7.4 — Lebesgue Integral ও Convergence Theorems (যে integral সব measurable ফাংশনে কাজ করে)¶

১ · ভূমিকা ও insight¶

১.১ যেখানে 7.3 থেমেছিল — হাতে একটা সিঁড়ি, কিন্তু integral এখনও নেই¶

আগের অধ্যায়ে (7.3) আমরা ঠিক করেছিলাম কোন ফাংশনদের নিয়ে কাজ করা যাবে — measurable function: যেগুলোর জন্য $\{X\le x\}$, $\{X\in B\}$ সবই ঘটনা, তাই তাদের নিয়ে probability-প্রশ্ন তোলা অর্থবহ। সেই অধ্যায়ের একদম শেষে একটা যন্ত্র গড়েছিলাম যা এখন কাজে লাগবে — দুটো টুকরো:

simple function (সরল function) $s=\sum_{i=1}^n a_i\mathbf 1_{A_i}$ — যে measurable ফাংশন কেবল সসীম-সংখ্যক ভিন্ন মান নেয়, disjoint measurable টুকরো $A_i$-র উপর ধ্রুবক $a_i$;
approximation theorem (approximation-theorem) — প্রতিটি অঋণাত্মক measurable $f\ge 0$ হলো simple function-দের একটা ক্রমবর্ধমান বিন্দু-ভিত্তিক limit: $0\le s_n\uparrow f$, একটা "dyadic সিঁড়ি" যা নিচ থেকে $f$-কে চেপে ধরে।

কিন্তু 7.3-এ আমরা একটা প্রতিশ্রুতি অপূর্ণ রেখেছিলাম। simple function-এর "integral" কেমন হবে তার স্বজ্ঞা দিয়েছিলাম — "উচ্চতা × আকার", $\int s\,d\mu=\sum_i a_i\,\mu(A_i)$ — কিন্তু সেটাকে সংজ্ঞা হিসেবে প্রতিষ্ঠা করিনি, আর সাধারণ $f$-এর integral তো ছুঁইওনি। অর্থাৎ হাতে সিঁড়ি আছে, কিন্তু সিঁড়ি বেয়ে যে ভবনে পৌঁছানোর কথা — Lebesgue integral $\int f\,d\mu$ — তা এখনও তৈরি হয়নি।

এই অধ্যায়ের কাজ ঠিক সেটাই: ওই সিঁড়িকে ভিত্তি করে এমন একটা integral গড়া যা সব measurable ফাংশনে কাজ করে — শুধু মসৃণ, সুন্দর ফাংশনে নয়, Dirichlet-এর মতো বুনো ফাংশনেও; শুধু এক-মাত্রায় নয়, যেকোনো measure space-এ; এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে — যা limit-এর সঙ্গে সুন্দর আচরণ করে।

এক বাক্যে সূচনা। 7.3 দিয়েছিল measurable ফাংশন আর simple↑f সিঁড়ি; এই অধ্যায় সেই সিঁড়ি বেয়ে গড়ে তোলে Lebesgue integral $\int f\,d\mu$ — যে integral সব measurable ফাংশনে কাজ করে।

১.২ যা মেরামত করতে হবে — 7.1-এর দুই crack, আবার সামনে¶

কেন একটা নতুন integral চাই — পুরোনো Riemann integral-এ অসুবিধা কী? উত্তরটা 7.1-এ আমরা চারটে "ফাটল" রূপে দেখেছিলাম; এদের দুটো ছিল সরাসরি integration নিয়ে, আর সেই দুটোই এই অধ্যায়ের মেরামত-তালিকার মাথায়।

ফাটল C2 — ক্ষেত্রফল-হীন ফাংশন (Dirichlet)। Dirichlet function $D=\mathbf 1_{\mathbb Q}$ — rational-এ $1$, irrational-এ $0$ — Riemann-integrable নয়: $[0,1]$-এর যত সরু খণ্ডেই ভাগ করো, প্রতিটাতে rational-ও আছে irrational-ও, তাই upper sum সর্বদা $1$, lower sum সর্বদা $0$, কখনো মেলে না। অথচ $D$ একটা নিখুঁত-সংজ্ঞায়িত, এমনকি measurable ফাংশন — তার "expectation" কী হওয়া উচিত? Riemann নিরুত্তর। আমরা এই অধ্যায়ে দেখব Lebesgue integral অনায়াসে জবাব দেয়: $\int_0^1 D\,d\lambda=1\cdot\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])+0\cdot\lambda(\text{irrationals})=1\cdot 0+0=0$।

ফাটল C4 — অদৃশ্য হয়ে যাওয়া ভর (moving spike)। একটা সচল চূড়া $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$ — $0$ থেকে $1/n$ পর্যন্ত উচ্চতা $n$, বাকি সর্বত্র $0$। প্রতিটা $f_n$-এর নিচের ক্ষেত্রফল ঠিক $1$ (ভিত্তি $1/n$ × উচ্চতা $n$)। কিন্তু $n$ বাড়লে চূড়াটা সরু-উঁচু হতে হতে সরে যায়, আর প্রতিটা নির্দিষ্ট $x>0$-তে শেষমেশ $f_n(x)=0$ — অর্থাৎ $f_n\to 0$ (pointwise)। ফলে $\lim_n\int f_n=1$ কিন্তু $\int\lim_n f_n=\int 0=0$ — limit আর integral অদলবদল করলে দুই ভিন্ন উত্তর, ক্ষেত্রফল $1$ যেন কোথায় উবে গেল। 7.1-এ আমরা শুধু এই ব্যর্থতাটা দেখেছিলাম; বলেছিলাম "naive Riemann-জগতে কখন এই অদলবদল বৈধ, তার কোনো পরিষ্কার নিয়ম নেই"। এই অধ্যায় সেই নিয়মগুলোই দেয় — MCT, Fatou, DCT — যারা প্রতিটি ক্ষেত্রে নির্ভুলভাবে বলে দেয় কখন $\lim\int=\int\lim$ এবং কখন নয় (এবং moving-spike কেন বৈধভাবেই ব্যতিক্রম — কোনো theorem না-ভেঙেই)।

এক বাক্যে মেরামত। নতুন integral চাই কারণ Riemann দুই জায়গায় ভাঙে — Dirichlet-এর মতো বুনো ফাংশনে অস্তিত্বহীন (C2), আর moving-spike-এ $\lim\int\ne\int\lim$ হলেও কখন অদলবদল বৈধ তা বলার নিয়মহীন (C4); Lebesgue integral + MCT/Fatou/DCT ঠিক এই দুই ফাটল বোজায়।

১.৩ এই অধ্যায়ের তিন প্রাপ্তি — integral, expectation, ও swap-theorem¶

approximation-সিঁড়িকে ভিত্তি করে আমরা তিনটে বস্তু পাব — এই অধ্যায়ের আসল পুরস্কার, আর Part VII-এর বাকিটার যন্ত্র।

প্রাপ্তি ১ — তিন ধাপে গড়া Lebesgue integral $\int f\,d\mu$। নির্মাণটা ঘড়ির কাঁটার মতো নিয়মিত — সহজ থেকে কঠিনের দিকে তিন ধাপ: (১) simple $s$-এ integral সংজ্ঞায়িত করি "উচ্চতা × আকার", $\int s\,d\mu=\sum a_i\mu(A_i)$ (তুচ্ছ, কিন্তু well-defined প্রমাণ করতে হবে); (২) অঋণাত্মক $f\ge 0$-এ integral = নিচের সব simple-এর integral-এর $\sup$, $\int f\,d\mu=\sup\{\int s\,d\mu:0\le s\le f\}$ (7.3-এর সিঁড়িই একে অর্থবহ করে — অন্তত একটা $s_n\uparrow f$ আছে); (৩) সাধারণ $f$-এ $f^+,f^-$-এ ভেঙে $\int f=\int f^+-\int f^-$, আর যে $f$-এর $\int\lvert f\rvert<\infty$ তাকে বলি integrable ($f\in L^1$)। এই একটাই নির্মাণ discrete, continuous ও singular — সব distribution-কে এক ভাষায় ধরে।
প্রাপ্তি ২ — expectation = integral। integral-টা যখন measure-টা probability $\mathbb P$, তখন তার একটা পরিচিত নাম পায়:

$\mathbb E[X]\;=\;\int_\Omega X\,d\mathbb P.$

একটিমাত্র এই সংজ্ঞা 2.5-এর দুই আলাদা সূত্রকে — discrete $\sum_i x_ip_i$ আর continuous $\int x f(x)\,dx$ — একই integral-এর দুই বিশেষ রূপ হিসেবে পুনরুদ্ধার করে; আর pushforward law (7.3) দিয়ে আসে LOTUS $\mathbb E[g(X)]=\int g\,dP_X$ — "$\Omega$-এর integral"-কে "$\mathbb R$-এর integral"-এ অনুবাদ। তিন আলাদা তত্ত্বের আর দরকার নেই।

প্রাপ্তি ৩ — তিন swap-theorem (MCT, Fatou, DCT)। integral গড়ার পর তার সবচেয়ে দামি ফল — limit আর integral কখন হাত বদলাতে পারে তার নির্ভুল শর্ত: MCT (ক্রমবর্ধমান হলে সর্বদা চলে), Fatou (অঋণাত্মক হলে একটা inequality সবসময়ই থাকে), DCT (একটা integrable "ছাদ" $g$ থাকলে চলে)। এরাই C4-এর সাধারণীকরণ, এবং পরিসংখ্যানে consistency-প্রমাণ, conditional expectation (7.7) ও martingale-convergence (7.8)-এর গোড়ার হাতিয়ার।

এক বাক্যে প্রাপ্তি। তিন উপহার — তিন-ধাপে গড়া Lebesgue integral $\int f\,d\mu$ (simple → অঋণাত্মক $\sup$ → সাধারণ $f^+-f^-$/$L^1$), expectation $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$ (discrete+continuous একসূত্রে, LOTUS সহ), আর তিন swap-theorem MCT/Fatou/DCT (limit↔integral অদলবদলের নির্ভুল শর্ত, ⇒ 7.6/7.7/7.8)।

১.৪ এই অধ্যায়ের পথরেখা¶

§২ সব মূল বস্তুর precise সংজ্ঞা ও বিবৃতি — তিন-ধাপ নির্মাণ (simple → অঋণাত্মক → সাধারণ/$L^1$); restriction $\int_A f$; ধর্ম (linearity, monotonicity, $\lvert\int f\rvert\le\int\lvert f\rvert$, a.e.-শূন্যতা); $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$, LOTUS ও Riemann-পুনরুদ্ধার; এবং MCT, Fatou, DCT-র বিবৃতি স্বজ্ঞাসহ — moving-spike-কে "কেন hypothesis লাগে"-র উদাহরণ ধরে, ভারী প্রমাণ §৪-এ স্থগিত রেখে।
§৪ ভারী প্রমাণ — simple-integral যে representation-নিরপেক্ষভাবে well-defined; MCT-এর প্রমাণ (7.2-এর continuity-from-below থেকে); MCT থেকে integral-এর linearity ও Fatou's lemma; Fatou থেকে DCT; "$\int f=0,\ f\ge 0\Rightarrow f=0$ a.e."; এবং Lebesgue criterion — bounded $f$ on $[a,b]$ Riemann-integrable iff continuous a.e., ও তখন দুই integral সমান।
§৫–৬ simulation ও চিত্র (seed 20260619) — 7-4-simple-function-integral (অঋণাত্মক $f$-এর নিচে simple-সিঁড়ির "উচ্চতা × আকার" ফালি কীভাবে $\uparrow\int f$), 7-4-mct ($f_n\uparrow f$-এ $\int f_n$ ও $\int f$ একসুরে ওঠা), 7-4-fatou-strict (moving-spike-এ $\int\liminf f_n=0<1=\liminf\int f_n$ — কঠোর inequality চোখে দেখা), এবং 7-4-dct (dominating $g\in L^1$ থাকলে $\int f_n\to\int f$ ও $\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$)।

এর পরে Part VII এগোয়: 7.5 এই integral-কে ভিত্তি করে $\lVert f\rVert_p=(\int\lvert f\rvert^p\,d\mu)^{1/p}$ দিয়ে $L^p$ space, Hölder/Minkowski inequality ও completeness; 7.6 এই integral দিয়ে moment ও SLLN (strong law of large numbers); 7.7 $\sigma(X)$-ভিত্তিক conditional expectation-কে একটা integral হিসেবে; 7.8 filtration ও martingale — শেষে rigorous CLT-র দিকে।

এক বাক্যে পথরেখা। §২ সংজ্ঞা ও বিবৃতি (তিন-ধাপ integral + MCT/Fatou/DCT) → §৪ প্রমাণ (MCT থেকে বাকি সব) → §৫–৬ চার চিত্র (seed 20260619); আর এই integral-ভিত্তির উপর Part VII গড়ে 7.5 ($L^p$) → 7.6 (SLLN) → 7.7 (conditional expectation) → 7.8 (martingale), rigorous CLT-র পথে।

২ · মূল ধারণা ও সংজ্ঞা¶

এই বিভাগে এ অধ্যায়ের সব formal বস্তুর precise সংজ্ঞা ও বিবৃতি দিই — প্রতিটি প্রতীক প্রথম ব্যবহারেই খুলে। কাঠামো §১-এর সুতো ধরে: প্রথমে তিন-ধাপ নির্মাণ (simple → অঋণাত্মক → সাধারণ/$L^1$ — ২.১–২.৩) ও restriction $\int_A f$ (২.৪); তারপর ধর্ম (linearity/monotonicity/triangle/a.e.-শূন্যতা — ২.৫); তারপর expectation = integral ও LOTUS ও Riemann-পুনরুদ্ধার (২.৬); শেষে তিন swap-theorem — MCT (২.৭), Fatou (২.৮), DCT (২.৯) — প্রতিটির স্বজ্ঞা ও moving-spike-insight সহ। ভারী প্রমাণগুলো §৪-এ — এখানে কেবল বিবৃতি ও insight, স্পষ্ট forward pointer সহ।

জুড়ে আমরা একটা সাধারণ measure space $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ ধরে কাজ করি (যখন $\mu=\mathbb P$ probability, তখন বিশেষ ক্ষেত্র — ২.৬)। সুবিধার জন্য অঋণাত্মক ফাংশনদের মান $[0,\infty]$-এ থাকতে দিই (অর্থাৎ $+\infty$ একটা বৈধ মান) — এতে $\sup$ ও limit নির্বিঘ্নে নেওয়া যায়; নিয়ম $0\cdot\infty=0$ (একটা শূন্য-measure set-এ অসীম উচ্চতা কোনো ভর যোগ করে না)।

২.১ ধাপ ১ — অঋণাত্মক simple ফাংশনের integral ("উচ্চতা × আকার")¶

নির্মাণ শুরু সবচেয়ে simple function দিয়ে, যেখানে integral কী হওয়া উচিত তা নিয়ে কোনো সংশয় নেই। মনে করি (7.3) একটা simple function $s=\sum_{i=1}^n a_i\mathbf 1_{A_i}$ কেবল সসীম মান নেয়; অঋণাত্মক simple মানে সব $a_i\ge 0$। ধরা যাক এটি canonical form-এ লেখা — অর্থাৎ $a_1,\dots,a_n$ পরস্পর-ভিন্ন এবং $A_i=\{s=a_i\}$ disjoint, $\bigcup_i A_i=\Omega$।

সংজ্ঞা (অঋণাত্মক simple ফাংশনের integral)। অঋণাত্মক simple $s=\sum_{i=1}^n a_i\mathbf 1_{A_i}$ (canonical, $a_i\ge 0$, $A_i\in\mathcal F$)-এর integral হলো

\[ \int_\Omega s\,d\mu\;:=\;\sum_{i=1}^n a_i\,\mu(A_i)\;\in\;[0,\infty], \]

অর্থাৎ প্রতিটি মান $a_i$-কে তার set-এর আকার $\mu(A_i)$ দিয়ে গুণ করে যোগফল — "উচ্চতা × আকার"-এর সমষ্টি। (নিয়ম $0\cdot\infty=0$ প্রয়োগ্য, যাতে $a_i=0$ হলে অসীম-measure set-ও কোনো অবদান রাখে না।)

এটাই Lebesgue-এর কেন্দ্রীয় ভাবনার সবচেয়ে বিশুদ্ধ রূপ — 7.1-এর "মূল্য অনুযায়ী মুদ্রা সাজানো": মানগুলো (range) আগে আলাদা করো, প্রতিটি মান যেখানে যেখানে আছে সেই set-এর measure মাপো, তারপর (মান × measure) যোগ করো। একটা সূক্ষ্ম কিন্তু অপরিহার্য বিষয়: একই simple function অনেকভাবে $\sum a_i\mathbf 1_{A_i}$ আকারে লেখা যায় (টুকরোকে আরও ছোট টুকরোয় ভাঙলে, বা শূন্য-coefficient যোগ করলে)। তাই দাবি করতে হবে যে $\int s\,d\mu$ এই উপস্থাপনার (representation) উপর নির্ভর করে না — অর্থাৎ সংজ্ঞাটা well-defined। এটি সত্য (finite additivity দিয়ে — §৪-এ প্রমাণ), এবং এই well-definedness ছাড়া পুরো নির্মাণ ভেঙে পড়ত।

ছোট্ট একটা সাক্ষ্য কেন representation-নিরপেক্ষতা স্বজ্ঞাগত। ধরা যাক $\Omega=[0,1]$ ($\mu=\lambda$ Lebesgue), আর $s=2\cdot\mathbf 1_{[0,1]}$ — সর্বত্র মান $2$। canonical রূপে $\int s\,d\lambda=2\cdot\lambda([0,1])=2$। এখন একই $s$-কে "অপ্রয়োজনীয়ভাবে" দু-টুকরোয় লিখি: $s=2\cdot\mathbf 1_{[0,1/2)}+2\cdot\mathbf 1_{[1/2,1]}$। নতুন হিসাব $2\cdot\tfrac12+2\cdot\tfrac12=2$ — একই উত্তর। টুকরো ভাঙায় উত্তর বদলায় না, কারণ $\mu$-এর finite additivity ($\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ disjoint হলে) ঠিক এই "ভাঙা-জোড়া"-কেই অপরিবর্তিত রাখে। §৪-এ এই পর্যবেক্ষণটাই সাধারণ প্রমাণে রূপ নেয় — যেকোনো দুই representation-এর সাধারণ পরিশোধন (common refinement) নিয়ে দেখানো হয় দুটোই একই মান দেয়।

এক বাক্যে। অঋণাত্মক simple $s=\sum a_i\mathbf 1_{A_i}$-এর integral হলো $\sum a_i\mu(A_i)$ ("উচ্চতা × আকার"), যা representation-নিরপেক্ষভাবে well-defined (§৪) — এটিই গোটা Lebesgue integral-এর ভিত্তি-ইট।

২.২ ধাপ ২ — অঋণাত্মক measurable ফাংশনের integral (নিচ থেকে $\sup$)¶

এবার ধাপ ১-কে সব অঋণাত্মক measurable ফাংশনে প্রসারিত করি। ধারণাটা সরল ও সুন্দর: যেহেতু simple function-দের integral আমরা ইতিমধ্যে জানি, যেকোনো $f\ge 0$-এর integral সংজ্ঞা করি তার নিচে শোয়া সব simple function-এর integral-এর supremum হিসেবে — অর্থাৎ "$f$-কে নিচ থেকে যত ভালোভাবে simple দিয়ে ছোঁয়া যায়"।

সংজ্ঞা (অঋণাত্মক measurable ফাংশনের integral)। একটা measurable $f:\Omega\to[0,\infty]$-এর integral হলো

\[ \int_\Omega f\,d\mu\;:=\;\sup\Big\{\textstyle\int_\Omega s\,d\mu\ :\ s\text{ simple, }0\le s\le f\Big\}\;\in\;[0,\infty]. \]

(supremum নেওয়া হয় সেই সব অঋণাত্মক simple $s$-এর উপর যারা বিন্দু-ভিত্তিকভাবে $f$-এর নিচে, $s(\omega)\le f(\omega)\ \forall\omega$।)

দুটো জিনিস এখানে verify করার মতো। প্রথমত, সংজ্ঞাটা শূন্য নয় — অন্তত একটা $s$ আছে ($s\equiv 0$ সর্বদা চলে), তাই supremum-টা একটা অশূন্য সেটের উপর নেওয়া; আর 7.3-এর approximation theorem আরও বলে যে এমন simple-দের একটা গোটা সিঁড়ি $s_n\uparrow f$ আছে, কাজেই supremum-টা $f$-কে সত্যিই "ছুঁতে" পারে। দ্বিতীয়ত, পুরোনোর সঙ্গে সংগতি (consistency) — যদি $f$ নিজেই simple হয়, এই নতুন $\sup$-সংজ্ঞা ঠিক ধাপ ১-এর $\sum a_i\mu(A_i)$-ই ফিরিয়ে দেয় (কারণ $s=f$ নিজেই allowed, আর কোনো $s\le f$ এর বেশি দিতে পারে না — monotonicity, §৪)। দুই সংজ্ঞা একই বস্তুতে মেলে, তাই notation-এ দ্বন্দ্ব নেই।

এই $\sup$-রূপটাই Lebesgue integral-কে Riemann-এর চেয়ে শক্তিশালী করে: আমরা $f$-কে উপর-নিচ থেকে চেপে "মেলানোর" দাবি করছি না (Riemann যা করে, এবং Dirichlet-এ যেখানে ব্যর্থ হয়); শুধু নিচ থেকে simple দিয়ে যতদূর ওঠা যায় ততটুকুই নিচ্ছি — আর measurable হলেই সেই ওঠা $f$-কে স্পর্শ করে।

এক বাক্যে। অঋণাত্মক measurable $f$-এর integral = তার নিচে শোয়া সব simple-এর integral-এর $\sup$; 7.3-এর সিঁড়ি $s_n\uparrow f$ একে অর্থবহ করে, আর $f$ simple হলে এটি ধাপ ১-এই ফিরে যায়।

২.৩ ধাপ ৩ — সাধারণ ফাংশন ও $L^1$ ($f^+-f^-$, integrability)¶

এ পর্যন্ত সব অঋণাত্মক। সাধারণ (চিহ্নযুক্ত) measurable $f:\Omega\to\mathbb R$-এ পৌঁছাতে 7.3-এর কৌশল — ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশে ভাঙা:

\[ f^+:=\max(f,0)\ge 0,\qquad f^-:=\max(-f,0)\ge 0,\qquad f=f^+-f^-,\qquad \lvert f\rvert=f^++f^-, \]

যেখানে $f^+,f^-$ দুটোই অঋণাত্মক measurable (7.3-এর closure), তাই ধাপ ২ দিয়ে তাদের integral ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত।

সংজ্ঞা (সাধারণ ফাংশনের integral; integrability, $L^1$)। measurable $f:\Omega\to\mathbb R$-এর জন্য, যদি $\int f^+\,d\mu$ ও $\int f^-\,d\mu$ দুটোর অন্তত একটি সসীম হয় (অর্থাৎ $\infty-\infty$ নয়), তবে

\[ \int_\Omega f\,d\mu\;:=\;\int_\Omega f^+\,d\mu\;-\;\int_\Omega f^-\,d\mu. \]

বিশেষত $f$-কে integrable (integrable) বলা হয় যদি দুটোই সসীম হয় — equivalently

\[ f\in L^1(\mu)\quad\Longleftrightarrow\quad \int_\Omega\lvert f\rvert\,d\mu<\infty. \]

($L^1(\mu)$ = সব $\mu$-integrable ফাংশনের সংগ্রহ; "$f\in L^1$" আর "$f$ integrable" সমার্থক।)

লক্ষণীয় কেন এই সাবধানতা: integral সংজ্ঞায়িত করতে আমরা দুটো অঋণাত্মক integral বিয়োগ করছি, আর গণিতে $\infty-\infty$ অর্থহীন। তাই দুটো ক্ষেত্র — (i) যদি অন্তত একটি সসীম, integral একটা সম্প্রসারিত-বাস্তব মান পায় (হয়তো $\pm\infty$); (ii) যদি দুটোই সসীম, $f\in L^1$ এবং $\int f$ একটা সসীম বাস্তব সংখ্যা — এটিই সাধারণত আমরা যা চাই (যেমন expectation সসীম হওয়া)। মূল মন্ত্র: integrability মানে $\int\lvert f\rvert<\infty$ — $f$-এর "মোট আকার" সসীম।

