সমাধান — অধ্যায় ৭.৮ · Martingales¶

অধ্যায় ফাইল: part-7-measure-theoretic/07-08-martingales.md (§৭ অনুশীলনী)। গোটা অংশে একটা filtered probability space $(\Omega,\mathcal F,(\mathcal F_n)_{n\ge0},\mathbb P)$; random variable = measurable $X:\Omega\to\mathbb R$ (7.3), $\mathbb E[X]=\int_\Omega X\,d\mathbb P$ (7.4), $X\in L^1\iff\mathbb E\lvert X\rvert<\infty$। adapted: $X_n$ $\mathcal F_n$-measurable; predictable: $H_n$ $\mathcal F_{n-1}$-measurable। martingale: integrable + adapted + $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n$ a.s. ($\ge$ ⇒ submartingale, $\le$ ⇒ supermartingale)। সর্বত্র conditioning-এ $\mid$; $\lvert\cdot\rvert$ পরম-মান, $\lVert\cdot\rVert$ norm; সব conditional সমতা by default a.s.।

canonical তথ্য (সংখ্যাগত উত্তর reproducible, seed np.random.default_rng(20260619)): - mean-0 random walk $S_n=\sum_{k\le n}\xi_k$ ($\xi_k=\pm1$ সমসম্ভাব্য): $\mathbb E[S_n]=0$ সব $n$-তে। - gambler's ruin বাধা $-a=-8,\ +b=+4$ (শুরু $0$): $\mathbb P(\text{hit }+b)=\frac{a}{a+b}=\frac{8}{12}=\frac23\approx0.6667$, $\mathbb E[S_\tau]=0$, $\mathbb E[\tau]=ab=8\times4=32$। - optional-stopping FAILS — first passage to $+1$ ($S_0=0$, $\tau=\min\{n:S_n=1\}$): $\tau<\infty$ a.s. ও $S_\tau\equiv1$, তাই $\mathbb E[S_\tau]=1\ne0=\mathbb E[S_0]$; কারণ $\mathbb E[\tau]=\infty$ ($\mathbb P(\tau=n)\sim n^{-3/2}$, ভারী লেজ) এবং $\tau,S$ unbounded। - product martingale $M_n=\prod_{k\le n}\eta_k$ ($\mathbb E[\eta_k]=1$): $\mathbb E[M_n]=1$ সব $n$-তে। - Doob decomposition $S_n^2=(S_n^2-n)+n$: $M_n=S_n^2-n$ martingale, compensator $A_n=\langle S\rangle_n=n$, তাই $\mathbb E[S_n^2]=n=\operatorname{Var}(S_n)$।

ক · ধারণাগত (conceptual)¶

সমাধান ১ (★)¶

(ক) তিন শর্ত। $(X_n)$ একটা martingale $(\mathcal F_n)$-এর সাপেক্ষে যদি— 1. (integrability) প্রতিটি $n$-তে $X_n\in L^1$, অর্থাৎ $\mathbb E\lvert X_n\rvert<\infty$। কেন দরকার: conditional (শর্তাধীন) expectation (প্রত্যাশা) $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]$ কেবল $L^1$-এ সংজ্ঞায়িত (7.7); নইলে শর্ত ৩ লেখাই অর্থহীন। 2. (adapted) প্রতিটি $X_n$ $\mathcal F_n$-measurable — "বর্তমান তথ্যেই $X_n$ জানা"। কেন দরকার: শর্ত ৩-এর ডান পাশ $X_n$-কে $\mathcal F_n$-measurable হতেই হবে (যেহেতু বাঁ পাশ $\mathbb E[\cdot\mid\mathcal F_n]$ সবসময় $\mathcal F_n$-measurable); নইলে "$=X_n$" তুলনাটাই অসামঞ্জস্য। 3. (martingale property) $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n$ a.s. সব $n\ge0$-তে — "আজ পর্যন্ত সব তথ্য দিয়ে আগামীকালের সেরা পূর্বাভাস = আজকের মান"। এটিই হৃদয়।

(খ) sub/super। শর্ত ৩-এ "$=$"-এর বদলে— - $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\ge X_n$ a.s. ⇒ submartingale (পক্ষে-ঝোঁকা, গড়ে বাড়ে); - $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\le X_n$ a.s. ⇒ supermartingale (বিপক্ষে-ঝোঁকা, গড়ে কমে)।

