85, label="height f(x,y)")
ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection="3d")
ax2.plot_surface(X, Y, Z, cmap="viridis", linewidth=0, antialiased=True, alpha=0.95)
ax2.set_title("Volume under surface = double integral of f(x,y) dA")
ax2.set_xlabel("x"); ax2.set_ylabel("y"); ax2.set_zlabel("f(x,y)")
fig.tight_layout()
fig.savefig("../_assets/0-4-double-integral.png")

f(x,y)=exp(−(x²+y²)) surface-এর বাম পাশে heatmap (উপর থেকে দেখা) ও ডান পাশে 3D রূপ; double integral এই পাহাড়-আকৃতির surface-এর নিচের volume পরিমাপ করে, যা পুরো তলে π-এর সমান।

৭ · অনুশীলনী¶

প্রতিটি প্রশ্নে difficulty tag ও hint দেওয়া। পূর্ণ সমাধান _solutions/00-04-calculus-2-integration-solutions.md-এ।

ক · ধারণাগত (conceptual)¶

প্রশ্ন ১ (★). নিজের ভাষায় ব্যাখ্যা করুন কেন continuous random variable-এর ক্ষেত্রে "ঠিক একটি নির্দিষ্ট মান নেওয়ার probability শূন্য", অথচ "একটি range-এ থাকার probability ধনাত্মক"। integral/area-র ভাষায় উত্তর দিন। Hint: শূন্য-প্রস্থ rectangle-এর area কত?

প্রশ্ন ২ (★). indefinite integral $\int f(x)\,dx$ ও definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$-এর মধ্যে মৌলিক পার্থক্য কী — একটির ফল কী ধরনের বস্তু, অন্যটির কী? "$+C$" কেন শুধু indefinite-এ থাকে? Hint: একটি function, অন্যটি একটি সংখ্যা।

প্রশ্ন ৩ (★★). "differentiation আর integration পরস্পরের বিপরীত" — FTC-র কোন দুটি বিবৃতি এই কথাটি ধরে রাখে? প্রতিটির এক বাক্যে অর্থ লিখুন। Hint: একটি $F(b)-F(a)$, অন্যটি $A'(x)=f(x)$।

খ · গণনামূলক (computational)¶

প্রশ্ন ৪ (★). FTC দিয়ে নিচের definite integral গণনা করুন: (ক) $\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ (খ) $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ (গ) $\displaystyle\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx$। Hint: প্রতিটির antiderivative লিখে $[F(x)]_a^b$ প্রয়োগ করুন।

প্রশ্ন ৫ (★★). substitution ব্যবহার করে গণনা করুন: $\displaystyle\int_0^2 x\,e^{x^2}\,dx$। Hint: $u = x^2$ ধরুন; সীমাও $u$-তে বদলান।

প্রশ্ন ৬ (★★). integration by parts দিয়ে $\displaystyle\int_1^{e} \ln x\,dx$ গণনা করুন। Hint: $u = \ln x,\ dv = dx$ ধরুন (LIATE: Log আগে)।

প্রশ্ন ৭ (★★). improper integral $\displaystyle\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx$ ($\lambda > 0$) গণনা করে দেখান এটি $1$ — অর্থাৎ rate-$\lambda$ Exponential density বৈধ (normalized)। Hint: antiderivative $-e^{-\lambda x}$; $t\to\infty$-তে limit।

গ · প্রমাণভিত্তিক (proof-based)¶

প্রশ্ন ৮ (★★). linearity প্রমাণ করুন: যেকোনো ধ্রুবক $\alpha, \beta$-র জন্য $$\int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx.$$ Hint: Riemann sum-এর সংজ্ঞায় বসিয়ে $\sum$-এর linearity ও limit ব্যবহার করুন।

প্রশ্ন ৯ (★★★). additivity প্রমাণ করুন: $a < c < b$ হলে $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$$ Hint: antiderivative $F$ ধরে FTC দুবার প্রয়োগ; অথবা area-কে দুই টুকরোয় ভাগ করুন।

ঘ · কোডিং (coding)¶

প্রশ্ন ১০ (★). §৫.১-এর riemann_sum ফাংশন ব্যবহার করে $\int_0^1 4x^3\,dx$ আনুমানিক করুন rule="left", "right", "mid" তিনটিতেই, $n = 1000$-এ। সঠিক মান $1$-এর সাথে কোনটি সবচেয়ে কাছে? ব্যাখ্যা করুন কেন left ও right বিপরীত দিকে ভুল করে। Hint: function বাড়ন্ত হলে left কম-আনুমান, right বেশি-আনুমান।