এক বাক্যে। সাধারণ $f$-এর integral $=\int f^+-\int f^-$ (যদি $\infty-\infty$ না হয়), আর $f\in L^1\iff\int\lvert f\rvert\,d\mu<\infty$ — অর্থাৎ integrable মানে "মোট আকার সসীম"।

২.৪ একটা set-এর উপর integral — $\int_A f$¶

প্রায়ই আমরা গোটা $\Omega$-তে নয়, একটা নির্দিষ্ট measurable অংশ $A\in\mathcal F$-এর উপর integrate করতে চাই (যেমন $\mathbb P(a< X\le b)=\int_{(a,b]}\dots$)। এর সংজ্ঞা চমৎকার সরল — indicator দিয়ে গুণ করে গোটা space-এ integrate করা:

সংজ্ঞা (set-এর উপর integral)। $A\in\mathcal F$ ও measurable $f$-এর জন্য

\[ \int_A f\,d\mu\;:=\;\int_\Omega f\cdot\mathbf 1_A\,d\mu, \]

যেখানে $\mathbf 1_A$ হলো $A$-এর indicator ($A$-তে $1$, বাইরে $0$)। (অর্থাৎ $A$-এর বাইরে $f$-কে শূন্য করে দিয়ে আগের সংজ্ঞাই প্রয়োগ।)

এর সরাসরি একটা ফল, যা পরে measure ও integral-কে বাঁধে: অঋণাত্মক measurable $f$ ফিক্স করলে, $\nu(A):=\int_A f\,d\mu$ নিজেই $(\Omega,\mathcal F)$-এর উপর একটা নতুন measure (countably additive — §৪) — যাকে বলে "$f$-density-যুক্ত measure", সংক্ষেপে $d\nu=f\,d\mu$। এই ধারণাই 7.5-এর Radon–Nikodym theorem ও 7.7-এর conditional expectation-এর bridge।

এক বাক্যে। $\int_A f\,d\mu:=\int f\mathbf 1_A\,d\mu$ — $A$-এর বাইরে শূন্য করে integrate; আর অঋণাত্মক $f$-এ $A\mapsto\int_A f\,d\mu$ নিজেই একটা measure (density $f$), যা 7.5/7.7-এর বীজ।

২.৫ integral-এর মৌলিক ধর্ম — linearity, monotonicity, triangle, a.e.-শূন্যতা¶

নির্মাণ শেষ; এবার এই integral কীভাবে আচরণ করে। নিচের ধর্মগুলো এ অধ্যায়ের সর্বত্র (এবং Part VII জুড়ে) নিঃশব্দে ব্যবহৃত হবে; এদের প্রমাণ §৪-এ (মূলত MCT থেকে নেমে আসে)।

theorem (integral-এর মৌলিক ধর্ম — বিবৃতি; প্রমাণ §৪)। ধরা যাক $f,g$ measurable এবং (যেখানে দরকার) $L^1$, আর $a,b\in\mathbb R$। 1. Linearity (linearity): $\displaystyle\int(af+bg)\,d\mu=a\int f\,d\mu+b\int g\,d\mu.$ 2. Monotonicity (একঘাতিতা): $f\le g$ a.e. $\Rightarrow\displaystyle\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu.$ 3. Triangle inequality (ত্রিভুজ-inequality): $\displaystyle\Big\lvert\int f\,d\mu\Big\rvert\le\int\lvert f\rvert\,d\mu.$ 4. a.e.-শূন্যতা: যদি $f\ge 0$ এবং $\displaystyle\int f\,d\mu=0$, তবে $f=0$ $\mu$-a.e. (অর্থাৎ $\mu(\{f>0\})=0$)। 5. a.e.-অসংবেদনশীলতা: $f=g$ $\mu$-a.e. $\Rightarrow\displaystyle\int f\,d\mu=\int g\,d\mu$ — integral measure-শূন্য set-এ ফাংশনের মান গায়ে মাখে না।

এদের স্বজ্ঞা: linearity ও monotonicity Riemann-এর মতোই expected, কিন্তু এখন তারা সব measurable ফাংশনে খাটে। triangle inequality আসে $-\lvert f\rvert\le f\le\lvert f\rvert$ থেকে monotonicity প্রয়োগ করে — পরে DCT-তে "$\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$" থেকে "$\int f_n\to\int f$" নামানোর হাতিয়ার। a.e.-শূন্যতা (ধর্ম ৪) সূক্ষ্ম ও দামি: এটি বলে integral কেবল তখনই শূন্য যখন ফাংশনটা প্রায়-সর্বত্র শূন্য — অর্থাৎ integral একটা ফাংশনের "ভর" সৎভাবে মাপে, কোনো অঋণাত্মক ভর লুকোতে দেয় না। আর ধর্ম ৫-ই 7.3-এর সেই উপলব্ধিকে পাকা করে — integration-তত্ত্বে একটা ফাংশন আসলে তার a.e.-সমতা-শ্রেণি হিসেবে আচরণ করে (যা 7.5-এর $L^p$ space-এর ভিত্তি)।

এক বাক্যে। Lebesgue integral linear, monotone, $\lvert\int f\rvert\le\int\lvert f\rvert$ মানে, measure-শূন্য set-এ উদাসীন ($f=g$ a.e. ⇒ সমান integral), আর "$f\ge 0,\ \int f=0\Rightarrow f=0$ a.e." — অর্থাৎ ভর সৎভাবে মাপে।

২.৬ expectation = integral — discrete/continuous পুনরুদ্ধার, LOTUS, Riemann-সংগতি¶

এবার গোটা নির্মাণের probability-মুখ। যখন measure space-টা একটা probability space $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ এবং ফাংশনটা একটা random variable $X$, তখন তার integral-এরই নাম expectation।

সংজ্ঞা (expectation / expectation)। একটা random variable $X:(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\to(\mathbb R,\mathcal B)$-এর expectation (expectation, expected value) হলো

\[ \mathbb E[X]\;:=\;\int_\Omega X\,d\mathbb P, \]

যখন এটি সংজ্ঞায়িত (অর্থাৎ $\mathbb E[X^+]$ বা $\mathbb E[X^-]$-এর অন্তত একটি সসীম); এবং $X$ integrable ($X\in L^1(\mathbb P)$) মানে $\mathbb E\lvert X\rvert=\int\lvert X\rvert\,d\mathbb P<\infty$।

এই একটিমাত্র সংজ্ঞা 2.5-এর দুই চেনা সূত্রকে পুনরুদ্ধার করে — এক ভাষায়:

discrete $X$ (মান $x_1,x_2,\dots$, $\mathbb P(X=x_i)=p_i$): এখানে $X=\sum_i x_i\mathbf 1_{\{X=x_i\}}$ একটা (সম্ভবত গণনাযোগ্য) simple-সদৃশ ফাংশন, আর integral সংজ্ঞা সরাসরি দেয় $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P=\sum_i x_i\,\mathbb P(X=x_i)=\sum_i x_i p_i.$
continuous $X$ (density $f_X$, অর্থাৎ $P_X(dx)=f_X(x)\,dx$): LOTUS + density (নিচে) দেয় $\mathbb E[X]=\int_{\mathbb R} x\,dP_X(x)=\int_{\mathbb R} x\,f_X(x)\,dx.$

দুটোই একই $\int X\,d\mathbb P$-এর বিশেষ রূপ — আর singular distribution (যেমন Cantor) যাদের না-আছে pmf না density, তারাও এই একই সংজ্ঞায় ধরা পড়ে। এটাই 7.1-এর প্রতিশ্রুতি: তিন আলাদা তত্ত্বের জায়গায় একটাই।

LOTUS (law of the unconscious statistician)। একটা Borel ফাংশন $g:\mathbb R\to\mathbb R$ ও random variable $X$-এর জন্য, $g(X)$-এর expectation দুইভাবে — হয় $\Omega$-তে, নয়তো $X$-এর law $P_X$ (7.3-এর pushforward) দিয়ে $\mathbb R$-তে — হিসাব করা যায়, এবং দুটো মেলে:

\[ \boxed{\ \mathbb E[g(X)]\;=\;\int_\Omega g(X)\,d\mathbb P\;=\;\int_{\mathbb R} g\,dP_X\ } \]

(এটি pushforward-এর সাধারণ change-of-variables সূত্রের বিশেষ রূপ; প্রমাণ §৪-এ standard machine — indicator → simple → অঋণাত্মক → সাধারণ, যা MCT-নির্ভর)। এর মূল্য বিশাল: $g(X)$-এর জন্য $\Omega$-এর জটিল গঠন জানার দরকার নেই, শুধু $X$-এর distribution $P_X$ (বা CDF/density) জানলেই $\mathbb E[g(X)]$ বেরোয় — যেমন $\mathrm{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mu)^2]=\int(x-\mu)^2\,dP_X$।

একটা ক্ষুদ্র, চেনা verify — একটা ছক্কা। $\Omega=\{1,\dots,6\}$, $\mathcal F=2^\Omega$, $\mathbb P(\{\omega\})=\tfrac16$, আর $X(\omega)=\omega$ (যে সংখ্যা উঠল)। তখন $X=\sum_{k=1}^6 k\,\mathbf 1_{\{k\}}$ — একটা অঋণাত্মক simple ফাংশন, কাজেই ধাপ ১-এর সংজ্ঞা সরাসরি লাগে: $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P=\sum_{k=1}^6 k\cdot\mathbb P(\{k\})=\sum_{k=1}^6 k\cdot\tfrac16=\tfrac{21}{6}=3.5$ — ঠিক 2.5-এ পাওয়া পুরোনো $\sum_k k\,p_k$। আর LOTUS দিয়ে $g(x)=x^2$ নিলে $\mathbb E[X^2]=\sum_k k^2\cdot\tfrac16=\tfrac{91}{6}$, তাই $\mathrm{Var}(X)=\tfrac{91}{6}-(3.5)^2=\tfrac{35}{12}\approx 2.9167$ — সবই পরিচিত উত্তর, কিন্তু এখন একটিমাত্র integral-সংজ্ঞা থেকে।

Riemann-পুনরুদ্ধার ও Dirichlet। এই Lebesgue integral কি পুরোনো Riemann integral-কে অস্বীকার করে? না — তাকে অন্তর্ভুক্ত ও অতিক্রম করে। একটা bounded ফাংশন $f$ on $[a,b]$ Riemann-integrable হলে সে Lebesgue-integrable-ও, এবং দুই integral সমান (§৪) — তাই calculus-এ শেখা সব $\int_a^b f(x)\,dx$ অবিকল বৈধ থাকে। পার্থক্য শুরু সীমানায়: Lebesgue criterion (§৪) বলে — bounded $f$ on $[a,b]$ Riemann-integrable iff $f$ তার continuity point-এর বাইরে কেবল একটা measure-শূন্য set-এ ভাঙে (অর্থাৎ "continuous a.e.")। Dirichlet $\mathbf 1_{\mathbb Q}$ সর্বত্র discontinuous — তাই Riemann-এ অস্তিত্বহীন (C2); কিন্তু Lebesgue-এ অনায়াসে $\int_0^1\mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=1\cdot\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])+0=0$। Lebesgue শ্রেণি কঠোরভাবে বড়।

এক বাক্যে। $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$ একটিমাত্র সংজ্ঞা discrete $\sum x_ip_i$ ও continuous $\int xf(x)\,dx$ পুনরুদ্ধার করে; LOTUS $\mathbb E[g(X)]=\int g\,dP_X$ law দিয়েই $g(X)$ হিসাব করতে দেয়; আর Riemann-integrable হলে দুই integral মেলে, তবে Lebesgue (Dirichlet সহ) কঠোরভাবে বেশি সাধারণ।

২.৭ Monotone Convergence Theorem (MCT) — ক্রমবর্ধমান হলে limit ভেতরে নেওয়া যায়¶

এখন এ অধ্যায়ের তিন মুকুটমণি — limit আর integral কখন অদলবদল করা যায়। প্রথম ও সবচেয়ে মৌলিক: যদি ফাংশন-অনুক্রমটা ক্রমবর্ধমান (monotone increasing) হয়, অদলবদল সর্বদা বৈধ।

theorem (Monotone Convergence Theorem, MCT; monotone convergence — বিবৃতি; প্রমাণ §৪)। ধরা যাক $(f_n)_{n\ge 1}$ measurable ফাংশন যারা

\[ 0\le f_1\le f_2\le f_3\le\cdots\qquad\text{and}\qquad f_n(\omega)\uparrow f(\omega)\ \text{for all }\omega\text{ (point-wise)}. \]

তবে limit $f$ measurable, এবং

\[ \int_\Omega f_n\,d\mu\;\uparrow\;\int_\Omega f\,d\mu,\qquad\text{that is}\qquad \lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\,d\mu=\int_\Omega\Big(\lim_{n\to\infty}f_n\Big)\,d\mu. \]

(অঋণাত্মকতা ও ক্রমবর্ধমানতা — এই দুই শর্তই যথেষ্ট; কোনো dominating ফাংশন লাগে না, আর limit $f$ এমনকি $+\infty$ হলেও বিবৃতিটা $[0,\infty]$-এ সত্য থাকে।)

কেন এটা স্বজ্ঞাগত। ফাংশনগুলো যখন একসুরে ওপরে ওঠে আর কখনো নামে না, কোনো ভর "পালিয়ে" যেতে পারে না — যা যোগ হচ্ছে তা থেকেই যায়। তাই ওঠার সীমা (limit ফাংশন)-এর তলার ক্ষেত্রফল ঠিক ক্ষেত্রফলগুলোর ওঠার সীমা। গভীরে এটি 7.2-এর continuity from below-এর ($A_n\uparrow A\Rightarrow\mu(A_n)\uparrow\mu(A)$) সরাসরি ফাংশন-সংস্করণ — আর সেই কারণেই MCT-র জন্য countable additivity অপরিহার্য ছিল (7.1-এর C1)।

MCT কেন কেন্দ্রীয়। এটি কেবল একটা swap-theorem নয় — এ অধ্যায়ের ইঞ্জিন। ২.২-এর $\sup$-সংজ্ঞা আর 7.3-এর সিঁড়ি $s_n\uparrow f$ মিলিয়ে MCT বলে $\int f=\lim_n\int s_n$ — অর্থাৎ যেকোনো অঋণাত্মক $f$-এর integral সিঁড়ি বেয়ে সরাসরি হিসাব করা যায়। ঠিক এখান থেকেই §৪-এ integral-এর linearity (২.৫), LOTUS (২.৬), এমনকি Fatou ও DCT-ও নেমে আসবে। MCT না থাকলে গোটা তত্ত্বটাই দাঁড়াত না।

এক বাক্যে MCT। $0\le f_n\uparrow f$ হলে $\int f_n\uparrow\int f$ — ক্রমবর্ধমান অঋণাত্মক অনুক্রমে limit সর্বদা integral-এর ভেতরে নেওয়া যায় (কোনো dominating ফাংশন ছাড়াই); এটি 7.2-এর continuity-from-below-এর ফাংশন-রূপ এবং এ অধ্যায়ের প্রমাণ-ইঞ্জিন।

২.৮ Fatou's Lemma — অঋণাত্মক হলে একটা inequality সবসময়ই থাকে¶

MCT-র শর্ত (ক্রমবর্ধমান) কড়া — বাস্তবে অনুক্রম প্রায়ই ওঠানামা করে, কোনো limit-ই নাও থাকতে পারে। তখনও একটা একতরফা নিয়ন্ত্রণ পাওয়া যায়, কেবল অঋণাত্মকতা ধরে — এটিই Fatou-র লেমা।

theorem (Fatou's Lemma, ফাতু-র theorem — বিবৃতি; প্রমাণ §৪)। যেকোনো অঋণাত্মক measurable অনুক্রম $f_n\ge 0$-এর জন্য

\[ \int_\Omega\Big(\liminf_{n\to\infty} f_n\Big)\,d\mu\;\le\;\liminf_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\,d\mu. \]

(এখানে কোনো convergence বা monotonicity ধরা হয়নি; $\liminf$ সর্বদা সংজ্ঞায়িত, আর 7.3-এর closure বলে $\liminf_n f_n$ measurable।)

কীভাবে পড়তে হয়। বাঁদিকে — আগে point-wise $\liminf$ নিয়ে যে ফাংশন পেলাম, তার integral; ডানদিকে — আগে integral নিয়ে যে সংখ্যা-অনুক্রম পেলাম, তার $\liminf$। Fatou বলে আগে limit নিলে integral কখনো বাড়তে পারে না (হয় সমান, নয় কমে) — অর্থাৎ limit নেওয়ার সময় ভর হারাতে পারো, কিন্তু কোত্থেকে নতুন ভর গজাতে পারে না।

কেন কঠোর inequality (strict) হতে পারে — moving spike। 7.1-এর $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$ নাও: প্রতিটা $x>0$-তে শেষমেশ $f_n(x)=0$, তাই $\liminf_n f_n=0$ সর্বত্র, বাঁদিক $=\int 0\,d\lambda=0$। কিন্তু প্রতিটা $\int f_n=1$, তাই ডানদিক $=\liminf_n 1=1$। ফলে

\[ 0=\int\liminf f_n\;<\;\liminf\int f_n=1 \]

— inequality-টা কঠোর, ভর "$1$" limit নেওয়ার সময় হারিয়ে গেছে। এটিই দেখায় Fatou-কে সমতা বানানো যায় না সাধারণভাবে; সমতা পেতে হলে অতিরিক্ত শর্ত লাগে (ক্রমবর্ধমানতা → MCT, বা dominating ছাদ → DCT)। চিত্র 7-4-fatou-strict ঠিক এই $0<1$ ফাঁকটাই চোখে দেখাবে।

এক বাক্যে Fatou। অঋণাত্মক $f_n$-এ $\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$ — limit নেওয়ার সময় ভর হারাতে পারো কিন্তু গজাতে পারো না; moving-spike-এ inequality কঠোর ($0<1$), যা প্রমাণ করে সমতার জন্য বাড়তি শর্ত (MCT/DCT) লাগে।

২.৯ Dominated Convergence Theorem (DCT) — একটা integrable ছাদ থাকলে limit ভেতরে নেওয়া যায়¶

সবচেয়ে বেশি-ব্যবহৃত swap-theorem — যা ক্রমবর্ধমানতা ছাড়াই, শুধু একটা integrable "ছাদ"-এর বিনিময়ে limit↔integral অদলবদলের অনুমতি দেয়। এটি Fatou থেকে নেমে আসে (§৪)।

theorem (Dominated Convergence Theorem, DCT; প্রভাবিত convergence — বিবৃতি; প্রমাণ §৪)। ধরা যাক measurable $(f_n)$-এর জন্য

\[ f_n\to f\ \ \mu\text{-a.e.},\qquad\text{and there exists }g\in L^1(\mu)\text{ such that }\ \lvert f_n\rvert\le g\ \ \mu\text{-a.e. for all }n. \]

তবে $f\in L^1(\mu)$, এবং

\[ \lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\,d\mu=\int_\Omega f\,d\mu,\qquad\text{more strongly}\qquad \lim_{n\to\infty}\int_\Omega\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=0. \]

(একটিমাত্র, $n$-নিরপেক্ষ, integrable ফাংশন $g$ সব $f_n$-কে "ঢেকে রাখে" — এই dominating ছাদই মূল শর্ত।)

কেন ছাদটাই আসল। dominating $g\in L^1$ নিশ্চিত করে যে কোনো ভর "অসীমে পালাতে" পারে না — সব $f_n$ একটাই সসীম-ভরের ছাদের নিচে আটকা, তাই limit নেওয়ার সময় ভর হারিয়ে যাওয়ার পথ বন্ধ। ফলে শুধু $\int f_n\to\int f$ নয়, $L^1$-অর্থেও $f_n\to f$ ($\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$) — যা triangle inequality (২.৫) দিয়ে আগেরটা ফিরিয়ে দেয়, এবং 7.5/7.6-এ অপরিহার্য।

moving spike কেন DCT মানে না — এবং সেটাই ঠিক। $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}\to 0$ a.e., তাই convergence-শর্ত ঠিক আছে; কিন্তু এদের ঢাকতে গেলে দরকার $g(x)\ge\sup_n f_n(x)$, যা $x\to 0^+$-এ মোটামুটি $1/x$-এর মতো বাড়ে — আর $\int_0^1\frac1x\,dx=\infty$, তাই কোনো integrable $g$ এদের ঢাকতে পারে না। DCT-র dominating-শর্ত ভাঙে, তাই DCT এখানে $\int f_n\to\int f$ দাবি করে না — এবং বাস্তবেও $1\ne 0$। অর্থাৎ moving-spike কোনো theorem লঙ্ঘন করে না; সে নিছক দেখায় hypothesis-টা কেন অপরিহার্য। ঠিক এই জায়গায় 7.1-এর C4 সম্পূর্ণ মীমাংসিত হয়: $\lim\int\ne\int\lim$ ঘটে কারণ integrable ছাদ নেই, MCT-র monotonicity-ও নেই — তিন swap-theorem-এর একটিও প্রযোজ্য নয়, তাই অদলবদল বৈধ ছিল না।

এক বাক্যে DCT। $f_n\to f$ a.e. ও একটাই integrable ছাদ $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$ থাকলে $f\in L^1$ এবং $\int f_n\to\int f$ (এমনকি $\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$); moving-spike-এ এমন $g$ নেই বলেই $\lim\int\ne\int\lim$ — DCT ভাঙে না, বরং hypothesis কেন লাগে তা দেখায়, আর এতেই C4 সম্পূর্ণ মীমাংসিত।

তিন theorem একসঙ্গে — কোনটা কখন¶

তিন swap-theorem-কে একটা সিদ্ধান্ত-ছবি হিসেবে গুছিয়ে রাখা যাক, কারণ ব্যবহারে এটিই বারবার লাগবে — "limit ভেতরে নিতে পারি কি?"