স্মরণ-সূত্র: super martingale নিচে নামে, sub martingale উপরে ওঠে (subharmonic ফাংশনের সাদৃশ্যে উল্টো নাম)।

(গ) এক বাক্যে। martingale মানে প্রতিটি moment (মুহূর্ত)-এ পরবর্তী পদক্ষেপের conditional গড়-বৃদ্ধি শূন্য ($\mathbb E[X_{n+1}-X_n\mid\mathcal F_n]=0$) — অর্থাৎ বায়াসহীন; কিন্তু পথ $(X_n)$ দিব্যি বুনোভাবে দুলতে-লাফাতে পারে, তাই এটি নিশ্চল নয় (variance বাড়ে, কেবল drift শূন্য)।

সমাধান ২ (★)¶

(ক) স্বজ্ঞা — থামালেও ন্যায্য। $X_{n\wedge\tau}$ মানে "$\tau$ পর্যন্ত খেলো, তারপর থেমে যাও — মান আর বদলায় না"। থেমে যাওয়া নিজে একটা valid কৌশল: প্রতি মুহূর্তে আপনি জানেন থেমেছেন কিনা (ভবিষ্যৎ লাগে না), তাই কোনো "উঁকি" বা প্রতারণা নেই — ফলে ন্যায্যতা সংরক্ষিত থাকে। সংক্ষেপে: যেহেতু "অতীত-জ্ঞানে" থামা যায়, থামা ন্যায্য খেলাকে অন্যায্য করতে পারে না।

(খ) থামা = martingale transform। নিন বাজি $H_n=\mathbf 1_{\{\tau\ge n\}}=\mathbf 1_{\{n\le\tau\}}$ — "$\tau$ পর্যন্ত প্রতি ধাপে এক-একক বাজি, তারপর $0$"। তখন $$ (H\cdot X)n=\sum-X_0 $$ (কারণ }^n\mathbf 1_{{\tau\ge k}}(X_k-X_{k-1})=\sum_{k=1}^{n\wedge\tau}(X_k-X_{k-1})=X_{n\wedge\tau$k>\tau$-তে সহগ $0$, তাই যোগফল $n\wedge\tau$ পর্যন্ত telescope করে)। predictability: $\{\tau\ge n\}=\{\tau\le n-1\}^c$; stopping time-এর সংজ্ঞায় $\{\tau\le n-1\}\in\mathcal F_{n-1}$, আর σ-algebra পরিপূরকে বন্ধ, তাই $\{\tau\ge n\}\in\mathcal F_{n-1}$ — অর্থাৎ $H_n$ $\mathcal F_{n-1}$-measurable (predictable) ✓, এবং $0\le H_n\le1$ (bounded)। তাই martingale transform (§২.৫) থেকেই $X_{n\wedge\tau}$ martingale।

(গ) এক বাক্যে। $X_{n\wedge\tau}$ martingale বলে $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]=\mathbb E[X_0]$ প্রতিটি স্থির $n$-তে খাটে — কিন্তু $\mathbb E[X_\tau]=\mathbb E[X_0]$ পেতে $n\to\infty$-সীমা পার করে $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]\to\mathbb E[X_\tau]$ দাবি করতে হয়, আর সেই সীমা-বিনিময়েই OST-এর hypothesis (DCT/MCT) লাগে।

সমাধান ৩ (★★)¶

(ক) তিন hypothesis-গুচ্ছ ও তাদের ভূমিকা। OST বলে $\mathbb E[X_\tau]=\mathbb E[X_0]$ যদি নিচের যেকোনো একটি মেটে: - (ক) $\tau$ bounded ($\tau\le N$ a.s.) — তখন $n\ge N$-এ $X_{n\wedge\tau}=X_\tau$ তুচ্ছভাবে, সীমা-বিনিময় লাগেই না। - (খ) $X$ bounded ($\lvert X_{n\wedge\tau}\rvert\le C$) ও $\tau<\infty$ a.s. — তখন ধ্রুবক $C$ একটা dominating function, bounded/dominated convergence (DCT, 7.4) দিয়ে $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]\to\mathbb E[X_\tau]$। - (গ) $\mathbb E[\tau]<\infty$ ও bounded increments ($\lvert X_{n+1}-X_n\rvert\le C$) — তখন $\lvert X_{n\wedge\tau}-X_0\rvert\le C\,\tau$ একটা integrable dominating function ($C\,\mathbb E[\tau]<\infty$), আবার DCT।