প্রশ্ন ১১ (★★). scipy.integrate.quad ও sympy.integrate — দুটি দিয়েই $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx$ গণনা করুন। (এটি standard normal-এর variance।) দুই উত্তর কি একই? মানটি কত হওয়া উচিত? Hint: np.inf / sp.oo ব্যবহার করুন; উত্তর $1$ হওয়ার কথা।

প্রশ্ন ১২ (★★★). scipy.integrate.dblquad দিয়ে দেখান যে joint density $f(x,y) = x + y$ on $[0,1]^2$ একটি বৈধ density (মোট integral $=1$), এবং তারপর $P(X + Y \le 1)$ গণনা করুন। (ত্রিভুজাকার অঞ্চল!) Hint: $P(X+Y\le 1)$-এর জন্য ভেতরের সীমা $y: 0 \to 1-x$ নিন।

৮ · সারসংক্ষেপ ও সংযোগ¶

মূল পয়েন্ট (recap):

integral = curve-এর নিচের signed area = accumulation (সঞ্চয়)। Riemann sum $\sum f(x_i^\*)\Delta x$-এর $n\to\infty$ limit হলো definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ — একটি সংখ্যা।
antiderivative $F$ ($F'=f$) দিলে indefinite integral $\int f\,dx = F + C$ — একটি function।
Fundamental Theorem of Calculus integration ও differentiation-কে inverse বানায়: $\int_a^b f = F(b)-F(a)$, এবং $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$। এর ফলে integral গণনা মানে antiderivative খোঁজা।
দুটি মূল technique — substitution (chain rule উল্টো) ও integration by parts (product rule উল্টো)।
improper integral ($-\infty$/$\infty$ সীমা) limit দিয়ে সংজ্ঞায়িত; density পুরো রেখায় ছড়ালে দরকার।
double integral = surface-এর নিচের volume; iterated integral হিসেবে একবারে এক variable গণনা।
numeric (scipy.integrate.quad, dblquad) বনাম symbolic (sympy.integrate) — একটি দ্রুত সংখ্যা, অন্যটি closed-form; দুটো মিলিয়ে যাচাই।

statistics-এর সাথে সংযোগ (কেন এত গুরুত্বপূর্ণ):

integral ধারণা	statistics-এ রূপ
density-র নিচের area	$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$
মোট area $=1$	normalization: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$
density-কে $x$ দিয়ে গুণ করে integrate	expectation: $\mathbb{E}[X] = \int x\,f(x)\,dx$
$(x-\mu)^2$ দিয়ে গুণ করে integrate	variance: $\mathrm{Var}(X) = \int (x-\mu)^2 f(x)\,dx$
double integral over অঞ্চল	joint probability: $P((X,Y)\in R) = \iint_R f(x,y)\,dA$

পূর্ববর্তী সংযোগ (← 0.3): integration হলো 0.3-এর differentiation-এর বিপরীত — derivative নিয়ম (chain, product) উল্টে integral নিয়ম (substitution, by parts) পাওয়া যায়, আর FTC দুটিকে এক সুতোয় বাঁধে। 0.2-এর $\sum$ notation-এর continuous সংস্করণই $\int$।

পরবর্তী সংযোগ (→ 0.5): এরপর Linear Algebra (vector, matrix, eigenvalue) — multivariate statistics, covariance matrix, এবং regression-এর ভাষা। integral ও linear algebra পরে একসাথে কাজ করবে: multivariate normal density-তে matrix ($\Sigma$) আর double/multiple integral দুটোই লাগবে।

source pointer: এই অধ্যায় self-contained (Part 0 just-in-time foundations)। যেখানে এই integral-যন্ত্র কাজে লাগবে — Part II: Continuous Random Variables (2.4) ও Expectation, Variance, Moments (2.5) — সেখানে density, normalization, expectation সবই এই অধ্যায়ের $\int$ দিয়ে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত হবে। rigorous integration তত্ত্ব (Lebesgue integral, কোন function integrable) আসবে Part VII (measure-theoretic probability)-তে।

\(f(x)\)	\(\int f(x)\,dx\)
\(x^n\ (n\neq -1)\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\lvert x\rvert + C\)
\(e^{x}\)	\(e^{x} + C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)

integral ধারণা	statistics-এ রূপ
density-র নিচের area	\(P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx\)
মোট area \(=1\)	normalization: \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\)
density-কে \(x\) দিয়ে গুণ করে integrate	expectation: \(\mathbb{E}[X] = \int x\,f(x)\,dx\)
\((x-\mu)^2\) দিয়ে গুণ করে integrate	variance: \(\mathrm{Var}(X) = \int (x-\mu)^2 f(x)\,dx\)
double integral over অঞ্চল	joint probability: \(P((X,Y)\in R) = \iint_R f(x,y)\,dA\)