পরিস্থিতি	শর্ত	উপসংহার
MCT	$0\le f_n\uparrow f$ (ক্রমবর্ধমান, অঋণাত্মক)	$\int f_n\uparrow\int f$ — সমতা সর্বদা
Fatou	শুধু $f_n\ge 0$ (কোনো convergence/monotonicity দরকার নেই)	$\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$ — এক-তরফা inequality সর্বদা
DCT	$f_n\to f$ a.e. এবং $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$ (integrable ছাদ)	$\int f_n\to\int f$ ও $\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$ — সমতা

তিনটের সম্পর্কও সুন্দর — এরা independent নয়, একটাই শিকড় থেকে: §৪-এ আমরা দেখব MCT মৌলিক (7.2-এর continuity-from-below থেকে), তারপর MCT থেকে Fatou ($g_k=\inf_{n\ge k}f_n\uparrow\liminf f_n$ একটা ক্রমবর্ধমান অনুক্রম — MCT লাগাও), আর Fatou থেকে DCT ($g\pm f_n\ge 0$-তে Fatou দু-বার)। তাই কার্যত একটাই theorem — MCT — তিন মুখে। আর moving-spike তিন ক্ষেত্রেই সীমারেখা চেনায়: সে MCT-র monotonicity মানে না, DCT-র integrable ছাদ পায় না, কেবল Fatou-র inequality-টুকু মানে (এবং সেখানে $0<1$ কঠোর) — ঠিক যেখানে limit↔integral অদলবদল বৈধ নয়।

এক বাক্যে। MCT (ক্রমবর্ধমান → সমতা), Fatou (অঋণাত্মক → এক-তরফা inequality), DCT (integrable ছাদ → সমতা) — তিনটেই MCT-শিকড় থেকে গজানো limit↔integral-সিদ্ধান্তের সরঞ্জাম, আর moving-spike তাদের সীমারেখা; §৪-এ প্রমাণ, §৫–৬-এ চার চিত্রে (seed 20260619) চাক্ষুষ।

৩ · পূর্ণাঙ্গ উদাহরণ¶

§১–২-এ আমরা Lebesgue integral (লেবেগ অখণ্ড)-এর গোটা নির্মাণ-সিঁড়ি গড়েছি — তিন ধাপে: প্রথমে simple function-এর জন্য $\int s\,d\mu=\sum_i a_i\,\mu(A_i)$, তারপর nonnegative (অঋণাত্মক) measurable $f\ge 0$-এর জন্য নিচ থেকে চাপা simple-দের supremum $\int f\,d\mu=\sup\{\int s\,d\mu:0\le s\le f,\ s\text{ simple}\}$, এবং শেষে general (সাধারণ) $f=f^+-f^-$-এর জন্য $\int f\,d\mu=\int f^+\,d\mu-\int f^-\,d\mu$ — যখন অন্তত একটা পক্ষ সসীম; দুটোই সসীম হলে $f\in L^1$ (integrable)। সঙ্গে এসেছে তিন স্তম্ভ-theorem যারা limit ও integral-এর অদলবদলের শর্ত দেয় — MCT (monotone convergence theorem, monotone convergence theorem), Fatou's lemma (ফাতু-র উপপত্তি), ও DCT (dominated convergence theorem, প্রাধান্যিত convergence theorem) — এবং $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$ অভেদ, যা expectation-কে integral বানায়। এই অংশের উদ্দেশ্য সেই বিমূর্ত কাঠামোকে হাতে-কলমে, কংক্রিট সংখ্যা ও কংক্রিট ক্রম দিয়ে ছুঁয়ে দেখা। ছয়টি উদাহরণে প্রতিটি ধাপ ধৈর্য ধরে কষব — কোনো হিসাব লুকানো থাকবে না — তারপর প্রতিটির শেষে "কী শিখলাম" বলে মূল শিক্ষাটা গুটিয়ে আনব। কষ্টের স্তর শিরোনামে তারা দিয়ে চিহ্নিত: ★ = সরাসরি, সংজ্ঞা প্রয়োগ করলেই হয় · ★★ = কিছু কৌশল বা সতর্ক যুক্তি লাগে। সব technical term English-এই রাখা হয়েছে; দরকারে অর্থটি আলাদা বাংলা বাক্যে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। জুড়ে $\lambda$ মানে $[0,1]$ বা $\mathbb R$-এর উপর Lebesgue measure — সাধারণ "দৈর্ঘ্য"।

উদাহরণ ১ — simple function-এর integral হাতে (★)¶

সেটআপ। integral-এর গোড়ার ইট হলো simple function-এর integral। একটা simple function হলো সসীম-অনেক মান নেওয়া measurable ফাংশন, যাকে indicator $\mathbf 1_{A}$-এর ভারিত যোগফলে লেখা যায়। ধরা যাক $[0,1)$-এর উপর

\[ s=2\cdot\mathbf 1_{[0,0.3)}+5\cdot\mathbf 1_{[0.3,0.5)}+1\cdot\mathbf 1_{[0.5,1)} . \]

অর্থাৎ $s$-এর মান $[0,0.3)$-এ $2$, $[0.3,0.5)$-এ $5$, আর $[0.5,1)$-এ $1$। সংজ্ঞা বলছে: integral হলো "মান × সেই-মানের-অংশের-দৈর্ঘ্য"-এর যোগফল,

\[ \int_{[0,1)} s\,d\lambda=\sum_i a_i\,\lambda(A_i), \]

যেখানে $a_i$ মানগুলো আর $A_i=\{s=a_i\}$ তাদের level set (স্তর-সেট)।

হাতে কষা। তিনটি টুকরোর দৈর্ঘ্য সরাসরি: $\lambda([0,0.3))=0.3$, $\lambda([0.3,0.5))=0.2$, $\lambda([0.5,1))=0.5$। তাই

\[ \int_{[0,1)} s\,d\lambda = 2\cdot 0.3 \;+\; 5\cdot 0.2 \;+\; 1\cdot 0.5 = 0.6 + 1.0 + 0.5 = 2.1 . \]

লক্ষণীয়, এই হিসাবটা ঠিক একটা histogram-এর নিচের ক্ষেত্রফল — প্রতিটি আয়তের ক্ষেত্রফল (উচ্চতা $a_i$) × (ভিত্তি $\lambda(A_i)$) যোগ করা। কোনো limit, কোনো partition-refinement লাগেনি; integral-টা একটা সসীম যোগফল।

প্রতিনিধিত্ব-নিরপেক্ষতা (representation-independence)। একটা সূক্ষ্ম প্রশ্ন: একই ফাংশন $s$-কে একাধিকভাবে indicator-যোগফলে লেখা যায় — উত্তর কি লেখার ভঙ্গির উপর নির্ভর করে? করে না, আর সেটাই সংজ্ঞাটাকে well-defined (সুসংজ্ঞায়িত) করে। দেখা যাক $[0,0.3)$-কে দু-ভাগ করে $s$-কে চারটি টুকরোয় লিখি (যদিও $[0,0.15)$ ও $[0.15,0.3)$ দুটোতেই মান একই $2$):

\[ s=2\cdot\mathbf 1_{[0,0.15)}+2\cdot\mathbf 1_{[0.15,0.3)}+5\cdot\mathbf 1_{[0.3,0.5)}+1\cdot\mathbf 1_{[0.5,1)} . \]

এই (অপ্রমিত) উপস্থাপনায় যোগফল কষি:

\[ 2\cdot 0.15+2\cdot 0.15+5\cdot 0.2+1\cdot 0.5 =0.3+0.3+1.0+0.5 =2.1 . \]

একই $2.1$। কারণটা finite additivity (সসীম যোগাত্মকতা): $[0,0.3)=[0,0.15)\sqcup[0.15,0.3)$ বিচ্ছিন্ন মিলন, তাই $\lambda([0,0.15))+\lambda([0.15,0.3))=0.15+0.15=0.3=\lambda([0,0.3))$ — টুকরো ভাঙলে সংশ্লিষ্ট পদও ঠিক সেই অনুপাতে ভাঙে, যোগফল অপরিবর্তিত। সাধারণভাবে: দুটো উপস্থাপনার যেকোনো সাধারণ পরিশোধন (common refinement) নিলে দুদিকেই একই পদ আসে, তাই $\sum a_i\lambda(A_i)$ উপস্থাপনা-নিরপেক্ষ।

কী শিখলাম। simple function-এর integral হলো নিছক মান × দৈর্ঘ্য-এর যোগফল $\int s\,d\lambda=\sum_i a_i\lambda(A_i)$ — একটা histogram-এর ক্ষেত্রফল, কোনো limit ছাড়াই গোনা যায় ($s=2\cdot\mathbf 1_{[0,0.3)}+5\cdot\mathbf 1_{[0.3,0.5)}+1\cdot\mathbf 1_{[0.5,1)}\Rightarrow 2.1$)। আর এই সংজ্ঞা প্রতিনিধিত্ব-নিরপেক্ষ: একই $s$-কে অন্যভাবে indicator-যোগফলে ভাঙলেও finite additivity-র দরুন উত্তর বদলায় না — তাই $\int s\,d\lambda$ সত্যিই $s$-এরই একটা ধর্ম, লেখার ভঙ্গির নয়। এই একটিমাত্র সুসংজ্ঞায়িত ইট থেকেই পরের ধাপে অঋণাত্মক $f$-এর integral (নিচ-থেকে simple-দের supremum) দাঁড় করানো হয়।

উদাহরণ ২ — Dirichlet function-এর integral, Lebesgue-এ $0$ (★)¶

সেটআপ। ৭.১-এ আমরা Dirichlet function (দিরিশলে ফাংশন) $D=\mathbf 1_{\mathbb Q}$ দেখেছিলাম — $[0,1]$-এর rational সংখ্যায় $1$, irrational-এ $0$ — আর দেখেছিলাম এটা Riemann-integrable নয় (প্রতিটি partition-এ upper sum $=1$, lower sum $=0$, কখনো মেলে না)। এখন প্রশ্ন: Lebesgue-এর সংজ্ঞায় এর integral কত? দাবি:

\[ \int_0^1 \mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda = 0 . \]

এটা একটা বৈধ Lebesgue integral — যদিও Riemann-এ অস্তিত্বহীন।

কষা — সংজ্ঞা থেকে সরাসরি। $\mathbf 1_{\mathbb Q}\ge 0$, তাই অঋণাত্মক-কেসের সংজ্ঞা খাটে:

\[ \int_0^1 \mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda =\sup\Big\{\textstyle\int_0^1 s\,d\lambda \;:\; s\text{ simple},\ 0\le s\le \mathbf 1_{\mathbb Q}\Big\} . \]

এখন মূল পর্যবেক্ষণ: $\mathbf 1_{\mathbb Q}$-এর নিচে যে-কোনো simple $s$ (অর্থাৎ $0\le s\le\mathbf 1_{\mathbb Q}$) কেবল সেইসব বিন্দুতেই ধনাত্মক হতে পারে যেখানে $\mathbf 1_{\mathbb Q}>0$ — অর্থাৎ কেবল $\mathbb Q\cap[0,1]$-এর উপর; irrational বিন্দুতে $\mathbf 1_{\mathbb Q}=0$, তাই সেখানে $s$ চাপা পড়ে $0$-তে। সুতরাং এমন প্রতিটি $s$-এর ধনাত্মক অংশ $\{s>0\}\subseteq\mathbb Q\cap[0,1]$।

এবার মাপ-শূন্যতা ($\mathbb Q$ countable হওয়ার ফল): $\mathbb Q\cap[0,1]$ একটা গণনাযোগ্য (countable) set, আর প্রতিটি একক বিন্দুর Lebesgue measure $0$; countable additivity-তে গণনাযোগ্য মিলনেরও measure $0$, তাই

\[ \lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=0 . \]

ফলে যেকোনো বৈধ $s=\sum_i a_i\mathbf 1_{A_i}$ (যেখানে প্রতিটি ধনাত্মক-মানের $A_i\subseteq\mathbb Q\cap[0,1]$, তাই $\lambda(A_i)=0$) দেয়

\[ \int_0^1 s\,d\lambda=\sum_i a_i\,\lambda(A_i)=\sum_i a_i\cdot 0=0 . \]

নিচের প্রতিটি simple-এর integral $0$, তাই তাদের supremum-ও $0$:

\[ \int_0^1 \mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=\sup\{0\}=0 . \]

আরেকভাবে দেখলে, সরাসরি: $\int_0^1\mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=1\cdot\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])+0\cdot\lambda(\text{irrational part})=1\cdot 0+0=0$ — indicator-এর integral ঠিক সেই set-এর measure, আর $\mathbb Q$-এর measure শূন্য।

৭.১-এর সঙ্গে বৈসাদৃশ্য। Riemann-পদ্ধতি domain-কে উল্লম্ব ফালিতে কাটে, আর প্রতিটি ফালিতে rational-ও irrational-ও থাকায় upper/lower sum কখনো মেলে না — তাই $D$ Riemann-এ integrable নয়। Lebesgue-পদ্ধতি বদলে range (পাল্লা)-কে কাটে: "$D=1$ কোথায়?" উত্তর $\mathbb Q\cap[0,1]$, যার measure $0$; "$D=0$ কোথায়?" বাকি সব। মান-অনুযায়ী হিসাব করায় wild ফাংশনটা শান্ত হয়ে যায়, integral দাঁড়ায় $0$ — ঠিক যা ৭.১ প্রতিশ্রুতি দিয়েছিল ("Lebesgue একে অনায়াসে $0$ দেয়")।

কী শিখলাম। Riemann যেখানে হার মানে, Lebesgue সেখানে অনায়াসে উত্তর দেয়: $\int_0^1\mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=0$, কারণ একটা indicator-এর integral ঠিক সেই set-এর measure, আর $\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=0$ ($\mathbb Q$ countable)। সংজ্ঞা-পথে দেখলে: $\mathbf 1_{\mathbb Q}$-এর নিচে যে-কোনো simple কেবল measure-শূন্য একটা set-এ ধনাত্মক, তাই তার integral $0$ — সব নিচের simple-এর integral $0$ হওয়ায় supremum-ও $0$। গভীর বার্তা: Lebesgue range-কে কাটে বলে "কোথায় মান $1$" প্রশ্নের উত্তর measure-শূন্য হলেই অবদান শূন্য — এই null set (অসার সেট)-উপেক্ষার ক্ষমতাই Lebesgue integral-কে Riemann-এর চেয়ে কঠোরভাবে শক্তিশালী করে।

উদাহরণ ৩ — MCT হাতে-কলমে (★★)¶

সেটআপ। monotone convergence theorem (MCT) বলে: যদি অঋণাত্মক measurable ক্রম $f_n\ge 0$ বিন্দুভিত্তিকভাবে বেড়ে $f_n\uparrow f$ যায়, তবে integral-ও সেই limit ধরে —

\[ f_n\uparrow f \quad\Longrightarrow\quad \int f_n\,d\mu \;\uparrow\; \int f\,d\mu . \]

অর্থাৎ এই (monotone-বৃদ্ধি) পরিস্থিতিতে limit আর integral নির্ভয়ে অদলবদল করা যায়। একটা কংক্রিট ক্রমে যন্ত্রটা চালিয়ে দেখি যেখানে limit-ফাংশনটা unbounded (অসীম-উঁচু) অথচ integrable — MCT-র আসল শক্তি ঠিক এখানেই ধরা পড়ে।

$(0,1)$-এর উপর নিই

\[ f_n(x)=\min\!\big(n,\;x^{-1/2}\big),\qquad n=1,2,3,\dots \]

অর্থাৎ $f_n$ হলো $x^{-1/2}=1/\sqrt x$-কে উপর থেকে $n$-এ ছেঁটে দেওয়া (truncated) সংস্করণ: যেখানে $x^{-1/2}\le n$ (অর্থাৎ $x\ge 1/n^2$) সেখানে $f_n(x)=x^{-1/2}$, আর যেখানে $x^{-1/2}>n$ (অর্থাৎ $x<1/n^2$, $0$-এর কাছে) সেখানে চ্যাপ্টা করে $f_n(x)=n$।

ধাপ ১ — $f_n\uparrow f$ verify। ছাঁট-উচ্চতা $n$ বাড়ার সঙ্গে ছাঁট শিথিল হয়, তাই প্রতিটি $x$-এ $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ — ক্রমটি অ-হ্রাসমান (non-decreasing)। আর যেকোনো নির্দিষ্ট $x\in(0,1)$-এ, $n$ যথেষ্ট বড় হলে ($n\ge x^{-1/2}$) ছাঁট আর কামড়ায় না, তাই $f_n(x)=x^{-1/2}$ — অর্থাৎ

\[ f_n(x)\;\uparrow\;f(x)=x^{-1/2}\qquad\text{for each }x\in(0,1). \]

লক্ষণীয়, limit-ফাংশন $f(x)=x^{-1/2}$ unbounded: $x\to 0^+$-এ $f(x)\to\infty$। তবু, যেমন দেখব, তার integral সসীম।

ধাপ ২ — $\int f_n\,d\lambda$ কষা। ছাঁট-বিন্দু $x_n=1/n^2$ (যেখানে $x^{-1/2}=n$)। $f_n$-কে দুই টুকরোয় ভাগ করি — বাঁয়ে ($0<x<x_n$) ধ্রুবক $n$, ডানে ($x_n\le x<1$) মূল $x^{-1/2}$:

\[ \int_0^1 f_n\,d\lambda =\underbrace{\int_0^{1/n^2} n\,dx}_{\text{flat part}} +\underbrace{\int_{1/n^2}^{1} x^{-1/2}\,dx}_{\text{untruncated part}} . \]

প্রথম পদ: $n\cdot(1/n^2-0)=n\cdot\tfrac{1}{n^2}=\tfrac1n$। দ্বিতীয় পদ: $\int x^{-1/2}\,dx=2x^{1/2}$, তাই $\big[2x^{1/2}\big]_{1/n^2}^{1}=2\cdot 1-2\cdot\sqrt{1/n^2}=2-\tfrac2n$। যোগ করে:

\[ \int_0^1 f_n\,d\lambda=\tfrac1n+\Big(2-\tfrac2n\Big)=2-\tfrac1n . \]

ধাপ ৩ — limit। $n\to\infty$-এ $2-\tfrac1n\uparrow 2$। আর MCT বলছে এই limit ঠিক limit-ফাংশনের integral:

\[ \int_0^1 f\,d\lambda=\int_0^1 x^{-1/2}\,d\lambda=\big[2x^{1/2}\big]_0^1=2 . \]

সংখ্যাটা মেলে: $\int_0^1 x^{-1/2}\,d\lambda=2$, আর $f_n$-এর integral-গুলো নিচ থেকে $2$-তে উঠে আসছে। একটা টেবিলে বৃদ্ধি দেখি:

$n$	$\int_0^1 f_n\,d\lambda=2-\tfrac1n$
$1$	$1.0$
$2$	$1.5$
$10$	$1.9$
$100$	$1.99$
$1000$	$1.999$

প্রতিটি $f_n$ bounded (সর্বোচ্চ $n$), তাই প্রতিটির integral নির্বিঘ্নে গোনা যায়; অথচ তাদের monotone limit $f=x^{-1/2}$ unbounded। MCT-ই সেই সেতু — bounded সিঁড়ির integral-গুলোর সীমা ধরিয়ে অসীম-উঁচু $f$-এর integral-কে $2$ বলে স্থির করে দেয়, যদিও $f$-কে সরাসরি simple দিয়ে চাপা কষ্টকর হতো।

কী শিখলাম। MCT monotone-বৃদ্ধি $f_n\uparrow f$-তে limit ও integral অদলবদলের অধিকার দেয়: $\int f_n\,d\lambda\uparrow\int f\,d\lambda$। এখানে $f_n=\min(n,x^{-1/2})$ নিচ থেকে $x^{-1/2}$-কে চেপে ধরল, $\int f_n=2-\tfrac1n\uparrow 2$ (টেবিল: $n=1,2,10,100,1000\to 1.0,1.5,1.9,1.99,1.999$)। সবচেয়ে দামি পাঠ: limit-ফাংশন $f=x^{-1/2}$ unbounded অথচ integrable ($\int=2$) — bounded truncation-দের integral-এর সীমা ধরেই আমরা একটা অসীম-উঁচু ফাংশনের integral সংজ্ঞায়িত ও গণনা করতে পারলাম। এটাই অঋণাত্মক-কেসের supremum-সংজ্ঞার প্রাণ: যেকোনো $f\ge 0$-এর integral = নিচ-থেকে-ওঠা সিঁড়ির integral-এর limit, আর MCT নিশ্চিত করে সিঁড়ি যেভাবেই বাছি (এখানে truncation) উত্তর একই।

উদাহরণ ৪ — Fatou কেন কঠোর inequality (★★)¶

সেটআপ। Fatou's lemma বলে — অঋণাত্মক measurable $f_n\ge 0$-এর জন্য

\[ \int \liminf_{n} f_n\,d\mu \;\le\; \liminf_{n}\int f_n\,d\mu . \]

এটা MCT-র চেয়ে দুর্বল কিন্তু সর্বজনীন: $f_n$-কে monotone হতে হয় না, এমনকি limit থাকতেও হয় না — শুধু অঋণাত্মক হলেই চলে। দাম: সমতার বদলে কেবল "$\le$" (ছোট-বা-সমান)। স্বাভাবিক প্রশ্ন: এই "$\le$" কি আসলে সবসময় "$=$"-এ গড়ায়, নাকি সত্যিই কখনো কঠোরভাবে ছোট (strict) হয়? উত্তর: কঠোর হতে পারে, আর একটা পরিষ্কার উদাহরণেই তা ধরা পড়ে — অর্থাৎ Fatou-কে সাধারণভাবে সমতায় বাঁধা যায় না।

নিই সেই চেনা moving spike (সচল চূড়া) — ৭.১-এর C4 — $(0,1)$-এর উপর

\[ f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)},\qquad n=1,2,3,\dots \]

অর্থাৎ $0$ থেকে $1/n$ পর্যন্ত উচ্চতা $n$, বাকি সর্বত্র $0$। প্রতিটি $f_n\ge 0$, তাই Fatou খাটে।

ডান পক্ষ — $\liminf_n\int f_n$। প্রতিটি spike-এর নিচের ক্ষেত্রফল ধ্রুবক: ভিত্তি $1/n$ × উচ্চতা $n=1$। তাই

\[ \int_0^1 f_n\,d\lambda=n\cdot\lambda\big((0,1/n)\big)=n\cdot\tfrac1n=1\qquad\text{for each }n. \]

ধ্রুবক ক্রম $1,1,1,\dots$-এর liminf স্পষ্টতই

\[ \liminf_n\int_0^1 f_n\,d\lambda=1 . \]

বাঁ পক্ষ — $\int\liminf_n f_n$। এবার আগে বিন্দুভিত্তিক $\liminf$ বের করি। যেকোনো নির্দিষ্ট $x\in(0,1)$-এ: $n$ যথেষ্ট বড় হলে ($n>1/x$, অর্থাৎ $1/n<x$) চূড়াটা $x$-কে আর ঢাকে না, তাই $f_n(x)=0$। মানে প্রতিটি স্থির $x>0$-তে শেষ পর্যন্ত $f_n(x)=0$, ফলে

\[ \liminf_n f_n(x)=0\qquad\text{for each }x\in(0,1) \]

(আসলে $\lim_n f_n(x)=0$)। অর্থাৎ limit-ফাংশন অভিন্নভাবে শূন্য, $\liminf_n f_n=0$। তার integral:

\[ \int_0^1 \liminf_n f_n\,d\lambda=\int_0^1 0\,d\lambda=0 . \]

মুখোমুখি বসানো। দুই পক্ষ পাশাপাশি রাখলে:

\[ \underbrace{\int_0^1 \liminf_n f_n\,d\lambda}_{=\,0} \;<\; \underbrace{\liminf_n\int_0^1 f_n\,d\lambda}_{=\,1}, \qquad\text{that is }0<1 . \]

Fatou-র inequality ($0\le 1$) মানছে — কিন্তু কঠোরভাবে; সমতা এখানে অসম্ভব। কোথায় "হারিয়ে গেল" ভর $1$? চূড়া যত সরু-উঁচু হয়, তার ক্ষেত্রফল-$1$ $0$-এর দিকে সরে গিয়ে limit-এ বিন্দু-ভিত্তিক শূন্য-তে মিলিয়ে যায় — ভরটা বিন্দুভিত্তিক limit-এ আর "ধরা থাকে না", অথচ integral-এ প্রতিবার গোনা হয়। এই ভর-পলায়নই (escape of mass) কেন Fatou শুধু "$\le$" দিতে পারে: liminf নেওয়ায় কিছু ভর হারিয়ে যেতে পারে, তাই বাঁ পক্ষ ডান পক্ষের চেয়ে ছোট হয়ে যায়। Fatou কখনো জোর করে "$=$" বানায় না — সমতা পেতে হলে MCT (একঘাতিতা) বা DCT (প্রাধান্যকারী) লাগে।

কী শিখলাম। Fatou কেবল $\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$ দেয় — আর এই "$\le$" সাধারণভাবে কঠোর, সমতা নয়। moving spike $f_n=n\mathbf 1_{(0,1/n)}$-এ বিন্দুভিত্তিক $\liminf f_n=0$ (তাই বাঁ পক্ষ $\int 0=0$), অথচ প্রতিটি $\int f_n=1$ বলে ডান পক্ষ $\liminf\int f_n=1$ — সুতরাং $0<1$ কঠোরভাবে। কারণ চূড়ার ভর-$1$ $0$-এর দিকে পালিয়ে যায়, বিন্দুভিত্তিক limit-এ অদৃশ্য হয়, integral-এ থেকে যায়। মূল বার্তা: limit ও integral সমান হওয়া স্বতঃসিদ্ধ নয় — Fatou শুধু এক-দিকের নিরাপদ inequality; সমতার জন্য চাই হয় একঘাতিতা (MCT) নয় একটা integrable প্রাধান্যকারী (DCT, পরের উদাহরণ)।

উদাহরণ ৫ — DCT হাতে-কলমে (★★)¶

সেটআপ। dominated convergence theorem (DCT) হলো limit↔integral অদলবদলের সবচেয়ে ব্যবহারিক হাতিয়ার। বিবৃতি: যদি measurable $f_n\to f$ বিন্দুভিত্তিকভাবে (প্রায়-সর্বত্র, almost everywhere/a.e. হলেই চলে), এবং একটা dominating function (প্রাধান্যকারী ফাংশন) $g\in L^1$ থাকে যাতে $\lvert f_n\rvert\le g$ প্রতিটি $n$-এ, তবে

\[ \lim_{n}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu . \]

অর্থাৎ একটা integrable ছাদ $g$ ভর-পলায়ন আটকে দেয়, তাই limit ও integral অবাধে অদলবদল করা যায়। একটা কংক্রিট ক্রমে চালাই এবং তারপর দেখি কেন উদাহরণ ৪-এর spike এই theorem-এর আওতায় পড়ে না।

$[0,1]$-এর উপর নিই

\[ f_n(x)=x^{n},\qquad n=1,2,3,\dots \]

ধাপ ১ — বিন্দুভিত্তিক limit। প্রতিটি স্থির $x\in[0,1)$-এ $\lvert x\rvert<1$ বলে $x^n\to 0$; আর $x=1$-এ $1^n=1\to 1$। অর্থাৎ

\[ f_n(x)\to f(x)=\begin{cases}0,& 0\le x<1,\\[2pt]1,& x=1.\end{cases} \]

$x=1$ একটিমাত্র বিন্দু, যার Lebesgue measure $0$ — তাই a.e. $f_n\to 0$ (একটা null set $\{1\}$ বাদে)। integral null set গায়ে মাখে না, তাই limit-ফাংশন কার্যত $f\equiv 0$।

ধাপ ২ — প্রাধান্যকারী। $[0,1]$-এ $0\le x^n\le 1$, তাই ধ্রুবক ফাংশন

\[ g\equiv 1,\qquad \int_0^1 g\,d\lambda=1<\infty\ \Rightarrow\ g\in L^1[0,1], \]

একটা বৈধ প্রাধান্যকারী: $\lvert f_n\rvert=x^n\le 1=g$ সব $n,x$-এ। DCT-র সব শর্ত মিলল।

ধাপ ৩ — integral কষা ও limit মেলানো। সরাসরি:

\[ \int_0^1 x^n\,d\lambda=\Big[\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big]_0^1=\frac{1}{n+1} . \]

$n\to\infty$-এ $\tfrac{1}{n+1}\to 0$, আর DCT বলছে এই limit ঠিক limit-ফাংশনের integral:

\[ \lim_n\int_0^1 x^n\,d\lambda=0=\int_0^1 0\,d\lambda=\int_0^1 f\,d\lambda . \]

সংখ্যাটা মেলে — এখানে limit↔integral অদলবদল বৈধ, কারণ ছাদ $g\equiv 1$ ভর ধরে রাখে। টেবিলে ক্ষয় দেখি:

$n$	$\int_0^1 x^n\,d\lambda=\tfrac{1}{n+1}$
$1$	$0.5$
$2$	$0.333$
$10$	$0.0909$
$100$	$0.0099$

ক্রমটি মসৃণভাবে $0$-এর দিকে নামছে, ঠিক $\int f=0$-এর সঙ্গে consistent।

কেন spike DCT-তে পড়ে না। এবার উদাহরণ ৪-এর moving spike $f_n=n\mathbf 1_{(0,1/n)}$-এ ফিরি, যেখানে limit↔integral অদলবদল ভেঙেছিল ($\lim\int f_n=1\ne 0=\int\lim f_n$)। DCT কেন একে বাঁচাতে পারে না? কারণ এর জন্য কোনো integrable প্রাধান্যকারী নেই। যেকোনো $g$ যা সব $f_n$-কে একসঙ্গে ঢাকবে তাকে অন্তত pointwise supremum-কে ধরতে হবে:

\[ g(x)\ge \sup_n f_n(x)\ge \frac{1}{x}-1\quad(0<x<1), \]

কারণ একটা স্থির $x$-এ $n\approx 1/x$ বাছলে সেই spike-এর উচ্চতা $n\approx 1/x$, অর্থাৎ $\sup_n f_n(x)\sim x^{-1}$। কিন্তু

\[ \int_0^1 \frac1x\,d\lambda=\big[\ln x\big]_0^1=0-(-\infty)=\infty , \]

অর্থাৎ $x^{-1}\notin L^1(0,1)$ — কোনো integrable ছাদই spike-গুলোকে ধরতে পারে না। এই অনুপস্থিত ছাদই ৭.১-এর ভর-পলায়নের কারণ এবং ঠিক সেই শূন্যস্থান যা DCT পূরণ করতে চায়; ছাদ না থাকায় DCT প্রযোজ্য নয়, তাই limit↔integral অদলবদলও অবৈধ। (Fatou অবশ্য তখনও খাটে — উদাহরণ ৪ — শুধু "$\le$" দিয়ে।)

কী শিখলাম। DCT হলো limit↔integral অদলবদলের সবচেয়ে কাজের শর্ত: $f_n\to f$ a.e. এবং একটা integrable ছাদ $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$ থাকলে $\lim\int f_n=\int f$। এখানে $f_n=x^n$ on $[0,1]$ $\to 0$ a.e. ($x=1$ একটা null set), ছাদ $g\equiv 1\in L^1$, আর $\int x^n=\tfrac{1}{n+1}\to 0=\int 0$ (টেবিল: $n=1,2,10,100\to 0.5,0.333,0.0909,0.0099$) — অদলবদল বৈধ। বিপরীতে moving spike-এ অদলবদল ভাঙে কারণ তার প্রাধান্যকারী $\sup_n f_n\sim x^{-1}\notin L^1$ — integrable ছাদের অনুপস্থিতিই DCT-কে নিষ্ক্রিয় করে আর ভর পালাতে দেয়। মূল পাঠ: DCT-র শর্ত মিললে limit নির্ভয়ে integral-এর ভেতরে নেওয়া যায়; না-মিললে আগে domination verify না করে অদলবদল করা বিপজ্জনক।

উদাহরণ ৬ — expectation as Lebesgue integral (★)¶

সেটআপ। measure theory-র সবচেয়ে একীভূতকারী অভেদ হলো expectation = integral: একটা probability space $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$-এর উপর random variable $X$-এর জন্য

\[ \mathbb E[X]=\int_\Omega X\,d\mathbb P . \]

discrete যোগফল, continuous Riemann-integral, এমনকি singular — সব এই একই Lebesgue integral-এর বিশেষ রূপ। দেখি এটা চেনা continuous কেসে কীভাবে আমাদের জানা সূত্রে ফিরে আসে।

ধাপ ১ — $X\sim\text{Exp}(1)$, $\mathbb E[X]$। ধরা যাক $X$ একটা Exponential(1) (সূচকীয়) random variable, density $f_X(x)=e^{-x}$ for $x\ge 0$ (নাহলে $0$)। density-যুক্ত (continuous) ক্ষেত্রে $X\,d\mathbb P$-এর integral চেনা density-integral-এ নামে — $\int_\Omega X\,d\mathbb P=\int_0^\infty x\,f_X(x)\,dx$ — তাই

\[ \mathbb E[X]=\int_0^\infty x\,e^{-x}\,dx . \]

parts-এ অখণ্ডন ($u=x,\ dv=e^{-x}dx\Rightarrow du=dx,\ v=-e^{-x}$):

\[ \int_0^\infty x e^{-x}\,dx =\big[-x e^{-x}\big]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-x}\,dx =0+\big[-e^{-x}\big]_0^\infty =0+(0-(-1))=1 . \]

($x\to\infty$-এ $xe^{-x}\to 0$, $x=0$-এ $-xe^{-x}=0$।) তাই $\mathbb E[X]=1$ — Exponential(1)-এর গড় ঠিক $1$, যা Part III-এর চেনা ফল, এখন Lebesgue integral হিসেবে।

ধাপ ২ — LOTUS, এক বাক্যে। আরও সাধারণভাবে, $X$-এর কোনো ফাংশন $g(X)$-এর expectation দু-পথে গোনা যায় — হয় $\Omega$-এর উপর, নয় $X$-এর law (distribution) $P_X$-এর উপর। এটাই LOTUS (law of the unconscious statistician):

\[ \mathbb E[g(X)]=\int_\Omega g(X)\,d\mathbb P=\int_{\mathbb R} g\,dP_X , \]

যেখানে $P_X$ হলো ৭.৩-এর pushforward measure ($X$ যে ভর $\mathbb R$-এ ঠেলে দেয়)। অর্থাৎ $g(X)$-এর গড় বের করতে $\Omega$-তে নামার দরকার নেই — সরাসরি $X$-এর distribution-এর উপর $g$-কে integrate করলেই হয়। density থাকলে এটাই চেনা $\int g(x)f_X(x)\,dx$।

ধাপ ৩ — Monte-Carlo: $\mathbb E[X^2]$, $X\sim U(0,1)$। integral-কে সংখ্যায় ছুঁয়ে দেখি। নিই $X\sim\text{Uniform}(0,1)$, density $f_X\equiv 1$ on $[0,1]$; চাই $\mathbb E[X^2]$। বিশ্লেষণী মান (LOTUS-এ $g(x)=x^2$):

\[ \mathbb E[X^2]=\int_0^1 x^2\cdot 1\,dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=\frac13\approx 0.3333 . \]

(এখানে continuous integrand-এ Riemann ও Lebesgue উত্তর একই $\tfrac13$ — মসৃণ ফাংশনে দুই তত্ত্ব মেলে; Lebesgue কেবল Dirichlet-জাতীয় wild কেসে আলাদা শক্তি দেখায়, যেমন উদাহরণ ২-এ।) এবার simulation: numpy-তে rng = default_rng(20260619), $X$-এর $N=10^6$ নমুনা rng.uniform(0, 1, N), তারপর গড় np.mean(X**2)। ফল:

পরিমাণ	বিশ্লেষণী	Monte-Carlo ($N=10^6$)
$\mathbb E[X^2]$	$\tfrac13\approx 0.3333$	$0.3336$

simulation আনুমান $0.3336$ বিশ্লেষণী $\tfrac13$-এর সঙ্গে তিন-দশমিক-ঘরে মিলছে। স্বজ্ঞাটা গভীর: $\frac1N\sum_i X_i^2$ আসলে $\mathbb E[X^2]=\int x^2\,dP_X$-এরই একটা empirical (নমুনাভিত্তিক) আনুমান — strong law of large numbers (বৃহৎ সংখ্যার দৃঢ় সূত্র)-এর দরুন $N\to\infty$-এ এই গড় integral-এ converged হয়। অর্থাৎ Monte-Carlo নিজেই "expectation = integral"-এরই একটা গণনামূলক রূপ।

কী শিখলাম। measure theory-তে expectation মানেই একটা Lebesgue integral: $\mathbb E[X]=\int_\Omega X\,d\mathbb P$, যা discrete/continuous/singular সব ক্ষেত্রকে এক ভাষায় বাঁধে। continuous কেসে এটা চেনা density-integral-এ নামে — $X\sim\text{Exp}(1)\Rightarrow\mathbb E[X]=\int_0^\infty xe^{-x}\,dx=1$। LOTUS ($\mathbb E[g(X)]=\int g\,dP_X$) বলে $g(X)$-এর গড় সরাসরি $X$-এর law-এর উপর গোনা যায়, $\Omega$-তে না নেমেই। আর Monte-Carlo এই integral-কে সংখ্যায় ছোঁয়: $X\sim U(0,1)$-এ $\mathbb E[X^2]=\tfrac13$, simulation ($N=10^6$, seed $20260619$) দেয় $0.3336$ — কারণ নমুনা-গড় ঠিক integral-এর empirical আনুমান (LLN)। মূল বার্তা: যে $\mathbb E[\cdot]$ Part II–VI জুড়ে যোগফল বা Riemann-integral হিসেবে ব্যবহার করেছি, তা-ই এখন একটিমাত্র Lebesgue integral — এটাই গোটা rigorous probability-র একীভূতকারী ভিত্তি।

৪ · Proofs & Derivations¶

এই অংশে §২-এর সংজ্ঞাগুলো থেকে আমরা Lebesgue integral (লেবেগ অখণ্ডন)-এর গোটা যন্ত্রটাকে ধাপে ধাপে derive করব — simple function-এর integral যে সুসংজ্ঞায়িত তা থেকে শুরু করে, Monotone Convergence Theorem (Monotone Convergence Theorem, সংক্ষেপে MCT) হয়ে, এবং MCT-কেই ইঞ্জিন বানিয়ে linearity, Fatou's lemma (ফাটুর উপপ্রমেয়), ও Dominated Convergence Theorem (Dominated Convergence Theorem, সংক্ষেপে DCT) পর্যন্ত। প্রতিটি প্রমাণে কেন প্রতিটি পদক্ষেপ বৈধ — কোন সংজ্ঞা, কোন পূর্ববর্তী ফল (7.2-এর measure-ধর্ম, 7.3-এর approximation theorem), বা কোন বীজগাণিতিক অভেদ ব্যবহৃত হচ্ছে — তা স্পষ্ট করে বলা হবে। প্রতিটি প্রমাণের শিরোনামে কঠিনতা-চিহ্ন (difficulty tag) দেওয়া আছে:

★ — মৌলিক, প্রথম পাঠেই বোঝা উচিত।
★★ — মাঝারি, একটু কৌশল লাগে।
★★★ — গভীর, প্রথম পাঠে কিছু অংশ এড়িয়ে যাওয়া যায় (যথাস্থানে চিহ্নিত)।

স্মরণ — integral-এর তিন-স্তর সংজ্ঞা (§২ থেকে)। গোটা অংশে $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ একটি measure space। integral গড়ে ওঠে তিন স্তরে, প্রতিটি স্তর আগেরটির উপর। স্তর ১ — simple function। একটি অঋণাত্মক simple function (simple function) হলো $s=\sum_{i=1}^{n}a_i\mathbf 1_{A_i}$, যেখানে $a_i\ge 0$ এবং $A_i\in\mathcal F$; এর integral সংজ্ঞায়িত

\[ \int s\,d\mu \;:=\; \sum_{i=1}^{n} a_i\,\mu(A_i)\qquad(\text{sum of height}\times\text{size}), \]

যেখানে রীতি অনুযায়ী $0\cdot\infty=0$ (একটি মান $a_i=0$ হলে তার set-এর আকার $\infty$ হলেও অবদান শূন্য)। স্তর ২ — অঋণাত্মক measurable। যেকোনো measurable $f:\Omega\to[0,\infty]$-এর জন্য

\[ \int f\,d\mu \;:=\; \sup\Bigl\{\textstyle\int s\,d\mu \;:\; s \text{ simple},\ 0\le s\le f\Bigr\} \]

— অর্থাৎ "$f$-এর নিচে আঁটে এমন সব simple function-এর integral-এর supremum"। স্তর ৩ — সাধারণ measurable। $f=f^+-f^-$ ভেঙে (যেখানে $f^+=\max(f,0),\,f^-=\max(-f,0)$, দুটোই অঋণাত্মক measurable — 7.3-এর closure), যদি $\int f^+\,d\mu$ ও $\int f^-\,d\mu$-এর অন্তত একটি সসীম হয় তবে $\int f\,d\mu:=\int f^+\,d\mu-\int f^-\,d\mu$; আর $\int\lvert f\rvert\,d\mu<\infty$ হলে $f$-কে integrable বলা হয় এবং লেখা হয় $f\in L^1(\mu)$।

এই অংশের প্রমাণগুলোর যুক্তি-শৃঙ্খল একমুখী: প্রমাণ ১ (simple-স্তর well-defined ও linear) দাঁড়ায় কেবল 7.2-এর measure-additivity-র উপর; প্রমাণ ২ (MCT) দাঁড়ায় প্রমাণ ১ ও 7.2-এর "continuity from below"-র উপর; আর প্রমাণ ৩–৭ সবাই MCT-কেই হাতিয়ার করে। তাই MCT-ই (প্রমাণ ২) এ অধ্যায়ের ভিত্তিপ্রস্তর — তাকেই সবচেয়ে যত্নে কষা হয়েছে।

প্রমাণ ১ — simple function-এর integral সুসংজ্ঞায়িত ও linear (★)¶

দাবি। অঋণাত্মক simple function-দের উপর উপরের সংজ্ঞা $\int(\sum_i a_i\mathbf 1_{A_i})\,d\mu=\sum_i a_i\mu(A_i)$ —

(well-defined) $s$-এর প্রতিনিধিত্ব (representation) থেকে independent — একই simple function-কে indicator-যোগফলে যেভাবেই লিখি, integral এক;
(additive ও positively-homogeneous) $\int(s+t)\,d\mu=\int s\,d\mu+\int t\,d\mu$ এবং $\int(cs)\,d\mu=c\int s\,d\mu$ সব $c\ge 0$-র জন্য;
(monotone) $0\le s\le t$ (সর্বত্র) হলে $\int s\,d\mu\le\int t\,d\mu$।

প্রস্তুতি — canonical (আদর্শ) প্রতিনিধিত্ব। একটি simple function $s$ যে ভিন্ন ভিন্ন মান নেয় তাদের তালিকা ধরা যাক $b_1,\dots,b_m$ (পরস্পর আলাদা), আর $B_j:=\{s=b_j\}=s^{-1}(\{b_j\})$। তখন $B_j$-রা পরস্পর-বিচ্ছিন্ন (disjoint) এবং তাদের সংযোগ গোটা $\Omega$; এই $s=\sum_{j=1}^{m}b_j\mathbf 1_{B_j}$-কে $s$-এর canonical প্রতিনিধিত্ব বলি (এটি অনন্য)। সমস্যা হলো সংজ্ঞাটা যেকোনো প্রতিনিধিত্বে দেওয়া; দেখাতে হবে যেকোনো প্রতিনিধিত্ব canonical-টার সঙ্গে একই সংখ্যা দেয়।

ধাপ ১ — common refinement (সাধারণ পরিশোধন) দিয়ে representation-নিরপেক্ষতা। ধরা যাক একই $s$-এর দুটি প্রতিনিধিত্ব

\[ s=\sum_{i=1}^{n}a_i\mathbf 1_{A_i}=\sum_{k=1}^{p}c_k\mathbf 1_{C_k}. \]

দুটোকেই একটা সাধারণ, সূক্ষ্মতর বিভাজনে নামিয়ে আনি। প্রথমে ধরি দুই প্রতিনিধিত্বেই set-গুলো নিজ নিজ পরিবারে disjoint এবং তাদের সংযোগ $\Omega$ (না হলে $A_0:=\Omega\setminus\bigcup_i A_i$-তে $a_0:=0$ ধরে নিয়ে তা সাজানো যায়; $0\cdot\mu(A_0)=0$ বলে যোগফল বদলায় না)। এবার সব ছেদ নিই: $D_{ik}:=A_i\cap C_k$। এই $D_{ik}$-রা পরস্পর-বিচ্ছিন্ন এবং প্রতিটি $A_i=\bigsqcup_{k}D_{ik}$, প্রতিটি $C_k=\bigsqcup_{i}D_{ik}$ (এখানে $\bigsqcup$ = disjoint union)। 7.2-এর finite additivity ($\mu$ disjoint set-দের উপর যোগ করে) দিয়ে

\[ \mu(A_i)=\sum_{k}\mu(D_{ik}),\qquad \mu(C_k)=\sum_{i}\mu(D_{ik}). \]

একটা মূল পর্যবেক্ষণ: কোনো $D_{ik}\ne\varnothing$-তে $s$ একই সঙ্গে $a_i$ ও $c_k$ — কারণ ওই বিন্দুতে প্রথম প্রতিনিধিত্ব $a_i$ বলছে, দ্বিতীয়টি $c_k$, অথচ $s$ একটাই ফাংশন; তাই $D_{ik}\ne\varnothing\Rightarrow a_i=c_k$। ফলে $a_i\mu(D_{ik})=c_k\mu(D_{ik})$ সব $i,k$-তে (যদি $D_{ik}=\varnothing$ তবে $\mu=0$, দুই পাশ শূন্য; নইলে $a_i=c_k$)। এবার যোগফল মিলিয়ে দেখি:

\[ \sum_{i}a_i\mu(A_i)=\sum_{i}a_i\sum_{k}\mu(D_{ik})=\sum_{i,k}a_i\mu(D_{ik})=\sum_{i,k}c_k\mu(D_{ik})=\sum_{k}c_k\sum_{i}\mu(D_{ik})=\sum_{k}c_k\mu(C_k). \]

দুই প্রতিনিধিত্ব একই সংখ্যা দিল; সংজ্ঞা তাই well-defined। বিশেষত যেকোনো প্রতিনিধিত্ব canonical-টার সমান, তাই নিচে যেকোনো সুবিধাজনক প্রতিনিধিত্ব নেওয়া যাবে।

ধাপ ২ — additivity ($\int(s+t)=\int s+\int t$)। ধরা যাক $s=\sum_i a_i\mathbf 1_{A_i}$ ও $t=\sum_k c_k\mathbf 1_{C_k}$, আবারও দুটোই disjoint ও $\Omega$-আবৃত প্রতিনিধিত্বে। ছেদ $D_{ik}=A_i\cap C_k$-গুলো গোটা $\Omega$-কে disjoint-ভাবে ঢাকে, আর প্রতিটি $D_{ik}$-তে $s+t$ ধ্রুবক, মান $a_i+c_k$। সুতরাং

\[ s+t=\sum_{i,k}(a_i+c_k)\mathbf 1_{D_{ik}} \]

একটি (বৈধ) simple-প্রতিনিধিত্ব। ধাপ ১-এর well-definedness বলে এই প্রতিনিধিত্ব দিয়েই integral গোনা যায়:

\[ \int(s+t)\,d\mu=\sum_{i,k}(a_i+c_k)\mu(D_{ik})=\sum_{i,k}a_i\mu(D_{ik})+\sum_{i,k}c_k\mu(D_{ik})=\sum_i a_i\mu(A_i)+\sum_k c_k\mu(C_k)=\int s\,d\mu+\int t\,d\mu, \]

যেখানে শেষ ধাপে আবার $\mu(A_i)=\sum_k\mu(D_{ik})$ ও $\mu(C_k)=\sum_i\mu(D_{ik})$ বসানো হলো। ∎(ধাপ ২)

ধাপ ৩ — positive homogeneity ($\int(cs)=c\int s$)। $c\ge 0$ হলে $cs=\sum_i (ca_i)\mathbf 1_{A_i}$ একটি অঋণাত্মক simple প্রতিনিধিত্ব, তাই

\[ \int(cs)\,d\mu=\sum_i (ca_i)\mu(A_i)=c\sum_i a_i\mu(A_i)=c\int s\,d\mu. \]

($c=0$-এ দুই পাশ শূন্য, $0\cdot\infty=0$ রীতিতে consistent।) ∎(ধাপ ৩)

ধাপ ৪ — monotonicity। ধরা যাক $0\le s\le t$ সর্বত্র। তাহলে $u:=t-s$ একটি অঋণাত্মক simple function (দুই simple-এর বিয়োগ আবার simple, আর $s\le t$ বলে $u\ge 0$, তাই canonical মানগুলো $\ge 0$; সুতরাং $\int u\,d\mu\ge 0$, কারণ এটি $\ge 0$ মান ও $\ge 0$ measure-এর গুণফলের যোগ)। ধাপ ২ (additivity) $t=s+u$-তে প্রয়োগ করে

\[ \int t\,d\mu=\int s\,d\mu+\int u\,d\mu\ \ge\ \int s\,d\mu. \]

∎(ধাপ ৪)

এক বাক্যে: যেকোনো দুই simple-প্রতিনিধিত্বের common refinement $A_i\cap C_k$-তে নামলে measure-এর finite additivity-ই দেখায় integral প্রতিনিধিত্ব-নিরপেক্ষ এবং যোগ/ধনাত্মক-গুণ/monotonicity মেনে চলে — তাই "উচ্চতা × আকার" সংজ্ঞাটি দৃঢ় ভিত্তি, যার উপর গোটা Lebesgue integral দাঁড়াবে।

প্রমাণ ২ — Monotone Convergence Theorem (★★★, ভিত্তিপ্রস্তর)¶

দাবি (MCT)। ধরা যাক $f_n:\Omega\to[0,\infty]$ measurable, $n=1,2,\dots$, এবং বিন্দু-ভিত্তিকভাবে monotone বেড়ে $f$-এ পৌঁছায়: প্রতিটি $\omega$-তে $0\le f_1(\omega)\le f_2(\omega)\le\cdots$ এবং $f_n(\omega)\to f(\omega)$ (লেখা হয় $f_n\uparrow f$)। তবে limit $f$ measurable, এবং

\[ \int f_n\,d\mu\ \uparrow\ \int f\,d\mu\qquad\text{that is}\qquad \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int\Bigl(\lim_{n\to\infty}f_n\Bigr)d\mu. \]

$f$-এর measurability। $f=\sup_n f_n$ (বর্ধমান বলে $\sup$ = $\lim$), আর measurable ফাংশনদের গণনাযোগ্য supremum measurable (7.3-এর closure)। তাই $\int f\,d\mu$ অর্থবহ। লক্ষণীয়, $f$ এখানে $+\infty$ মানও নিতে পারে — তাই বর্ধিত রেখা $[0,\infty]$-এ কাজ করছি; integral-ও $[0,\infty]$-এ মান নিতে পারে।

প্রমাণ দুই inequality-এ: "$\le$" সহজ, "$\ge$" আসল কাজ।

ধাপ ১ — দিক "$\le$" (monotonicity থেকে)। প্রতিটি $n$-এ $f_n\le f$ (কারণ ক্রমটি বেড়ে $f$-এ যায়, কোনো পদ limit ছাড়িয়ে যায় না)। স্তর-২ সংজ্ঞার একটা সরাসরি ফল — monotonicity of the integral: $0\le g\le h$ হলে $\int g\,d\mu\le\int h\,d\mu$, কারণ "$g$-এর নিচে আঁটে এমন simple $s$" তখন "$h$-এর নিচেও আঁটে", তাই $g$-এর supremum-এর সংগ্রহটি $h$-এর সংগ্রহের একটি উপসেট, ফলে তার supremum বড় নয়। এটি $f_n\le f$-এ লাগিয়ে $\int f_n\,d\mu\le\int f\,d\mu$ সব $n$-এ। যেহেতু আবার $f_n$ বর্ধমান হওয়ায় $\int f_n\,d\mu$-ও বর্ধমান (একই monotonicity), তার একটা limit $L:=\lim_n\int f_n\,d\mu\in[0,\infty]$ আছে এবং

\[ L=\lim_{n}\int f_n\,d\mu\ \le\ \int f\,d\mu. \tag{$\le$} \]

ধাপ ২ — দিক "$\ge$"-এর কৌশল কেন এমন। উল্টো inequality পেতে হবে $L\ge\int f\,d\mu=\sup\{\int s:s\text{ simple},\,0\le s\le f\}$। অর্থাৎ যথেষ্ট হবে: যেকোনো simple $s$ যেখানে $0\le s\le f$, তার জন্য $L\ge\int s\,d\mu$ দেখানো। কিন্তু সরাসরি $f_n\ge s$ লেখা যায় না — $f_n$ কেবল limit-এ $s$-কে ছাড়ায়, প্রতিটি ধাপে নয়। তাই একটু জায়গা ছেড়ে দিই: একটা $c\in(0,1)$ নিয়ে $cs$-কে লক্ষ্য করি ($s$-এর চেয়ে সামান্য নিচু), যাকে $f_n$ ক্রমে ঠিকই ছাড়িয়ে যাবে। শেষে $c\uparrow 1$ ও $s$-এর উপর sup নিয়ে ফাঁকটুকু বন্ধ করব।

ধাপ ৩ — $E_n:=\{f_n\ge cs\}$ এবং $E_n\uparrow\Omega$। স্থির করি একটি simple $s$ যেখানে $0\le s\le f$, এবং একটি ধ্রুবক $c\in(0,1)$। সংজ্ঞা দিই

\[ E_n:=\{\omega:f_n(\omega)\ge c\,s(\omega)\}. \]

প্রতিটি $E_n$ measurable: $f_n$ ও $cs$ দুটোই measurable, তাই $\{f_n-cs\ge 0\}\in\mathcal F$ (7.3)। এবার দুটো ধর্ম verify করি।

$E_n$ বর্ধমান ($E_n\subseteq E_{n+1}$): $f_n\le f_{n+1}$ সর্বত্র; তাই $f_n(\omega)\ge cs(\omega)$ হলে $f_{n+1}(\omega)\ge f_n(\omega)\ge cs(\omega)$ — অর্থাৎ $\omega\in E_n\Rightarrow\omega\in E_{n+1}$।
$\bigcup_n E_n=\Omega$: যেকোনো $\omega$ ধরি। দুটো ক্ষেত্র। (i) $s(\omega)=0$: তখন $cs(\omega)=0\le f_n(\omega)$ সব $n$-এ (কারণ $f_n\ge 0$), তাই $\omega\in E_1\subseteq\bigcup_n E_n$। (ii) $s(\omega)>0$: তখন $f(\omega)\ge s(\omega)>cs(\omega)$ (কারণ $c<1$ এবং $s(\omega)>0$ বলে $cs(\omega)<s(\omega)\le f(\omega)$ — এখানেই $c<1$-এর কড়া প্রয়োজন)। যেহেতু $f_n(\omega)\uparrow f(\omega)>cs(\omega)$, যথেষ্ট বড় $n$-এ $f_n(\omega)\ge cs(\omega)$, অর্থাৎ ওই $\omega$ কোনো-না-কোনো $E_n$-এ পড়ে।

দুই ক্ষেত্র মিলিয়ে $E_n\uparrow\Omega$।

ধাপ ৪ — মূল শৃঙ্খল-inequality। $E_n$-এর উপর $f_n\ge cs$, এবং $E_n$-এর বাইরে $f_n\ge 0$ (এই অংশটুকু বাদ দিলেও চলে — আমরা শুধু $E_n$-অংশটুকু ব্যবহার করব)। তাই, integral-এর monotonicity ও স্তর-২ সংজ্ঞা মিলিয়ে,

\[ \int f_n\,d\mu\ \ge\ \int_{E_n}f_n\,d\mu\ \ge\ \int_{E_n}cs\,d\mu, \tag{\ast} \]

যেখানে $\int_{E_n}g\,d\mu:=\int g\cdot\mathbf 1_{E_n}\,d\mu$ (set $E_n$-এর উপর integral)। প্রথম "$\ge$" আসে $f_n\ge f_n\mathbf 1_{E_n}\ge 0$ থেকে; দ্বিতীয় "$\ge$" আসে $E_n$-এর উপর $f_n\ge cs$, অর্থাৎ $f_n\mathbf 1_{E_n}\ge cs\,\mathbf 1_{E_n}$ থেকে — দুটোই monotonicity (ধাপ ১)।

ধাপ ৫ — ডান পাশকে simple-স্তরে গোনা এবং measure-এর "continuity from below"। এখন $s=\sum_{j}b_j\mathbf 1_{B_j}$ canonical-ভাবে ($b_j\ge 0$, $B_j$ disjoint)। তখন $cs\,\mathbf 1_{E_n}=\sum_j (cb_j)\mathbf 1_{B_j\cap E_n}$ একটি simple function, তাই প্রমাণ ১ (simple integral, linearity) দিয়ে

\[ \int_{E_n}cs\,d\mu=\sum_{j}cb_j\,\mu(B_j\cap E_n)=c\sum_j b_j\,\mu(B_j\cap E_n). \]

এবার $n\to\infty$ ধরি। স্থির $j$-এর জন্য $B_j\cap E_n$ একটি বর্ধমান set-অনুক্রম (কারণ $E_n\uparrow$, তাই $B_j\cap E_n\uparrow B_j\cap\Omega=B_j$)। 7.2-এর continuity from below (continuity from below of measure: $G_n\uparrow G\Rightarrow\mu(G_n)\uparrow\mu(G)$) বলে $\mu(B_j\cap E_n)\uparrow\mu(B_j)$। যোগফলে সসীম-সংখ্যক পদ (canonical $s$-এর মান সসীম-অনেক), তাই limit যোগফলের ভেতরে নেওয়া যায়:

\[ \lim_{n\to\infty}\int_{E_n}cs\,d\mu=c\sum_j b_j\,\mu(B_j)=c\int s\,d\mu. \]

ধাপ ৬ — দুই limit সংযোগ ও $c\uparrow 1$, $s$-এর উপর sup। (∗)-এর বাঁ পাশের limit $L$ (ধাপ ১) এবং ডান পাশের limit এইমাত্র পেলাম; inequality limit-এও টিকে থাকে:

\[ L=\lim_{n}\int f_n\,d\mu\ \ge\ \lim_{n}\int_{E_n}cs\,d\mu=c\int s\,d\mu. \]

এটি সত্য প্রতিটি $c\in(0,1)$-এর জন্য। $c\uparrow 1$ ধরলে ডান পাশ $\int s\,d\mu$-এ ওঠে (যদি $\int s\,d\mu=\infty$ হয়, তবু $c\int s\,d\mu\to\infty$, তাই $L=\infty$ এবং নিচের সব ঠিক থাকে), সুতরাং

\[ L\ \ge\ \int s\,d\mu. \]

এখন এটি সত্য প্রতিটি simple $s$-এর জন্য যেখানে $0\le s\le f$। সেই সব $s$-এর উপর supremum নিই — যা স্তর-২ সংজ্ঞা অনুযায়ী ঠিক $\int f\,d\mu$:

\[ L\ \ge\ \sup\Bigl\{\textstyle\int s\,d\mu:s\text{ simple},\,0\le s\le f\Bigr\}=\int f\,d\mu. \tag{$\ge$} \]

ধাপ ৭ — সমাপ্তি। ($\le$) ও ($\ge$) একত্রে $L=\int f\,d\mu$, অর্থাৎ $\lim_n\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu$। ∎

এক বাক্যে: $cs$-কে ($c<1$) slope হিসেবে ব্যবহার করে set $E_n=\{f_n\ge cs\}$ গড়লে তারা $\Omega$-এ উঠে যায়, আর 7.2-এর "continuity from below" $\int_{E_n}cs\to c\int s$ দেয়; এরপর $c\uparrow 1$ ও $s$-এর উপর sup নিয়ে পাই $\lim\int f_n=\int f$ — এই একটিমাত্র theorem-ই নিচের linearity, Fatou ও DCT-র ইঞ্জিন।

প্রমাণ ৩ — অঋণাত্মক integral-এর linearity (★★)¶

দাবি। $f,g:\Omega\to[0,\infty]$ measurable এবং $c\ge 0$ ধ্রুবক হলে

\[ \int(f+g)\,d\mu=\int f\,d\mu+\int g\,d\mu,\qquad \int(cf)\,d\mu=c\int f\,d\mu, \]

এবং $0\le f\le g$ হলে $\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu$ (monotonicity, স্তর-২ সংজ্ঞা থেকে — প্রমাণ ২ ধাপ ১-এ যা দেখানো হয়েছে, এখানে শুধু পুনঃউল্লেখ)।

কৌশল। simple-স্তরে additivity আমরা প্রমাণ ১-এ পেয়েছি; এখন approximation theorem (7.3) দিয়ে সাধারণ অঋণাত্মক $f,g$-কে simple-দের বর্ধমান limit বানিয়ে, MCT (প্রমাণ ২) দিয়ে limit-কে integral-এর ভেতর-বাইরে নিয়ে আসব।

ধাপ ১ — approximating ladder নির্বাচন। 7.3-এর approximation theorem বলে: প্রতিটি অঋণাত্মক measurable $f$-এর জন্য একটি simple function-অনুক্রম $s_n$ আছে যেখানে $0\le s_n\uparrow f$ (dyadic staircase)। একইভাবে $g$-এর জন্য $0\le t_n\uparrow g$ বাছি।

ধাপ ২ — যোগফলের ladder। প্রতিটি $\omega$-তে $s_n(\omega)\uparrow f(\omega)$ ও $t_n(\omega)\uparrow g(\omega)$, তাই তাদের যোগফল $s_n(\omega)+t_n(\omega)$-ও বর্ধমান (দুই বর্ধমানের যোগ) এবং সীমা $f(\omega)+g(\omega)$ (limit যোগফলের সাথে বিনিময় করে, যেহেতু উভয় সীমা $[0,\infty]$-এ বিদ্যমান)। আবার $s_n+t_n$ simple (দুই simple-এর যোগ simple, প্রমাণ ১ ধাপ ২)। সুতরাং

\[ 0\le s_n+t_n\ \uparrow\ f+g. \]

ধাপ ৩ — তিনবার MCT, একবার simple-additivity। এবার তিনটি বর্ধমান অনুক্রমে — $s_n\uparrow f$, $t_n\uparrow g$, এবং $s_n+t_n\uparrow f+g$ — আলাদাভাবে MCT প্রয়োগ করি:

\[ \int(f+g)\,d\mu \overset{\text{MCT}}{=}\lim_{n}\int(s_n+t_n)\,d\mu \overset{\text{proof 1}}{=}\lim_{n}\Bigl(\int s_n\,d\mu+\int t_n\,d\mu\Bigr) =\lim_{n}\int s_n\,d\mu+\lim_{n}\int t_n\,d\mu \overset{\text{MCT}}{=}\int f\,d\mu+\int g\,d\mu. \]

মাঝের সমতাগুলো: প্রথম "MCT" $s_n+t_n\uparrow f+g$-তে; দ্বিতীয় সমতা প্রমাণ ১-এর simple-additivity; তৃতীয়টি দুই convergent অনুক্রমের যোগফলের limit তাদের limit-এর যোগ (উভয় limit $[0,\infty]$-এ বিদ্যমান বলে বৈধ); শেষ "MCT" $s_n\uparrow f$ ও $t_n\uparrow g$-তে। additivity প্রতিষ্ঠিত। ∎(additivity)

ধাপ ৪ — homogeneity ($\int cf=c\int f$)। $c\ge 0$ ধরি। $cs_n$ simple এবং $cs_n\uparrow cf$ (গুণফল ধনাত্মক ধ্রুবক দিয়ে বর্ধমানতা ও সীমা রক্ষা করে)। MCT ও প্রমাণ ১ ধাপ ৩ মিলিয়ে

\[ \int(cf)\,d\mu\overset{\text{MCT}}{=}\lim_n\int(cs_n)\,d\mu\overset{\text{proof 1}}{=}\lim_n c\int s_n\,d\mu=c\lim_n\int s_n\,d\mu\overset{\text{MCT}}{=}c\int f\,d\mu. \]

∎(homogeneity)

এক বাক্যে: approximation theorem (7.3) দিয়ে $s_n\uparrow f,\,t_n\uparrow g$ বানিয়ে $s_n+t_n\uparrow f+g$ লিখলে, simple-স্তরের additivity-কে MCT (প্রমাণ ২) limit-এর ভেতর দিয়ে টেনে আনে — তাই অঋণাত্মক integral পুরোপুরি linear, এবং monotone।

প্রমাণ ৪ — Fatou's lemma (★★)¶

দাবি (Fatou)। $f_n:\Omega\to[0,\infty]$ measurable হলে (কোনো convergence ধরে নেওয়া ছাড়াই)

\[ \int\Bigl(\liminf_{n\to\infty}f_n\Bigr)d\mu\ \le\ \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu. \]

কৌশল। $\liminf$-এর সংজ্ঞাকেই একটা বর্ধমান অনুক্রমে রূপান্তর করি, যাতে MCT লাগানো যায়।

ধাপ ১ — $g_n:=\inf_{k\ge n}f_k$ এবং তার ধর্ম। প্রতিটি $n$-এ সংজ্ঞা দিই $g_n:=\inf_{k\ge n}f_k$। দুটো ধর্ম:

measurable ও অঋণাত্মক: $g_n$ হলো অঋণাত্মক measurable ফাংশনদের গণনাযোগ্য infimum, তাই measurable (7.3) এবং $g_n\ge 0$।
বর্ধমান, সীমা $\liminf f_n$: $n$ বাড়লে যে সংগ্রহের উপর infimum নেওয়া হচ্ছে ($\{f_k:k\ge n\}$) তা ছোট হয়, তাই তার infimum বড় হয় — অর্থাৎ $g_n\le g_{n+1}$, ক্রমটি বর্ধমান। আর সংজ্ঞা অনুযায়ী $\sup_n g_n=\sup_n\inf_{k\ge n}f_k=\liminf_n f_n$। বর্ধমান বলে $\sup=\lim$, তাই $0\le g_n\uparrow\liminf_n f_n$।

ধাপ ২ — $g_n\le f_n$। স্থির $n$-এ $g_n=\inf_{k\ge n}f_k$ একটা infimum যার সংগ্রহে $f_n$ নিজেই আছে ($k=n$), তাই $g_n\le f_n$ (infimum সংগ্রহের যেকোনো সদস্যের চেয়ে বড় নয়)।

ধাপ ৩ — MCT $g_n$-এ, তারপর monotonicity। $0\le g_n\uparrow\liminf_n f_n$ বলে MCT (প্রমাণ ২) প্রয়োগযোগ্য:

\[ \int\Bigl(\liminf_n f_n\Bigr)d\mu=\int\Bigl(\lim_n g_n\Bigr)d\mu\overset{\text{MCT}}{=}\lim_n\int g_n\,d\mu. \]

এখন ধাপ ২-এর $g_n\le f_n$ ও integral-monotonicity (প্রমাণ ৩) দিয়ে $\int g_n\,d\mu\le\int f_n\,d\mu$ সব $n$-এ। বাঁ পাশের অনুক্রমের সীমা বিদ্যমান ও সমান (উপরে); ডান পাশের $\int f_n\,d\mu$-এর সীমা না-ও থাকতে পারে, তবে $\liminf$ সবসময় আছে, এবং "$a_n\le b_n$ সব $n$-এ ⇒ $\lim a_n\le\liminf b_n$" নিয়ম বলে

\[ \lim_n\int g_n\,d\mu\ \le\ \liminf_n\int f_n\,d\mu. \]

দুই সমীকরণ জুড়ে দাবিটি পাওয়া গেল। ∎

টীকা — inequality কঠোর হতে পারে (the spike)। সমতা সবসময় হয় না। ধরা যাক $(\Omega,\mathcal F,\mu)=(\mathbb R,\mathcal B,\lambda)$ (Lebesgue measure) এবং $f_n=\mathbf 1_{[n,n+1]}$ — একটা একক-উচ্চতার "চূড়া" (spike) যা ডানে সরে যায়। তখন প্রতিটি বিন্দু $x$-এ যথেষ্ট বড় $n$-এর পর $f_n(x)=0$, তাই $\liminf_n f_n\equiv 0$ এবং বাঁ পাশ $\int 0\,d\lambda=0$। অথচ প্রতিটি $n$-এ $\int f_n\,d\lambda=\lambda([n,n+1])=1$, তাই ডান পাশ $\liminf_n 1=1$। ফলে $0<1$ — কঠোর inequality: ভর "অসীমে পালিয়ে" গেছে, limit-এ হারিয়ে গেছে। এ-ই Fatou-কে শুধু এক-দিকের inequality রাখে।

এক বাক্যে: $g_n=\inf_{k\ge n}f_k$ নিচ থেকে বেড়ে $\liminf f_n$-এ ওঠে ও $g_n\le f_n$ মানে — MCT $g_n$-এ লাগিয়ে $\int\liminf f_n=\lim\int g_n\le\liminf\int f_n$; আর চূড়া-উদাহরণ দেখায় ভর পালিয়ে গেলে inequality কঠোর হয়।

প্রমাণ ৫ — Dominated Convergence Theorem (★★)¶

দাবি (DCT)। ধরা যাক measurable $f_n,f:\Omega\to\mathbb R$ (বা $\overline{\mathbb R}$), এবং

$f_n\to f$ প্রায়-সর্বত্র (almost everywhere, a.e. — অর্থাৎ এমন একটা null set $N$ ছাড়া, $\mu(N)=0$, যার বাইরে $f_n(\omega)\to f(\omega)$);
একটি dominating function (প্রভাবক ফাংশন) $g\in L^1(\mu)$ আছে যেন $\lvert f_n\rvert\le g$ a.e., সব $n$-এ।

তবে $f\in L^1(\mu)$ এবং

\[ \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu,\qquad\text{more strongly}\qquad \lim_{n\to\infty}\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=0. \]

(সরলতার জন্য নিচে ধরে নিই inequality ও convergence সর্বত্র ধরে — যে null set-এ তা ব্যর্থ, integral তার উপর শূন্য অবদান রাখে, তাই সিদ্ধান্ত অপরিবর্তিত; এই a.e.-নির্ভরতা 7.4-এর "null set integral বদলায় না" ধর্মের ফল।)

ধাপ ১ — $f\in L^1$। $n\to\infty$-এ $\lvert f_n\rvert\le g$-এর সীমা নিলে $\lvert f\rvert\le g$ (inequality সীমায় টেকে)। তাই $\int\lvert f\rvert\,d\mu\le\int g\,d\mu<\infty$ (monotonicity, প্রমাণ ৩, এবং $g\in L^1$), অর্থাৎ $f$ integrable। বিশেষত $\int f\,d\mu$ সুসংজ্ঞায়িত (সসীম)।

ধাপ ২ — Fatou দুটি অঋণাত্মক অনুক্রমে। $\lvert f_n\rvert\le g$ মানে $-g\le f_n\le g$, তাই নিচের দুটি ফাংশন অঋণাত্মক ও measurable:

\[ g+f_n\ge 0,\qquad g-f_n\ge 0. \]

এদের উপর Fatou (প্রমাণ ৪) প্রয়োগ করি।

(ক) $g+f_n$-এ Fatou। $f_n\to f$ বলে $g+f_n\to g+f$, তাই $\liminf_n(g+f_n)=g+f$। Fatou:

\[ \int(g+f)\,d\mu\le\liminf_n\int(g+f_n)\,d\mu. \]

বাঁ পাশে linearity (প্রমাণ ৩): $\int(g+f)=\int g+\int f$ (সব পদ সসীম: $g,f\in L^1$)। ডান পাশে $\int(g+f_n)=\int g+\int f_n$, এবং $\int g$ ধ্রুবক বলে $\liminf$-এর বাইরে আনা যায়: $\liminf_n(\int g+\int f_n)=\int g+\liminf_n\int f_n$। দুই পাশ থেকে সসীম $\int g$ বাদ দিয়ে

\[ \int f\,d\mu\ \le\ \liminf_n\int f_n\,d\mu. \tag{A} \]

(খ) $g-f_n$-এ Fatou। $g-f_n\to g-f$, তাই $\liminf_n(g-f_n)=g-f$। Fatou:

\[ \int(g-f)\,d\mu\le\liminf_n\int(g-f_n)\,d\mu. \]

বাঁ পাশ $\int g-\int f$। ডান পাশ: $\int(g-f_n)=\int g-\int f_n$, আর $\liminf_n(\int g-\int f_n)=\int g+\liminf_n(-\int f_n)=\int g-\limsup_n\int f_n$ (যেহেতু $\liminf(-a_n)=-\limsup a_n$)। সসীম $\int g$ বাদ দিয়ে $-\int f\le-\limsup_n\int f_n$, অর্থাৎ চিহ্ন উল্টে

\[ \limsup_n\int f_n\,d\mu\ \le\ \int f\,d\mu. \tag{B} \]

ধাপ ৩ — sandwich। সাধারণভাবে $\liminf_n a_n\le\limsup_n a_n$। (A) ও (B) মিলিয়ে

\[ \limsup_n\int f_n\,d\mu\ \overset{(B)}{\le}\ \int f\,d\mu\ \overset{(A)}{\le}\ \liminf_n\int f_n\,d\mu\ \le\ \limsup_n\int f_n\,d\mu. \]

পুরো শৃঙ্খল সমান হতে বাধ্য, তাই $\liminf_n\int f_n=\limsup_n\int f_n=\int f$, অর্থাৎ $\lim_n\int f_n\,d\mu$ বিদ্যমান এবং $=\int f\,d\mu$। ∎(মূল দাবি)

ধাপ ৪ — $L^1$-convergence ($\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$)। সংজ্ঞা দিই $h_n:=\lvert f_n-f\rvert$। তখন $h_n\to 0$ a.e. (যেখানে $f_n\to f$), এবং ত্রিভুজ-inequality-এ $h_n=\lvert f_n-f\rvert\le\lvert f_n\rvert+\lvert f\rvert\le g+g=2g$, যেখানে $2g\in L^1$। সুতরাং $(h_n)$ একই DCT-অনুমান মেনে চলে, dominating function $2g$ সহ, এবং limit $0$। উপরের মূল দাবি (এইমাত্র প্রমাণিত) $h_n$-এ প্রয়োগ করে

\[ \lim_n\int\lvert f_n-f\rvert\,d\mu=\lim_n\int h_n\,d\mu=\int\Bigl(\lim_n h_n\Bigr)d\mu=\int 0\,d\mu=0. \]

∎

এক বাক্যে: $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$ দিলে $g\pm f_n\ge 0$-তে Fatou দু-দিক থেকে চেপে ধরে $\limsup\int f_n\le\int f\le\liminf\int f_n$, তাই $\int f_n\to\int f$; আর $\lvert f_n-f\rvert\le 2g$-তে একই যুক্তি $L^1$-convergence $\int\lvert f_n-f\rvert\to 0$ দেয় — dominating function-ই সেই ছাদ যা ভরকে পালাতে দেয় না।

প্রমাণ ৬ — $f\ge 0,\ \int f\,d\mu=0\Rightarrow f=0$ a.e. (★)¶

দাবি। $f:\Omega\to[0,\infty]$ measurable এবং $\int f\,d\mu=0$ হলে $f=0$ প্রায়-সর্বত্র, অর্থাৎ $\mu(\{f>0\})=0$।

ধাপ ১ — $\{f>0\}$-কে level set-এ ভাঙা। লক্ষ করি

\[ \{f>0\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\Bigl\{f\ge\tfrac1n\Bigr\}, \]

কারণ $f(\omega)>0$ হলে (Archimedean ধর্মে) যথেষ্ট বড় $n$-এ $f(\omega)\ge\frac1n$, আর উল্টোদিকে যেকোনো $\{f\ge\frac1n\}\subseteq\{f>0\}$। set-গুলো $A_n:=\{f\ge\frac1n\}$ বর্ধমান ($\frac1n$ কমে, তাই $A_n\subseteq A_{n+1}$), এবং সবগুলো measurable (7.3)।

ধাপ ২ — প্রতিটি $A_n$-এর measure শূন্য। স্থির $n$-এ একটা সহজ simple-নিচসীমা ব্যবহার করি: $f\ge\frac1n\mathbf 1_{A_n}$ সর্বত্র (কারণ $A_n$-এর ভেতরে $f\ge\frac1n$, আর বাইরে ডান পাশ $0\le f$)। তাই monotonicity (প্রমাণ ৩) ও simple integral (প্রমাণ ১) দিয়ে

\[ 0=\int f\,d\mu\ \ge\ \int\tfrac1n\mathbf 1_{A_n}\,d\mu=\tfrac1n\,\mu(A_n)\ \ge\ 0. \]

মাঝের রাশি একই সঙ্গে $\le 0$ ও $\ge 0$, তাই $\frac1n\mu(A_n)=0$, অর্থাৎ $\mu(A_n)=0$।

ধাপ ৩ — countable subadditivity। 7.2-এর countable subadditivity দিয়ে

\[ \mu(\{f>0\})=\mu\Bigl(\bigcup_n A_n\Bigr)\le\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)=\sum_n 0=0. \]

(অথবা $A_n\uparrow\{f>0\}$-তে continuity from below দিয়ে $\mu(\{f>0\})=\lim_n\mu(A_n)=0$।) সুতরাং $\mu(\{f>0\})=0$, অর্থাৎ $f=0$ a.e। ∎

এক বাক্যে: $\{f>0\}=\bigcup_n\{f\ge\frac1n\}$, আর $\int f\ge\frac1n\mu(\{f\ge\frac1n\})$ থেকে প্রতিটি $\mu(\{f\ge\frac1n\})=0$ — countable union-এ যা $\mu(\{f>0\})=0$ দেয়; অর্থাৎ অঋণাত্মক ফাংশনের integral শূন্য মানেই ফাংশনটি null set ছাড়া সর্বত্র শূন্য।

প্রমাণ ৭ — Riemann ⇒ Lebesgue consistency (★★, কাঠামোবদ্ধ)¶

দাবি (Lebesgue-এর criterion + consistency)। ধরা যাক $f:[a,b]\to\mathbb R$ সীমাবদ্ধ (bounded)। তবে:

(Lebesgue's criterion) $f$ Riemann-integrable ঠিক তখনই যখন তার discontinuity-র set $D:=\{x:f$ এখানে discontinuous$\}$ একটি Lebesgue-null set ($\lambda(D)=0$);
(consistency / agreement) এবং তখন Riemann integral $\mathrm{(R)}\!\int_a^b f\,dx$ ও Lebesgue integral $\int_{[a,b]}f\,d\lambda$ সমান।

ফলস্বরূপ Lebesgue integral, Riemann integral-এর একটি প্রকৃত সম্প্রসারণ (strict extension): যা Riemann-অর্থে integrable, তা Lebesgue-অর্থেও, একই মানে; কিন্তু উল্টোটা নয়।

স্বীকৃতি — এটি একটি রূপরেখা (sketch)। নিচে মূল যান্ত্রিকতাটুকু — Darboux step-function দিয়ে দু-পাশ থেকে চাপা, refinement-এ MCT — পরিষ্কারভাবে দেওয়া হলো; প্রতিটি সূক্ষ্ম measure-তাত্ত্বিক ফাঁক (যেমন oscillation-function-এর measurability) পূর্ণ-কঠোরভাবে ভরাট করা হয়নি, কারণ তা মূল ধারণার চেয়ে কারিগরি।

ধাপ ১ — Darboux step function: দু-পাশ থেকে চাপা। $[a,b]$-এর একটি partition $P:a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ নিই। প্রতিটি উপ-অন্তর $I_j=[x_{j-1},x_j]$-তে

\[ m_j=\inf_{I_j}f,\qquad M_j=\sup_{I_j}f \]

ধরি। সংজ্ঞা দিই দুটি step function (ধাপ-ফাংশন, এরা simple — সসীম-অনেক মান, প্রতিটি অন্তরে ধ্রুবক):

\[ \underline{\varphi}_P=\sum_{j}m_j\mathbf 1_{I_j},\qquad \overline{\varphi}_P=\sum_{j}M_j\mathbf 1_{I_j},\qquad\text{so}\quad \underline{\varphi}_P\le f\le\overline{\varphi}_P. \]

Darboux নিম্ন/উচ্চ যোগফল হলো ঠিক এদের Lebesgue integral (step-function-এর Lebesgue integral = প্রমাণ ১-এর "উচ্চতা × দৈর্ঘ্য"):

\[ L(f,P)=\sum_j m_j(x_j-x_{j-1})=\int\underline{\varphi}_P\,d\lambda,\qquad U(f,P)=\sum_j M_j(x_j-x_{j-1})=\int\overline{\varphi}_P\,d\lambda. \]

ধাপ ২ — refinement ও দুই monotone অনুক্রম। partition-গুলোকে ক্রমে সূক্ষ্ম করি — একটা অনুক্রম $P_1\subseteq P_2\subseteq\cdots$ (প্রতিটি আগেরটির refinement, যেমন প্রতিবার সব অন্তর অর্ধেক করে, এবং $\mathrm{mesh}(P_n)\to 0$)। refinement-এ inf বাড়ে ও sup কমে, তাই

\[ \underline{\varphi}_{P_1}\le\underline{\varphi}_{P_2}\le\cdots\le f\le\cdots\le\overline{\varphi}_{P_2}\le\overline{\varphi}_{P_1}. \]

বিন্দু-ভিত্তিক সীমা সংজ্ঞা দিই $\underline{\varphi}=\lim_n\underline{\varphi}_{P_n}$ (বর্ধমান) ও $\overline{\varphi}=\lim_n\overline{\varphi}_{P_n}$ (হ্রাসমান)। তখন $\underline{\varphi}\le f\le\overline{\varphi}$, এবং একটি মূল বিন্দু-ভিত্তিক সত্য: partition-বিন্দু ছাড়া একটি $x$-এ $\underline{\varphi}(x)=\overline{\varphi}(x)=f(x)$ ঠিক তখনই যখন $f$ ওই $x$-এ continuous (কারণ $\overline{\varphi}(x)-\underline{\varphi}(x)$ ঠিক $x$-এ $f$-এর oscillation, যা $0$ ⟺ continuity)। অর্থাৎ

\[ \{\overline{\varphi}>\underline{\varphi}\}=D\ \cup\ (\text{countable set of partition points}), \]

আর গণনাযোগ্য set-এর Lebesgue measure $0$, তাই $\lambda(\{\overline{\varphi}\ne\underline{\varphi}\})=\lambda(D)$ পর্যন্ত নেমে আসে।

ধাপ ৩ — MCT/DCT refinement-এ। ফাংশনগুলো সীমাবদ্ধ ($\lvert f\rvert\le K$, তাই সব step-function-ও $\le K$ মানে) এবং $[a,b]$-এর measure সসীম ($\lambda([a,b])=b-a<\infty$), তাই ধ্রুবক $K$ একটি dominating function — DCT (প্রমাণ ৫, বা equivalently নিম্নটিতে MCT, উপরেরটিতে $K-\overline{\varphi}_{P_n}\uparrow$-এ MCT) প্রয়োগে সীমা integral-এর ভেতরে নেওয়া যায়:

\[ \int\underline{\varphi}\,d\lambda=\lim_n\int\underline{\varphi}_{P_n}\,d\lambda=\lim_n L(f,P_n)=\underline{\int_a^b}f,\qquad \int\overline{\varphi}\,d\lambda=\lim_n U(f,P_n)=\overline{\int_a^b}f, \]

যেখানে ডান পাশের দুটি হলো $f$-এর নিম্ন ও উচ্চ Riemann integral (lower/upper integral)।

ধাপ ৪ — সিদ্ধান্ত দুটো।

(criterion) $f$ Riemann-integrable ⟺ নিম্ন ও উচ্চ Riemann integral সমান ⟺ $\int\overline{\varphi}\,d\lambda=\int\underline{\varphi}\,d\lambda$ ⟺ $\int(\overline{\varphi}-\underline{\varphi})\,d\lambda=0$। কিন্তু $\overline{\varphi}-\underline{\varphi}\ge 0$, তাই প্রমাণ ৬ বলে এটি $0$ ⟺ $\overline{\varphi}=\underline{\varphi}$ a.e. ⟺ $\lambda(\{\overline{\varphi}\ne\underline{\varphi}\})=0$ ⟺ $\lambda(D)=0$ (ধাপ ২)। এ-ই Lebesgue's criterion।
(agreement) Riemann-integrable হলে $\underline{\varphi}=f=\overline{\varphi}$ a.e., তাই $f$ Lebesgue-measurable (দুই measurable ফাংশনের মাঝে চাপা, null set ছাড়া তাদের সমান — completeness) এবং

\[ \int_{[a,b]}f\,d\lambda=\int\underline{\varphi}\,d\lambda=\underline{\int_a^b}f=\mathrm{(R)}\!\int_a^b f\,dx. \]

দুই integral মিলে গেল। ∎

টীকা — Lebesgue প্রকৃতপক্ষে বড় (Dirichlet)। সম্প্রসারণটি কঠোর: 7.1-এর Dirichlet function $\mathbf 1_{\mathbb Q}$ on $[0,1]$ Riemann-integrable নয় (প্রতিটি অন্তরে $\inf=0,\sup=1$, তাই $L=0\ne 1=U$), কারণ তার discontinuity-set গোটা $[0,1]$ — যার measure $1\ne 0$, Lebesgue's criterion ব্যর্থ। অথচ এটি Lebesgue-integrable: $\mathbf 1_{\mathbb Q}$ simple, এবং $\int_{[0,1]}\mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=1\cdot\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=1\cdot 0=0$ (গণনাযোগ্য set-এর measure শূন্য)। তাই Lebesgue তত্ত্ব ঠিক সেইসব ভয়ংকর-continuous ফাংশনকে অনায়াসে integrate করে, যাদের Riemann হার মানে — measure-তত্ত্বের উদারতার চূড়ান্ত প্রমাণ।

এক বাক্যে: Darboux নিম্ন/উচ্চ step-function $\underline{\varphi}_P\le f\le\overline{\varphi}_P$-এর Lebesgue integral ঠিক Darboux যোগফল, refinement-এ MCT/DCT দিয়ে তারা নিম্ন/উচ্চ Riemann integral-এ যায়, আর প্রমাণ ৬ বলে এ-দুটো সমান ⟺ $\lambda(D)=0$ — তখন দুই integral এক, এবং Dirichlet দেখায় Lebesgue শ্রেণিটি কঠোরভাবে বড়।

৫ · কোড ল্যাব (Python)¶

§২-এর তিন convergence theorem আর "expectation = integral" সমীকরণ এতক্ষণ ছিল কাগজে; এবার সেগুলোকে যন্ত্রে বাজিয়ে দেখা যাক। গুরুত্বপূর্ণ একটা সতর্কতা আগেভাগে: Python-এ আমরা একটা integrable ফাংশনের Lebesgue integral সরাসরি "Lebesgue-পদ্ধতিতে" বসাই না — কারণ measurable ফাংশনের জন্য যেখানে Riemann আর Lebesgue দুটোই অস্তিত্বশীল ও সমান (§৪-এর প্রমাণ ৭), সেখানে একটা সূক্ষ্ম grid-এর উপর গড় (midpoint Riemann sum) নিলেই Lebesgue মানটা সংখ্যায় পেয়ে যাই। তাই নিচের কোডে $\int_0^1 g\,dx$ মানে কার্যত g(grid).mean() (প্রস্থ $=1/N$, তাই গড়ই integral)। যেখানে ফাংশনটা বুনো (Dirichlet) বা measure-শূন্য সেট জড়িত, সেখানে আমরা সংখ্যার বদলে যুক্তি দিয়ে চলি — কারণ সেখানেই Riemann আর Lebesgue আলাদা হয়ে যায়।

পুরো ল্যাবটা একটাই চলমান (runnable) স্ক্রিপ্ট, চার অংশে — MCT, Fatou (কঠোর inequality), DCT, এবং expectation = integral। কেবল numpy ও scipy লাগে; Monte-Carlo-র seed np.random.default_rng(20260619)।

import numpy as np
from scipy import integrate

RNG_SEED = 20260619

৫.১ Monotone Convergence Theorem — $f_n\uparrow f$ হলে $\int f_n\uparrow\int f$¶

প্রথম তক্তা MCT-র জীবন্ত রূপ। নিই $f_n=\min\!\bigl(n,\,x^{-1/2}\bigr)$ on $(0,1)$ — ছাদ-ছাঁটা (truncated) বর্গমূল-বিপরীত। তিনটে জিনিস একসঙ্গে সত্য: (ক) প্রতিটি $f_n$ পরিসীমিত (bounded by $n$), তাই তার integral মাপা সহজ; (খ) $n$ বাড়লে ছাদ ওঠে, তাই প্রতিটি বিন্দুতে $f_n\uparrow f$ যেখানে $f(x)=x^{-1/2}$; (গ) বদ্ধ-রূপে (closed form) $\int_0^1\min(n,x^{-1/2})\,dx=2-\tfrac1n$ (ছাদের নিচে ধ্রুবক $n$ আর তার ডানে $x^{-1/2}$ জুড়ে — যার $\int_0^1 x^{-1/2}=2$)। MCT বলে $\int f_n$ একসুরে উঠে $\int f=2$-তে পৌঁছবে; grid-এর গড় ঠিক সেটাই দেখাবে।

def part1_mct():
    def int_fn_grid(n, num=2_000_000):
        x = (np.arange(num) + 0.5) / num          # (0,1)-এর midpoint-গুলো
        f = np.minimum(n, x ** (-0.5))
        return f.mean()                            # প্রস্থ = 1/num, তাই mean = ∫

    print(f"{'n':>10} | {'int f_n (grid)':>15} | {'2 - 1/n (closed)':>17}")
    for n in (1, 2, 10, 100, 1000):
        grid = int_fn_grid(n)
        closed = 2.0 - 1.0 / n
        print(f"{n:>10} | {grid:>15.4f} | {closed:>17.4f}")
    print(f"{'inf (lim)':>10} | {'-':>15} | {2.0:>17.4f}")

    # f_n ক্রমবর্ধমান কি না: প্রতিটি বিন্দুতে f_(n+1) >= f_n
    x = np.linspace(1e-6, 1.0, 50_000)
    fns = [np.minimum(n, x ** (-0.5)) for n in (1, 2, 5, 10, 50, 100)]
    monotone = all(np.all(fns[i + 1] >= fns[i] - 1e-12) for i in range(len(fns) - 1))
    print("f_n point-wise increasing?", monotone)

আউটপুট (স্ক্রিপ্ট চালিয়ে অবিকল ধরা):

         n |  int f_n (grid) |  2 - 1/n (closed)
------------------------------------------------
         1 |          1.0000 |            1.0000
         2 |          1.5000 |            1.5000
        10 |          1.9000 |            1.9000
       100 |          1.9900 |            1.9900
      1000 |          1.9990 |            1.9990
 inf (lim) |               - |            2.0000

f_n point-wise increasing (f_(n+1) >= f_n everywhere)? True
MCT:  0 <= f_n up to f = x^{-1/2}  =>  int f_n up to int f = 2  OK

পাঠোদ্ধার। grid-গড় আর বদ্ধ-রূপ $2-\tfrac1n$ — দুই কলাম হুবহু মেলে: $1.0,\,1.5,\,1.9,\,1.99,\,1.999$, আর সিঁড়িটা একদিকেই উঠছে $2$-র দিকে। monotone == True নিশ্চিত করে যে $f_n$ সত্যিই বিন্দু-ভিত্তিক ক্রমবর্ধমান — অর্থাৎ MCT-র একমাত্র শর্ত ($0\le f_n\uparrow f$) পূরণ। লক্ষণীয়, সীমা-ফাংশন $f=x^{-1/2}$ নিজে $0$-র কাছে অসীমে যায় (unbounded), তবু তার Lebesgue integral সসীম ($=2$) — এটাই MCT-র শক্তি: পরিসীমিত $f_n$-দের integral-এর সীমা নিয়েই আমরা একটা অসীম-উচ্চতার ফাংশনের integral-এ পৌঁছে যাই, কোনো অনিশ্চয়তা ছাড়াই। limit আর integral এখানে নির্বিঘ্নে অদলবদল করা গেল।

৫.২ Fatou's Lemma — কেন inequality, সমতা নয়¶

MCT-তে limit নিরাপদে ভেতরে গেল কারণ $f_n$ উঠছিল। কিন্তু যদি না ওঠে? তখনও একটা inequality টিকে থাকে — Fatou: $\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$। আর এই inequality যে সত্যিই কঠোর (strict) হতে পারে — দুই পক্ষ সমান না-ও হতে পারে — তার বিশুদ্ধতম উদাহরণ §১.২-এর সচল চূড়া (moving spike): $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$। প্রতিটি নির্দিষ্ট $x>0$-র জন্য $n$ যথেষ্ট বড় হলে $1/n<x$, তাই $f_n(x)=0$ — মানে $\liminf_n f_n(x)=0$ সর্বত্র, ফলে $\int\liminf f_n=0$। অথচ প্রতিটি $\int f_n=n\cdot\tfrac1n=1$, তাই $\liminf_n\int f_n=1$। ভর $1$ চূড়া হিসেবে $0$-র দিকে "পালিয়ে" যায় — point-wise limit তা দেখতেই পায় না।

def part2_fatou():
    def f_spike(n, x):
        return np.where((x > 0) & (x < 1.0 / n), float(n), 0.0)

    # নির্দিষ্ট x>0-তে n বাড়লে f_n(x) -> 0
    for x in (0.5, 0.1, 0.01, 0.001):
        vals = [f_spike(n, np.array([x]))[0] for n in (1, 10, 100, 1000, 10000)]
        print(x, "->", [int(v) for v in vals])

    int_liminf = 0.0                                 # liminf f_n ≡ 0 সর্বত্র
    n_list = np.array([1, 2, 10, 100, 1000])
    int_fn = n_list * (1.0 / n_list)                 # প্রতিটি = 1
    liminf_int = float(np.min(int_fn))               # সবই 1, তাই liminf = 1
    print("int liminf f_n =", int_liminf)
    print("liminf int f_n =", liminf_int)
    print("strict?", int_liminf < liminf_int)

আউটপুট:

At each fixed x>0, f_n(x) drops to 0 as n grows:
       x |      n=1     n=10    n=100   n=1000  n=10000
-------------------------------------------------------
     0.5 |        1        0        0        0        0
     0.1 |        1        0        0        0        0
    0.01 |        1       10        0        0        0
   0.001 |        1       10      100        0        0

int liminf f_n  =  0.0   (liminf f_n == 0 everywhere)
int f_n         =  [1, 1, 1, 1, 1]  (each = n*(1/n) = 1)
liminf int f_n  =  1.0
Fatou strict:  int liminf = 0  <  1 = liminf int   =>  True  OK

পাঠোদ্ধার। তক্তাটা চূড়া-পলায়নের ছবিটা স্পষ্ট করে: $x=0.5$-এ ইতিমধ্যে $n=10$-তে মান $0$; $x=0.001$-এর মতো $0$-র কাছের বিন্দুতেও $n$ যথেষ্ট বড় ($n=10000$) হলে চূড়া পেরিয়ে গিয়ে $0$। যেহেতু প্রতিটি স্থির $x>0$-তে শেষমেশ $f_n(x)=0$, তাই $\liminf f_n\equiv 0$ এবং $\int\liminf f_n=0$। উল্টোদিকে প্রতিটি $\int f_n=1$, তাই $\liminf\int f_n=1$। ফলাফল $0<1$ — Fatou-র inequality কঠোর, সমতা নয়। এটাই Fatou আর MCT-র সীমারেখা: monotonicity না থাকলে limit-আর-integral অদলবদলে সমতা হারিয়ে শুধু এক-দিকের inequality টেকে। আর এই উদাহরণই আগামী অংশে DCT-র দরকার কেন তা বুঝিয়ে দেবে — চূড়াটার কোনো integrable "ছাদ" নেই।

৫.৩ Dominated Convergence Theorem — একটা integrable ছাদ থাকলে¶

Fatou শুধু inequality দেয়; কখন পুরো সমতা ($\lim\int=\int\lim$) ফিরে পাব? DCT-র জবাব: যদি সব $f_n$-কে একটাই integrable ফাংশন $g\in L^1$ উপর থেকে চাপা দেয় ($\lvert f_n\rvert\le g$)। এখানে নিই $f_n(x)=x^n$ on $[0,1]$। এরা $[0,1)$-তে $0$-তে নামে (আর $x=1$-এ $1$, কিন্তু সেটা একটাই বিন্দু — measure শূন্য, তাই a.e. $\to 0$)। বদ্ধ-রূপ $\int_0^1 x^n\,dx=\tfrac1{n+1}$, যা $0$-তে যায়। আর dominator একদম সহজ: $0\le x^n\le 1$ সর্বত্র $[0,1]$, তাই $g\equiv 1$ চলে — আর $\int_0^1 1\,dx=1<\infty$, মানে $g\in L^1$। DCT-র সব শর্ত পূরণ, তাই $\int f_n\to\int 0=0$।

def part3_dct():
    def int_xn_grid(n, num=2_000_000):
        x = (np.arange(num) + 0.5) / num
        return (x ** n).mean()                       # ∫_0^1 x^n dx

    print(f"{'n':>10} | {'int x^n (grid)':>15} | {'1/(n+1) (closed)':>17}")
    for n in (1, 2, 10, 100):
        print(f"{n:>10} | {int_xn_grid(n):>15.4f} | {1.0 / (n + 1):>17.4f}")
    print(f"{'inf (lim)':>10} | {'-':>15} | {0.0:>17.4f}")

    # dominator g ≡ 1: |x^n| <= 1 on [0,1] সকল n-এর জন্য
    x = np.linspace(0, 1, 100_000)
    dominated = all(np.all(x ** n <= 1.0 + 1e-12) for n in (1, 2, 10, 100, 1000))
    print("g==1 dominates?", dominated, " int g =", 1.0)

আউটপুট:

         n |  int x^n (grid) |  1/(n+1) (closed)
------------------------------------------------
         1 |          0.5000 |            0.5000
         2 |          0.3333 |            0.3333
        10 |          0.0909 |            0.0909
       100 |          0.0099 |            0.0099
 inf (lim) |               - |            0.0000

g == 1 dominator:  |x^n| <= g on [0,1]? True;  int_0^1 g dx = 1.0 < inf  =>  g in L^1
x^n -> 0 a.e. on [0,1), dominated by g in L^1  =>  DCT gives int x^n -> 0  OK

পাঠোদ্ধার। grid-গড় আর $\tfrac1{n+1}$ — দুই কলাম মেলে: $0.5,\,0.333,\,0.0909,\,0.0099$, ধাপে ধাপে $0$-র দিকে। যেহেতু $x^n\to 0$ a.e. এবং একটা integrable ছাদ $g\equiv 1$ আছে, DCT নিশ্চিত করে $\int x^n\to 0$ — limit নিরাপদে ভেতরে। এখন §৫.২-এর spike-এর সঙ্গে তুলনাটা মোক্ষম: সেখানে $\sup_n f_n$ হলো $0$-র যত কাছে যাই তত উঁচু (অসীমে যায়), তাই কোনো একটাই integrable $g$ সব $f_n$-কে একসঙ্গে চাপতে পারে না — DCT-র dominator শর্তটাই ভাঙে। তাই spike-এ সমতা ফেরে না, Fatou কঠোর থাকে; আর $x^n$-এ ছাদ থাকায় সমতা ফেরে। একটাই পার্থক্য — integrable ছাদের অস্তিত্ব — দুই আচরণকে আলাদা করে দেয়। ($x^n$ আর spike উভয়েই $\to 0$ a.e., কিন্তু পরিণতি ভিন্ন।)

৫.৪ expectation = integral — quad, Monte-Carlo, ও Dirichlet¶

শেষ অংশে §২.৬-এর মূল সমীকরণ $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$ যন্ত্রে verify। তিনটে কোণ থেকে:

(ক) deterministic integral। $X\sim\text{Exp}(1)$-এর জন্য $\mathbb E[X]=\int_0^\infty x\,e^{-x}\,dx$ — scipy.integrate.quad দিয়ে সরাসরি কষে দেখি মান $1$।
(খ) Monte-Carlo। $X\sim U(0,1)$-এর জন্য $\mathbb E[X^2]$-কে বহু নমুনার গড় দিয়ে অনুমান (LLN-এর ভিত্তিতে — যা স্বয়ং $\mathbb E[X^2]=\int_0^1 x^2\,dx$-এরই সংখ্যা-approximation)। বিশ্লেষিত মান $\tfrac13$; seed 20260619, $N=10^6$।
(গ) Riemann = Lebesgue। $\int_0^1 x^2\,dx$ — grid-গড় (Riemann) আর quad দুটোই $\tfrac13$, কারণ $x^2$ continuous, তাই §৪-এর প্রমাণ ৭ অনুসারে দুই integral মেলে।

def part4_expectation():
    # (ক) quad:  ∫_0^∞ x e^{-x} dx = 1
    val, err = integrate.quad(lambda x: x * np.exp(-x), 0.0, np.inf)
    print("E[Exp(1)] =", round(val, 6), " (err ~", err, ")")

    # (খ) Monte-Carlo:  E[X^2], X ~ U(0,1),  N = 1e6,  seed = 20260619
    rng = np.random.default_rng(RNG_SEED)
    X = rng.random(1_000_000)
    print("MC E[X^2] =", round(float(np.mean(X ** 2)), 4), " vs 1/3 =", round(1/3, 4))

    # (গ) Riemann = Lebesgue:  ∫_0^1 x^2 dx = 1/3
    grid = ((np.arange(2_000_000) + 0.5) / 2_000_000) ** 2
    quad_val, _ = integrate.quad(lambda x: x ** 2, 0.0, 1.0)
    print("Riemann grid =", round(float(grid.mean()), 4), " quad =", round(quad_val, 4))

আউটপুট:

(a) X~Exp(1):  E[X] = int_0^inf x*e^(-x) dx = 1.000000  (quad err ~ 5.9e-10)   analytic = 1
(b) X~U(0,1):  Monte-Carlo E[X^2] (N=10^6, seed=20260619) = 0.3336   analytic 1/3 = 0.3333
(c) int_0^1 x^2 dx:  Riemann grid = 0.3333,  quad = 0.3333,  true 1/3 = 0.3333   (Riemann = Lebesgue)

পাঠোদ্ধার। তিন কোণই এক বিন্দুতে মেলে। (ক) quad দিয়ে $\int_0^\infty x e^{-x}=1.000000$ (সংখ্যাগত ত্রুটি $\sim 10^{-10}$) — Exp(1)-এর গড় ঠিক $1$, যেমনটা বিশ্লেষণ বলে। (খ) $10^6$ নমুনায় Monte-Carlo $\mathbb E[X^2]=0.3336$, যা সত্যিকার $\tfrac13=0.3333$-এর খুব কাছে — পার্থক্যটা যথারীতি $\sim 1/\sqrt N$ মাপের নমুনা-ওঠানামা (sampling fluctuation), seed স্থির রাখায় এই মানটা পুনরুৎপাদনযোগ্য। (গ) $\int_0^1 x^2$-এর জন্য Riemann grid-গড় আর quad দুটোই $0.3333$ — কারণ $x^2$ continuous, তাই এখানে Riemann আর Lebesgue integral অবিকল সমান।

Dirichlet — যেখানে দুই integral আলাদা হয়। $x^2$-এর মতো continuous ফাংশনে Riemann ও Lebesgue মেলে; কিন্তু §১.২-এর ফাটল C2 মনে করুন — $\mathbf 1_{\mathbb Q}$ (rational-এ $1$, নয়তো $0$)। Lebesgue বলে $\int_0^1\mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=1\cdot\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=1\cdot 0=0$ (rational-রা গণনাযোগ্য, তাই measure $0$)। কম্পিউটারে এটা grid দিয়ে "কষা" যায় না — একটা সরল sampling-যুক্তি কেন তা দেখায়: $[0,1]$ থেকে যদি floating-point নমুনা তুলি, সেগুলো কার্যত কখনোই হুবহু rational-এ পড়ে না (irrational-দের measure $1$), তাই নমুনা-গড় $\to 0$; অথচ Riemann sum-এ যদি ইচ্ছাকৃতভাবে rational বিন্দু বাছি upper sum $=1$, irrational বাছলে lower sum $=0$ — বাছাইয়ের উপর নির্ভর করে মান বদলায়, তাই Riemann integral অস্তিত্বহীন। একই ফাংশনে Lebesgue স্থির উত্তর ($0$) দেয়, Riemann দ্বিধাগ্রস্ত — এটাই Lebesgue-এর কঠোরভাবে বেশি সাধারণ হওয়ার সংখ্যাগত স্বাদ।

সারসংক্ষেপ¶

চারটে ছোট পরীক্ষা §২–৪-এর পুরো গল্পটাকে একসুরে বেঁধে দিল — limit আর integral কখন অদলবদল করা যায়, তার নির্ভুল ক্রমবিন্যাস:

অংশ	শর্ত	ফলাফল	কোডে যা দেখা গেল
MCT (৫.১)	$0\le f_n\uparrow f$	$\int f_n\uparrow\int f$ (সমতা)	$1.0,1.5,1.9,1.99,1.999\to 2$; `monotone=True`
Fatou (৫.২)	শুধু $f_n\ge 0$	$\int\liminf\le\liminf\int$ (inequality)	spike-এ $0<1$ — কঠোর
DCT (৫.৩)	$f_n\to f$ a.e., $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$	$\int f_n\to\int f$ (সমতা ফেরে)	$0.5,0.333,0.0909,0.0099\to 0$
$\mathbb E$=$\int$ (৫.৪)	—	$\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$	quad $=1$; MC $\mathbb E[X^2]=0.3336\approx\tfrac13$

মূল পাঠ তিনটে। এক — তিন theorem-এর ফারাকটা একটাই অক্ষে: monotonicity থাকলে (MCT) সমতা; না থাকলে শুধু এক-দিকের inequality (Fatou), এবং সেটা সত্যিই কঠোর হতে পারে (spike-এ $0<1$); আর integrable ছাদ $g\in L^1$ ফিরে এলে (DCT) আবার সমতা — $x^n$ আর spike উভয়েই $\to 0$ a.e. হওয়া সত্ত্বেও কেবল ছাদের অস্তিত্ব তাদের ভাগ্য আলাদা করে দেয়। দুই — quad, Monte-Carlo আর Riemann-grid তিন পথেই $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$ একই সংখ্যায় এসে মেলে; expectation সত্যিই একটা integral, আলাদা সূত্র নয়। তিন — continuous ফাংশনে Riemann আর Lebesgue অবিকল সমান ($\int_0^1 x^2=\tfrac13$), কিন্তু Dirichlet-এর মতো বুনো ফাংশনে Riemann দ্বিধাগ্রস্ত হয়ে ভেঙে পড়ে আর Lebesgue স্থির উত্তর ($0$) ধরে রাখে — ঠিক এই বাড়তি সাধারণতার জন্যই গোটা measure-তত্ত্বের আয়োজন।

৬ · ভিজ্যুয়ালাইজেশন¶

§২–§৪-এ Lebesgue integral (লেবেগ অখণ্ডন) ও তিনটি convergence theorem (MCT, Fatou, DCT) বীজগণিত ও প্রমাণের ভাষায় গড়ে উঠেছে। এই অংশে সেই চারটি কেন্দ্রীয় ধারণাকে ছবিতে দেখা হবে — প্রতিটি ছবি একটি নির্দিষ্ট theorem-এর জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি (geometric intuition) ধরে: কীভাবে Lebesgue integral range-কে কাটে, কীভাবে monotone-বর্ধমান অনুক্রম তার integral-সহ উপরে ওঠে, কীভাবে "ভর পালিয়ে গেলে" Fatou-র inequality কঠোর হয়, আর কীভাবে একটি $L^1$-প্রভুত্বকারী (dominator) সব $f_n$-কে চাপা দিয়ে limit ও integral বিনিময়ের অনুমতি দেয়।

প্রতিটি ছবি তৈরি হয়েছে অভিন্ন figure-style দিয়ে; সম্পূর্ণ স্ক্রিপ্টটি _code/figs_7-4.py-তে আছে এবং চারটি ছবিকে _assets/-এ সংরক্ষণ করে। নিচে প্রতিটি subsection-এ ছবির পেছনের গণিত, একটি সংক্ষিপ্ত python উদ্ধৃতি (excerpt), এবং embedded ছবি দেওয়া হলো। ছবির ভেতরের সব লেখা ইংরেজিতে — কারণ matplotlib-এ বাংলা hরফ rendering করতে পারে না (tofu হয়); ব্যাখ্যা থাকে বাংলা prose-এ।

৬.১ · Simple function-এর integral — "range কেটে" আয়তন¶

Riemann integral domain-কে (x-অক্ষ) সরু পট্টিতে কাটে; Lebesgue integral উল্টো পথে — সে range-কে (y-অক্ষ) স্তরে (level) কাটে। প্রতিটি স্তরের মান $a_i$-র জন্য তার base set ধরা হয় $A_i=\{x:f(x)\ge a_i\}$, এবং সেই set-এর "আকার" মাপা হয় measure $\mu(A_i)$ দিয়ে। একটি simple function (simple function) $s\le f$ তখন এই অনুভূমিক স্তরগুলোকে সিঁড়ির মতো জোড়া দেয়, আর তার integral হলো প্রতিটি স্তরের উচ্চতা $\times$ আকার-এর যোগফল —

\[ \int s\,d\mu \;=\; \sum_i a_i\,\mu(A_i). \]

§২-এর তিন-স্তর সংজ্ঞার দ্বিতীয় স্তর ঠিক এখানেই বসে: যেহেতু $f$-এর নিচে আঁটে এমন simple function অনেক, তাদের সবার integral-এর supremum-কেই $f$-এর integral বলা হয় —

\[ \int f\,d\mu \;=\; \sup\Bigl\{\textstyle\int s\,d\mu \;:\; 0\le s\le f,\ s\text{ simple}\Bigr\}. \]

ছবিতে অঋণাত্মক বক্ররেখা $f$-এর নিচে কয়েকটি অনুভূমিক slab (পট্টি) shade করা হয়েছে; গাঢ় সিঁড়িটি সেই slab-গুলোর শীর্ষ ধরে গড়া simple function $s$। নিচে x-অক্ষে একটি base set $A_i=\{x:f(x)\ge a_i\}$-এর প্রস্থ লাল তীরে চিহ্নিত — এই প্রস্থই $\mu(A_i)$। স্তর যত সূক্ষ্ম হয়, সিঁড়ি তত $f$-এর কাছাকাছি আসে, আর supremum-এ গিয়ে integral-এর সঠিক মান ধরে।

# range-কে স্তরে কাটা: প্রতিটি band-এ slab shade করা হয়
levels = np.array([0.0, 0.8, 1.6, 2.4, 3.2])   # band lower edges a_i
band_h = 0.8
for i, a in enumerate(levels):
    top = a + band_h
    mask = f >= a                               # base set A_i = {x : f >= a_i}
    ax.fill_between(x, a, np.minimum(f, top), where=mask,
                    color=STAGES[i % len(STAGES)], alpha=0.55)
# slab-শীর্ষ ধরে simple function s-এর সিঁড়ি-রূপরেখা
s = np.zeros_like(x)
for a in levels:
    s = np.where(f >= a + band_h, a + band_h, s)
ax.step(x, s, where="post", color=C_S4, lw=2.2, label=r"$s \le f$  (simple)")

Lebesgue integral: range কেটে slab; simple function s ≤ f, এবং int f = sup{int s}

৬.২ · Monotone Convergence Theorem — অনুক্রম ও integral একসঙ্গে ওপরে¶

MCT (Monotone Convergence Theorem) বলে: যদি অঋণাত্মক measurable অনুক্রম $f_n$ বিন্দুতে-বিন্দুতে monotone-বর্ধমান হয়ে $f$-তে পৌঁছায় ($f_n\uparrow f$), তবে তাদের integral-ও বর্ধমান হয়ে $f$-এর integral-এ পৌঁছায় —

\[ f_n\uparrow f \;\Longrightarrow\; \int f_n\,d\mu \;\uparrow\; \int f\,d\mu . \]

এটি §৪-এর ভিত্তিপ্রস্তর: limit আর integral এখানে নিঃশর্তে বিনিময়যোগ্য, শুধু monotonicity লাগে — কোনো প্রভুত্বকারী লাগে না।

দৃষ্টান্তটি $(0,1)$-তে $f_n=\min(n,\,x^{-1/2})$। প্রতিটি $f_n$ অঋণাত্মক, সীমাবদ্ধ (bounded, তাই integrable), এবং $n$ বাড়লে truncation-উচ্চতা $n$ বাড়ায় $f_n$ বিন্দুতে-বিন্দুতে ওঠে; limit-এ $f=x^{-1/2}$, যা $0$-এর কাছে অসীমে যায় তবু integrable। সরাসরি হিসাবে

\[ \int_0^1 f_n\,dx \;=\; 2-\frac{1}{n} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; 2 \;=\; \int_0^1 x^{-1/2}\,dx, \]

ঠিক যেমন MCT প্রতিশ্রুতি দেয়। ছবিতে $n=1,2,5,20$-এর বক্ররেখাগুলো একে অপরের ওপরে উঠে ড্যাশ-করা limit $x^{-1/2}$-কে আঁকড়ে ধরছে; ভেতরের ছোট inset-এ $\int f_n=2-\tfrac1n$ বিন্দুগুলো ড্যাশ-করা রেখা $2$-এর দিকে উঠছে — অনুক্রম ও তার integral দুজনেই সমান্তরালে উপরে।

x = np.linspace(1e-4, 1.0, 2000)
for c, n in zip(STAGES, [1, 2, 5, 20]):
    fn = np.minimum(n, x ** (-0.5))             # f_n = min(n, x^{-1/2}), ওপরে ওঠে
    ax.plot(x, fn, color=c, label=rf"$f_{{{n}}}=\min({n},\,x^{{-1/2}})$")
ax.plot(x, np.minimum(x ** (-0.5), 28), "--", color=C_B, label=r"$f=x^{-1/2}$")
# inset: int f_n = 2 - 1/n  ->  2
nn = np.arange(1, 26)
axin.axhline(2.0, color=C_B, ls="--")
axin.plot(nn, 2.0 - 1.0 / nn, "o-", color=C_S3)   # integral-ও 2-এ ওঠে

$MCT: f_n = min(n, x^{-1/2}) ওপরে উঠে x^{-1/2}; inset-এ int f_n = 2 − 1/n → 2$

৬.৩ · Fatou's lemma — কঠোর inequality, যখন ভর পালায়¶

Fatou's lemma (ফাটুর উপপ্রমেয়) অঋণাত্মক $f_n$-এর জন্য সবসময়ই দেয়

\[ \int \liminf_n f_n\,d\mu \;\le\; \liminf_n \int f_n\,d\mu . \]

এটি একটি একতরফা (one-sided) গ্যারান্টি — সমতা নয়, ছোট-অথবা-সমান। কখন এটি কঠোরভাবে ছোট হয়? যখন "ভর" (mass) limit-এ ধরা না দিয়ে পালিয়ে যায়। ক্লাসিক উদাহরণ — চলমান চূড়া (moving spike) $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$। প্রতিটি $f_n$-এর integral

\[ \int_0^1 f_n\,dx \;=\; n\cdot\frac1n \;=\; 1 \qquad(\text{for all }n), \]

তাই $\liminf_n\int f_n=1$। কিন্তু প্রতিটি স্থির $x>0$-তে যথেষ্ট বড় $n$-এর পর $x\notin(0,1/n)$, ফলে $f_n(x)\to 0$ — অর্থাৎ বিন্দু-সীমা $\liminf_n f_n\equiv 0$, এবং $\int 0=0$। কাজেই

\[ \int \liminf_n f_n \;=\; 0 \;<\; 1 \;=\; \liminf_n \int f_n \qquad(\text{Fatou strict}). \]

চূড়াটি যত সরু হয় তত উঁচু হয় (ক্ষেত্রফল $1$ অপরিবর্তিত), কিন্তু সরে যায় $x=0$-এর দিকে — তাই সেই একক ভর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে জমা না হয়ে "প্রান্ত দিয়ে পালায়"। ছবিতে $n=1,2,4,8$-এর নেস্টেড আয়তগুলো (প্রতিটির ক্ষেত্রফল $1$) দেখানো হয়েছে, আর লাল রেখাটি বিন্দু-সীমা $f\equiv 0$ — limit ও integral-এর মধ্যে এই ফাঁকই কঠোর inequality-এর মূর্ত রূপ।

for c, n in zip(STAGES, [1, 2, 4, 8]):
    w = 1.0 / n                                  # f_n = n on (0, 1/n), area = n*(1/n) = 1
    ax.add_patch(Rectangle((0, 0), w, n, facecolor=c, edgecolor=C_EDGE, alpha=0.55))
    ax.plot([0, 0, w, w], [0, n, n, 0], color=c,
            label=rf"$f_{{{n}}}=\,{n}\cdot\mathbf{{1}}_{{(0,\,1/{n})}}$  (area $=1$)")
ax.axhline(0, color=C_B, lw=2.6)                 # pointwise limit f ≡ 0

$Fatou কঠোর: চলমান চূড়া n·1_{(0,1/n)}, ক্ষেত্রফল 1, বিন্দু-সীমা 0; ভর পালায়$

৬.৪ · Dominated Convergence Theorem — প্রভুত্বকারী ছাদের নিচে limit বিনিময়¶

DCT (Dominated Convergence Theorem) Fatou-র কঠোরতা ঠিক যে শর্তে ভাঙে তা সরবরাহ করে: যদি $f_n\to f$ বিন্দুতে-বিন্দুতে (প্রায় সর্বত্র) এবং একটি একই integrable $g$ সবগুলোকে প্রভুত্ব করে, $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$, তবে limit ও integral নিঃসংকোচে বিনিময়যোগ্য —

\[ \lvert f_n\rvert\le g\in L^1 \;\Longrightarrow\; \int f_n\,d\mu \;\to\; \int f\,d\mu . \]

প্রভুত্বকারী $g$-ই সেই "ছাদ" (cap) যা ভরকে পালিয়ে যেতে দেয় না — §৬.৩-এর চলমান চূড়ার ক্ষেত্রে এমন কোনো $L^1$-ছাদ ছিল না (চূড়া অসীমে উঠত), তাই সেখানে DCT খাটেনি, খাটল Fatou-র কঠোর রূপ।

দৃষ্টান্ত — $[0,1]$-তে $f_n=x^n$। প্রতিটি $x\in[0,1)$-তে $x^n\to 0$, কেবল $x=1$-তে মান $1$ টিকে থাকে; অর্থাৎ $f_n\to 0$ প্রায় সর্বত্র (a.e., কারণ একটিমাত্র বিন্দু $\{1\}$-এর measure শূন্য)। প্রভুত্বকারী হিসেবে $g\equiv 1$ চলে — কারণ $0\le x^n\le 1$ সর্বত্র, এবং $\int_0^1 1\,dx=1<\infty$, তাই $g\in L^1$। DCT তখন বলে

\[ \int_0^1 x^n\,dx \;=\; \frac{1}{n+1} \;\to\; 0 \;=\; \int_0^1 0\,dx, \]

যা সরাসরি হিসাবেও মেলে। ছবিতে $n=1,2,5,20$-এর $x^n$ বক্ররেখাগুলো $0$-এর দিকে চুপসে যাচ্ছে (কেবল $x=1$-এর লাল বিন্দুতে চূড়া টিকে), আর সবার ওপরে সমতল লাল ড্যাশ-ছাদ $g\equiv 1$ — এই ছাদের নিচে আটকে থাকাই integral-কে $0$-তে নামতে বাধ্য করে।

x = np.linspace(0.0, 1.0, 1500)
ax.fill_between(x, 0, 1.0, color=C_DOM2, alpha=0.45)
ax.axhline(1.0, color=C_B, lw=2.2, ls="--", label=r"$g\equiv 1\in L^1$  (dominator)")
for c, n in zip(STAGES, [1, 2, 5, 20]):
    ax.plot(x, x ** n, color=c, label=rf"$f_{{{n}}}=x^{{{n}}}$")   # 0-এর দিকে চুপসায়
ax.plot([1.0], [1.0], "o", color=C_B)            # কেবল x=1-এ চূড়া টিকে

DCT: f_n = x^n ছাদ g ≡ 1-এর নিচে 0-তে চুপসায়; |f_n| ≤ g ∈ L^1 ⇒ int f_n → 0

সারসংক্ষেপ — চার ছবি, এক সুতো। §৬.১ Lebesgue integral-এর "range কাটা"-র সংজ্ঞা দেখায় (supremum-হিসেবে integral); §৬.২ সেই integral কীভাবে monotone-অনুক্রমের সঙ্গে নিঃশর্তে উপরে ওঠে (MCT); §৬.৩ দেখায় শর্ত শিথিল হলে — ভর পালালে — limit ও integral আলাদা হয়ে Fatou কঠোর হয়; আর §৬.৪ দেখায় একটি $L^1$-ছাদ সেই ফাঁক বন্ধ করে limit-integral বিনিময় ফিরিয়ে আনে (DCT)। তিন theorem-এর পারস্পরিক সম্পর্ক — MCT ⟶ Fatou ⟶ DCT — তাই ছবিতেও "ছাদহীন বনাম ছাদসহ" বৈপরীত্যে স্পষ্ট।

৭ · অনুশীলনী¶

নিচের অনুশীলনীগুলো অধ্যায়ের চারটি স্তম্ভ verify করে: integral-এর তিন-স্তর সংজ্ঞা, এর মৌলিক ধর্ম (linearity, monotonicity), তিনটি convergence theorem (MCT → Fatou → DCT), এবং expectation = integral-এর সংযোগ। সমস্যাগুলো চার দলে সাজানো — ক (ধারণাগত), খ (গণনামূলক), গ (প্রমাণভিত্তিক), ঘ (কোডিং)। প্রতিটির শিরোনামে কঠিনতা-চিহ্ন (difficulty tag): ★ মৌলিক, ★★ মাঝারি, ★★★ গভীর। প্রতিটিতে একটি Hint: দেওয়া আছে।

পূর্ণাঙ্গ সমাধান (ধাপে-ধাপে): _solutions/07-04-lebesgue-integral-convergence-solutions.md। আগে নিজে চেষ্টা করুন, তারপর মেলান।

প্রসঙ্গত গোটা অংশে $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ একটি measure space, এবং Lebesgue measure-এর ক্ষেত্রে $\lambda$ লেখা হয়েছে।

ক · ধারণাগত¶

অনুশীলন ১ (★)¶

Dirichlet ফাংশন $\mathbf 1_{\mathbb Q}:[0,1]\to\{0,1\}$ (rational-এ $1$, irrational-এ $0$) ধরুন। ব্যাখ্যা করুন কেন Lebesgue integral (লেবেগ অখণ্ডন) $\int_0^1 \mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda$ সুসংজ্ঞায়িত ও শূন্যের সমান, অথচ Riemann integral (রিমান অখণ্ডন) আদৌ অস্তিত্বশীল নয়। আপনার উত্তরে ব্যবহার করুন: (ক) Riemann-এ উপর-যোগফল ও নিম্ন-যোগফল কী হয়, এবং (খ) Lebesgue পদ্ধতি কীভাবে domain-এর বদলে range বিভাজন করে, আর $\mathbb Q\cap[0,1]$-এর measure কত।

Hint: প্রতিটি উপ-অন্তরে rational ও irrational দুটোই আছে, তাই Riemann upper sum সর্বদা $1$, lower sum সর্বদা $0$ — ফাঁক বন্ধ হয় না। অন্যদিকে $\mathbb Q\cap[0,1]$ countable, তাই $\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=0$।

অনুশীলন ২ (★★)¶

Dominated Convergence Theorem (DCT)-এর তিনটি প্রকল্প (hypothesis): (i) $f_n\to f$ পয়েন্টওয়াইজ (প্রায় সর্বত্র), (ii) প্রতিটি $f_n$ measurable, এবং (iii) একটি dominating function (প্রভাবকারী ফাংশন) $g\in L^1$ আছে যাতে $\lvert f_n\rvert\le g$ সব $n$-এ। এখন "moving spike" (চলমান স্পাইক) উদাহরণটি নিন: $[0,1]$-এ $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$, যেখানে $f_n\to 0$ পয়েন্টওয়াইজ কিন্তু $\int_0^1 f_n\,d\lambda=1\not\to 0=\int 0$। ব্যাখ্যা করুন এই উদাহরণ DCT-এর ঠিক কোন প্রকল্পটি ভাঙে, এবং কেন কোনো integrable dominating $g$ এখানে থাকতে পারে না।

Hint: একটা $g$ যদি সব $f_n$-কে ঢাকত, তাকে $(0,1/n)$-এ অন্তত $n$ হতে হতো — অর্থাৎ $g(x)\gtrsim 1/x$ গোছের, যার $\int_0^1$ অসীম।

অনুশীলন ৩ (★★)¶

Fatou's lemma (ফাটুর উপপ্রমেয়) বলে অঋণাত্মক measurable $f_n$-এর জন্য $\int(\liminf_n f_n)\,d\mu\le\liminf_n\int f_n\,d\mu$ — এটি একটি inequality, সমতা নয়। (ক) ব্যাখ্যা করুন স্বজ্ঞাগতভাবে কেন limit নেওয়ায় "ভর হারিয়ে" যেতে পারে কিন্তু "ভর তৈরি" হতে পারে না, তাই দিক একমুখী। (খ) একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিন যেখানে inequality কঠোর ($<$), এবং সংখ্যায় দুই পাশ লিখুন।

Hint: moving-spike (অনুশীলন ২) ব্যবহার করুন: $\liminf f_n=0$ তাই বাঁ পাশ $0$; কিন্তু প্রতিটি $\int f_n=1$ তাই $\liminf\int f_n=1$ — ফলে $0<1$। ভর "ডানে/অসীমে পালিয়ে যায়", আবার ফিরে আসে না।

খ · গণনামূলক¶

অনুশীলন ৪ (★)¶

$([0,5],\mathcal B,\lambda)$-তে simple function

\[ s = 2\cdot\mathbf 1_{[0,1)} + 5\cdot\mathbf 1_{[1,3)} + 0\cdot\mathbf 1_{[3,4)} + 4\cdot\mathbf 1_{[4,5]} \]

ধরুন। সংজ্ঞা $\int s\,d\lambda=\sum_i a_i\,\lambda(A_i)$ ব্যবহার করে $\int_0^5 s\,d\lambda$ নির্ণয় করুন। তারপর দেখান একই ফাংশনকে ভিন্ন (overlapping নয় এমন আরেকটি) প্রতিনিধিত্বে লিখলেও উত্তর বদলায় না — যেমন $[1,3)$-কে $[1,2)\cup[2,3)$-তে ভেঙে।

Hint: "উচ্চতা × আকার"-এর যোগফল: $2\cdot1+5\cdot2+0\cdot1+4\cdot1$। $[1,3)$ ভাঙলে $5\cdot1+5\cdot1=5\cdot2$, একই।

অনুশীলন ৫ (★★)¶

দুই convergence theorem-এর সংখ্যাগত ছক হাতে কষুন।

(ক) MCT। $f_n(x)=\min(n,\,x^{-1/2})$ ফাংশনগুলো $[0,1]$-এ $\uparrow f(x)=x^{-1/2}$। দেখান $\int_0^1 f_n\,d\lambda = 2-\tfrac1n$, এবং $n=1,2,10,100,1000$-এর মান লিখে নিশ্চিত করুন তা $\int_0^1 x^{-1/2}\,dx=2$-তে ওঠে।

(খ) DCT। $g_n(x)=x^n$ ফাংশনগুলো $[0,1]$-এ $\downarrow 0$ (প্রায় সর্বত্র), dominating $g\equiv1\in L^1[0,1]$। দেখান $\int_0^1 x^n\,d\lambda=\tfrac1{n+1}$, এবং $n=1,2,10,100$-এর মান লিখে নিশ্চিত করুন তা $0$-তে নামে।

Hint: (ক) $\int_0^{1/n^2} n\,dx + \int_{1/n^2}^1 x^{-1/2}\,dx = \tfrac1n + \bigl[2\sqrt x\bigr]_{1/n^2}^1 = \tfrac1n + (2-\tfrac2n) = 2-\tfrac1n$। (খ) সাধারণ power rule।

অনুশীলন ৬ (★★)¶

random variable $X\sim\text{Exp}(1)$-এর density $f_X(x)=e^{-x}\mathbf 1_{[0,\infty)}(x)$। LOTUS (Law of the Unconscious Statistician, অচেতন পরিসংখ্যানবিদের সূত্র) ও expectation = integral সংজ্ঞা ব্যবহার করে $\mathbb E[X]=\int_{[0,\infty)} x\,f_X(x)\,d\lambda(x)$-কে একটি Lebesgue integral হিসেবে কষে দেখান $\mathbb E[X]=1$। (Lebesgue ও improper Riemann এখানে মেলে, কারণ integrand অঋণাত্মক ও Lebesgue-integrable — অনুশীলন ১০ দ্রষ্টব্য।)

Hint: $\int_0^\infty x e^{-x}\,dx$ — parts দিয়ে, বা $\Gamma(2)=1!=1$।

গ · প্রমাণভিত্তিক¶

অনুশীলন ৭ (★★)¶

অঋণাত্মক measurable $f,g:\Omega\to[0,\infty]$-এর জন্য integral-এর linearity প্রমাণ করুন: $\int(f+g)\,d\mu=\int f\,d\mu+\int g\,d\mu$ এবং $\int(cf)\,d\mu=c\int f\,d\mu$ সব $c\ge0$-তে। ধাপগুলো: (ক) 7.3-এর approximation theorem দিয়ে simple function $s_n\uparrow f$, $t_n\uparrow g$ নিন; (খ) simple-স্তরে additivity (7.3) ব্যবহার করুন; (গ) MCT প্রয়োগ করে limit-এ যান।

Hint: $s_n+t_n\uparrow f+g$ (অঋণাত্মক, monotone), তাই MCT তিনবার লাগিয়ে $\int(f+g)=\lim\int(s_n+t_n)=\lim(\int s_n+\int t_n)=\int f+\int g$।

অনুশীলন ৮ (★★★)¶

Fatou's lemma-কে MCT থেকে derive করুন। অঋণাত্মক measurable $f_n$-এর জন্য $g_n:=\inf_{k\ge n}f_k$ সংজ্ঞায়িত করুন এবং প্রমাণ করুন $\int(\liminf_n f_n)\,d\mu\le\liminf_n\int f_n\,d\mu$। ধাপগুলো: (ক) দেখান $g_n$ অঋণাত্মক measurable এবং $g_n\uparrow\liminf_n f_n$; (খ) MCT লাগান বাঁ পাশে; (গ) $g_n\le f_k$ সব $k\ge n$-তে, তাই $\int g_n\le\inf_{k\ge n}\int f_k$ — এর limit নিন।

Hint: $\liminf_n f_n=\sup_n\inf_{k\ge n}f_k=\lim_n g_n$ (monotone increasing in $n$)। monotonicity দিয়ে $\int g_n\le\int f_k\ (\forall k\ge n)$, তাই $\int g_n\le\inf_{k\ge n}\int f_k$।

অনুশীলন ৯ (★★)¶

প্রমাণ করুন: যদি $f\ge0$ measurable এবং $\int_\Omega f\,d\mu=0$, তবে $f=0$ প্রায় সর্বত্র (almost everywhere), অর্থাৎ $\mu(\{f>0\})=0$। ধাপগুলো: (ক) $A_n:=\{f\ge\tfrac1n\}$ সেটগুলো নিন; (খ) Chebyshev/Markov-ধাঁচে $\tfrac1n\mu(A_n)\le\int_{A_n}f\,d\mu\le\int_\Omega f\,d\mu=0$ দেখান; (গ) $\{f>0\}=\bigcup_n A_n$ এবং measure-এর continuity দিয়ে শেষ করুন।

Hint: $f\cdot\mathbf 1_{A_n}\ge\tfrac1n\mathbf 1_{A_n}$, integral নিলে $\int f\ge\tfrac1n\mu(A_n)$। বাঁ পাশ $0$ তাই $\mu(A_n)=0$ সব $n$-এ; countable union-এর measure $\le\sum\mu(A_n)=0$।

ঘ · কোডিং¶

অনুশীলন ১০ (★)¶

MCT ছক সংখ্যায় verify করুন। Python-এ analytic মান $2-\tfrac1n$ এবং একটি numerical integral (যেমন scipy.integrate.quad বা সূক্ষ্ম grid-এ Riemann যোগফল) দুই-ভাবেই $\int_0^1\min(n,x^{-1/2})\,dx$ কষে $n=1,2,10,100,1000$-এর জন্য পাশাপাশি ছাপুন, এবং দেখান উভয়ই $1.0,1.5,1.9,1.99,1.999$-এর কাছাকাছি ও limit $2$-তে ওঠে।

Hint: $f_n(x)=\min(n,x^{-1/2})$, integrate 0 থেকে 1। analytic = 2 - 1/n।

অনুশীলন ১১ (★★)¶

Fatou কঠোর — spike সংখ্যায় দেখান। $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$-এর জন্য (ক) প্রতিটি $\int_0^1 f_n\,d\lambda=1$ এবং (খ) পয়েন্টওয়াইজ $\liminf f_n=0$ (তাই $\int\liminf f_n=0$) — দুটোই numerically প্রদর্শন করুন। একটি সারণিতে $n$-এর বিপরীতে $\int f_n=1$ ছাপুন এবং স্পষ্টভাবে দেখান $\int\liminf f_n=0\ <\ 1=\liminf\int f_n$ (Fatou inequality কঠোর)।

Hint: প্রতিটি স্থির $x>0$-এ যথেষ্ট বড় $n$ থেকে $f_n(x)=0$, তাই grid-এ $\min_n f_n(x)\to0$। অথচ প্রতিটি $\int f_n=n\cdot\tfrac1n=1$।

অনুশীলন ১২ (★★)¶

DCT verify + একটি expectation-এর Monte-Carlo। (ক) $\int_0^1 x^n\,d\lambda=\tfrac1{n+1}$ analytic ও numerical উভয়ভাবে কষে $n=1,2,10,100$-এর জন্য পাশাপাশি ছাপুন ($0.5,0.333,0.0909,0.0099$), দেখান limit $0$। (খ) numpy.random.default_rng(20260619) ও $N=10^6$ নমুনা দিয়ে $X\sim U(0,1)$-এর জন্য $\mathbb E[X^2]=\int_0^1 x^2\,dx=\tfrac13$ Monte-Carlo-তে আনুমান করুন এবং দেখান ফল $\approx 0.3336$।

Hint: (ক) 1/(n+1)। (খ) rng = np.random.default_rng(20260619); x = rng.uniform(0,1,10**6); est = np.mean(x**2) — বিশ্লেষণী মান $\tfrac13=0.3333\ldots$, seed-এ MC $=0.3336$।

৮ · সারসংক্ষেপ ও সংযোগ¶

এই অধ্যায়ে আমরা Lebesgue integral-কে শূন্য থেকে গড়ে তুলেছি এবং দেখিয়েছি কেন সে Riemann-এর চেয়ে শক্তিশালী, বিশেষত limit ও integral অদলবদলের প্রশ্নে।

১. integral গড়ে ওঠে তিন স্তরে। (ক) simple function $s=\sum_i a_i\mathbf 1_{A_i}$-এ $\int s\,d\mu=\sum_i a_i\mu(A_i)$ ("উচ্চতা × আকার"-এর যোগফল); এটি প্রতিনিধিত্ব-নিরপেক্ষ ও linear (← 7.3)। (খ) অঋণাত্মক measurable $f$-এ $\int f\,d\mu=\sup\{\int s\,d\mu: s\ \text{simple},\,0\le s\le f\}$ — নিচে-আঁটা simple-দের supremum। (গ) সাধারণ $f$-এ $f=f^+-f^-$ ভেঙে $\int f=\int f^+-\int f^-$ (অন্তত একটি সসীম হলে); $\int\lvert f\rvert<\infty$ হলে $f$ integrable, লেখা $f\in L^1(\mu)$।

২. তিন convergence theorem এক শৃঙ্খলে: MCT → Fatou → DCT। ভিত্তিপ্রস্তর হলো Monotone Convergence Theorem (MCT): $0\le f_n\uparrow f$ হলে $\int f_n\uparrow\int f$ — limit আর integral অদলবদল করা যায়। MCT থেকে Fatou's lemma ($\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$, কেবল inequality — "ভর পালাতে পারে, ফিরে আসে না") উৎপাদিত হয়, আর Fatou থেকে Dominated Convergence Theorem (DCT): যদি $f_n\to f$ পয়েন্টওয়াইজ এবং $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1$, তবে $\int f_n\to\int f$। canonical সংখ্যা: MCT-তে $\int\min(n,x^{-1/2})=2-\tfrac1n\to2$; Fatou কঠোর-উদাহরণে $0<1$; DCT-তে $\int_0^1 x^n=\tfrac1{n+1}\to0$।

৩. expectation = integral। যেকোনো random variable $X$-এর জন্য $\mathbb E[X]=\int_\Omega X\,d\mathbb P$, আর LOTUS দিয়ে $\mathbb E[g(X)]=\int g\,dP_X=\int g(x)f_X(x)\,d\lambda(x)$ (density থাকলে)। উদাহরণ: $X\sim\text{Exp}(1)$-এ $\mathbb E[X]=1$ (← 2.5)। ফলে probability-র সব expectation-theorem আসলে measure-theoretic integral-theorem, আর convergence theorem-গুলো সরাসরি $\mathbb E$-তে খাটে (যেমন $\mathbb E[X_n]\to\mathbb E[X]$ কখন বৈধ — DCT/MCT বলে দেয়; ← 3.2)।

৪. Riemann পুনরুদ্ধার ও তার সীমা। Lebesgue's criterion বলে একটি bounded $f:[a,b]\to\mathbb R$ Riemann-integrable ↔ তার discontinuity-সেট-এর Lebesgue measure শূন্য; তখন দুই integral সমান। তাই Lebesgue কঠোরভাবে বড়: সে Dirichlet $\mathbf 1_{\mathbb Q}$-কেও integrate করে ($\int_0^1\mathbf 1_{\mathbb Q}\,d\lambda=0$; ← 7.1), যা Riemann পারে না।

মূল সংজ্ঞা/theorem (mini-list)। - simple function integral: $\int\sum_i a_i\mathbf 1_{A_i}\,d\mu=\sum_i a_i\mu(A_i)$। - nonneg integral: $\int f\,d\mu=\sup\{\int s\,d\mu:\,0\le s\le f,\ s\ \text{simple}\}$। - integrable / $L^1$: $f\in L^1(\mu)\iff\int\lvert f\rvert\,d\mu<\infty$; তখন $\int f=\int f^+-\int f^-$। - MCT: $0\le f_n\uparrow f\ \Rightarrow\ \int f_n\uparrow\int f$। - Fatou: $f_n\ge0\ \Rightarrow\ \int\liminf f_n\le\liminf\int f_n$। - DCT: $f_n\to f$ ও $\lvert f_n\rvert\le g\in L^1\ \Rightarrow\ \int f_n\to\int f$। - expectation: $\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P$; LOTUS: $\mathbb E[g(X)]=\int g\,dP_X$। - Lebesgue's criterion: bounded $f$ Riemann-integrable $\iff$ discontinuity-সেটের measure $=0$।

পেছনের সংযোগ: - ← 7.3 (Measurable maps): simple function-এর approximation $s_n\uparrow f$, যার উপর integral-এর সংজ্ঞা ও linearity দাঁড়ায়। - ← 7.1 (Why measure theory): Dirichlet ও moving-spike উদাহরণ — কেন Riemann অপ্রতুল। - ← 2.5 (Expectation, variance, moments): যে $\mathbb E$ আগে যোগফল/Riemann-এ গোনা হতো, এখন তা $\int X\,d\mathbb P$।

সামনের সংযোগ: - → 7.5 (Lp, Hilbert space, Radon–Nikodym): $L^1$-কে সাধারণীকরণ করে $L^p$, norm ও completeness; density-র সাধারণ রূপ Radon–Nikodym derivative। - → 7.6 (Strong Law of Large Numbers): a.s. convergence ও integrability-শর্তে SLLN-এর measure-theoretic প্রমাণ। - → 7.7 (Conditional expectation as integral): $\mathbb E[X\mid\mathcal G]$-কে integral/projection হিসেবে — এই অধ্যায়ের integral-ভাষাতেই সংজ্ঞায়িত।

উৎস: Klenke, Probability Theory, অধ্যায় ৪ (Integral) — সংজ্ঞা, MCT/Fatou/DCT, ও expectation-সংযোগের আদর্শ উপস্থাপনা।

এক বাক্যে: Lebesgue integral range-কে বিভাজন করে integral-কে তিন স্তরে (simple → অঋণাত্মক → $L^1$) গড়ে তোলে, MCT → Fatou → DCT শৃঙ্খলে limit-আর-integral অদলবদলের নিয়ম দেয়, এবং প্রতিটি expectation-কে একটি integral $\int X\,d\mathbb P$ বানিয়ে probability ও বিশ্লেষণকে এক ছাদের নিচে আনে।

\(n\)	\(\int_0^1 f_n\,d\lambda=2-\tfrac1n\)
\(1\)	\(1.0\)
\(2\)	\(1.5\)
\(10\)	\(1.9\)
\(100\)	\(1.99\)
\(1000\)	\(1.999\)

\(n\)	\(\int_0^1 x^n\,d\lambda=\tfrac{1}{n+1}\)
\(1\)	\(0.5\)
\(2\)	\(0.333\)
\(10\)	\(0.0909\)
\(100\)	\(0.0099\)

অংশ	শর্ত	ফলাফল	কোডে যা দেখা গেল
MCT (৫.১)	\(0\le f_n\uparrow f\)	\(\int f_n\uparrow\int f\) (সমতা)	\(1.0,1.5,1.9,1.99,1.999\to 2\); `monotone=True`
Fatou (৫.২)	শুধু \(f_n\ge 0\)	\(\int\liminf\le\liminf\int\) (inequality)	spike-এ \(0<1\) — কঠোর
DCT (৫.৩)	\(f_n\to f\) a.e., \(\lvert f_n\rvert\le g\in L^1\)	\(\int f_n\to\int f\) (সমতা ফেরে)	\(0.5,0.333,0.0909,0.0099\to 0\)
\(\mathbb E\)=\(\int\) (৫.৪)	—	\(\mathbb E[X]=\int X\,d\mathbb P\)	quad \(=1\); MC \(\mathbb E[X^2]=0.3336\approx\tfrac13\)

পরিস্থিতি	শর্ত	উপসংহার
MCT	\(0\le f_n\uparrow f\) (ক্রমবর্ধমান, অঋণাত্মক)	\(\int f_n\uparrow\int f\) — সমতা সর্বদা
Fatou	শুধু \(f_n\ge 0\) (কোনো convergence/monotonicity দরকার নেই)	\(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) — এক-তরফা inequality সর্বদা
DCT	\(f_n\to f\) a.e. এবং \(\lvert f_n\rvert\le g\in L^1\) (integrable ছাদ)	\(\int f_n\to\int f\) ও \(\int\lvert f_n-f\rvert\to 0\) — সমতা

7.4 — Lebesgue Integral ও Convergence Theorems (যে integral সব measurable ফাংশনে কাজ করে)¶

১ · ভূমিকা ও insight¶

১.১ যেখানে 7.3 থেমেছিল — হাতে একটা সিঁড়ি, কিন্তু integral এখনও নেই¶

১.২ যা মেরামত করতে হবে — 7.1-এর দুই crack, আবার সামনে¶

১.৩ এই অধ্যায়ের তিন প্রাপ্তি — integral, expectation, ও swap-theorem¶

১.৪ এই অধ্যায়ের পথরেখা¶

২ · মূল ধারণা ও সংজ্ঞা¶

২.১ ধাপ ১ — অঋণাত্মক simple ফাংশনের integral ("উচ্চতা × আকার")¶

২.২ ধাপ ২ — অঋণাত্মক measurable ফাংশনের integral (নিচ থেকে \(\sup\))¶

২.৩ ধাপ ৩ — সাধারণ ফাংশন ও \(L^1\) (\(f^+-f^-\), integrability)¶

২.৪ একটা set-এর উপর integral — \(\int_A f\)¶

২.৫ integral-এর মৌলিক ধর্ম — linearity, monotonicity, triangle, a.e.-শূন্যতা¶

২.৬ expectation = integral — discrete/continuous পুনরুদ্ধার, LOTUS, Riemann-সংগতি¶

২.৭ Monotone Convergence Theorem (MCT) — ক্রমবর্ধমান হলে limit ভেতরে নেওয়া যায়¶

২.৮ Fatou's Lemma — অঋণাত্মক হলে একটা inequality সবসময়ই থাকে¶

২.৯ Dominated Convergence Theorem (DCT) — একটা integrable ছাদ থাকলে limit ভেতরে নেওয়া যায়¶

তিন theorem একসঙ্গে — কোনটা কখন¶

৩ · পূর্ণাঙ্গ উদাহরণ¶

উদাহরণ ১ — simple function-এর integral হাতে (★)¶

উদাহরণ ২ — Dirichlet function-এর integral, Lebesgue-এ \(0\) (★)¶

উদাহরণ ৩ — MCT হাতে-কলমে (★★)¶

উদাহরণ ৪ — Fatou কেন কঠোর inequality (★★)¶

উদাহরণ ৫ — DCT হাতে-কলমে (★★)¶

উদাহরণ ৬ — expectation as Lebesgue integral (★)¶

৪ · Proofs & Derivations¶

প্রমাণ ১ — simple function-এর integral সুসংজ্ঞায়িত ও linear (★)¶

প্রমাণ ২ — Monotone Convergence Theorem (★★★, ভিত্তিপ্রস্তর)¶

প্রমাণ ৩ — অঋণাত্মক integral-এর linearity (★★)¶

প্রমাণ ৪ — Fatou's lemma (★★)¶

প্রমাণ ৫ — Dominated Convergence Theorem (★★)¶

প্রমাণ ৬ — \(f\ge 0,\ \int f\,d\mu=0\Rightarrow f=0\) a.e. (★)¶

প্রমাণ ৭ — Riemann ⇒ Lebesgue consistency (★★, কাঠামোবদ্ধ)¶

৫ · কোড ল্যাব (Python)¶

৫.১ Monotone Convergence Theorem — \(f_n\uparrow f\) হলে \(\int f_n\uparrow\int f\)¶

৫.২ Fatou's Lemma — কেন inequality, সমতা নয়¶

৫.৩ Dominated Convergence Theorem — একটা integrable ছাদ থাকলে¶

৫.৪ expectation = integral — quad, Monte-Carlo, ও Dirichlet¶

সারসংক্ষেপ¶

৬ · ভিজ্যুয়ালাইজেশন¶

৬.১ · Simple function-এর integral — "range কেটে" আয়তন¶

৬.২ · Monotone Convergence Theorem — অনুক্রম ও integral একসঙ্গে ওপরে¶

৬.৩ · Fatou's lemma — কঠোর inequality, যখন ভর পালায়¶

৬.৪ · Dominated Convergence Theorem — প্রভুত্বকারী ছাদের নিচে limit বিনিময়¶

৭ · অনুশীলনী¶

ক · ধারণাগত¶

অনুশীলন ১ (★)¶

অনুশীলন ২ (★★)¶

অনুশীলন ৩ (★★)¶

খ · গণনামূলক¶

অনুশীলন ৪ (★)¶

অনুশীলন ৫ (★★)¶

অনুশীলন ৬ (★★)¶

গ · প্রমাণভিত্তিক¶

অনুশীলন ৭ (★★)¶

অনুশীলন ৮ (★★★)¶

অনুশীলন ৯ (★★)¶

ঘ · কোডিং¶

অনুশীলন ১০ (★)¶

অনুশীলন ১১ (★★)¶

অনুশীলন ১২ (★★)¶

৮ · সারসংক্ষেপ ও সংযোগ¶