প্রতিটিই একটাই কাজ করে: $n\to\infty$-এ $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]\to\mathbb E[X_\tau]$ সীমা-বিনিময় বৈধ করা (স্থির-$n$-এ ফল $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]=\mathbb E[X_0]$ সমাধান ২-তে)। স্বজ্ঞা: খেলা যদি বাস্তবে শেষ হয় (অসীম পুঁজি বা অসীম সময় না-লাগিয়ে), গড়-ন্যায্যতা টেকে।

(খ) কোন hypothesis ভেঙেছে। first-passage-to-$+1$-এ ($S_0=0$, $\tau=\min\{n:S_n=1\}$): - $\tau$ bounded নয় (যত-খুশি দীর্ঘ হতে পারে) — (ক) ভাঙে; - $X=S$ bounded নয় ($+1$ ছোঁয়ার আগে যত-খুশি নিচে নামতে পারে, $\inf_n S_{n\wedge\tau}=-\infty$) — (খ) ভাঙে; - $\mathbb E[\tau]=\infty$ (নিরপেক্ষ হাঁটার $+1$-উত্তরণ-সময়ের গড় অসীম, $\mathbb P(\tau=n)\sim n^{-3/2}$) — (গ) ভাঙে।

তিনটিই ভেঙেছে (যেকোনো একটির ভঙ্গই যথেষ্ট), তাই OST প্রয়োগের অধিকার নেই — আর সত্যিই $\mathbb E[S_\tau]=1\ne0$।

(গ) এক বাক্যে। doubling কৌশল (হারলে বাজি দ্বিগুণ, প্রথম জয়ে থামা) তাত্ত্বিকভাবে "নিশ্চিত ৳১ লাভ" দেয় — কিন্তু ঠিক এই first-passage-এর মতো এর জন্য দরকার অসীম পুঁজি ও অসীম সময় ($\mathbb E[\tau]=\infty$, unbounded loss), যা বাস্তবে নেই; তাই "অমোঘ জয়" একটা বিভ্রম, আর OST-এর hypothesis-ই সেই বিভ্রম থেকে রক্ষাকবচ।

খ · গণনামূলক (computational)¶

সমাধান ৪ (★★)¶

সেটআপ: নিরপেক্ষ simple random walk $S_n$, $S_0=0$, বাধা $-a=-8$ (নিচে) ও $+b=+4$ (উপরে), $\tau=\min\{n:S_n\in\{-a,+b\}\}$। দুই martingale ব্যবহার করব: $S_n$ এবং $S_n^2-n$।

(ক) OST যাচাই ও $\mathbb P(\text{hit }+b)$। $S_n$ একটা martingale ($\mathbb E[\xi_k]=0$)। বৃদ্ধি পরিবদ্ধ ($\lvert S_n-S_{n-1}\rvert=1\le1$) এবং দুই বাধার মাঝে আটকে থাকায় হাঁটা নিশ্চিতভাবে শেষ হয় ও $\mathbb E[\tau]<\infty$ (নিচে $\mathbb E[\tau]=32$ পাব) — তাই hypothesis (গ) মেটে, OST প্রযোজ্য। অতএব $\mathbb E[S_\tau]=\mathbb E[S_0]=0$। কিন্তু $S_\tau\in\{-a,+b\}$ (থামা সবসময় বাধায়), তাই $p:=\mathbb P(\text{hit }+b)$ ধরে $$ 0=\mathbb E[S_\tau]=(+b)\,p+(-a)(1-p)=bp-a+ap\ \Rightarrow\ p(a+b)=a\ \Rightarrow\ \boxed{\,p=\mathbb P(\text{hit }+b)=\frac{a}{a+b}=\frac{8}{12}=\frac23\approx0.6667.\,} $$ (এবং $\mathbb P(\text{ruin}=-a)=1-p=\frac{b}{a+b}=\frac13$।)

(খ) $S_n^2-n$ martingale-এ OST ⇒ $\mathbb E[\tau]$। $M_n=S_n^2-n$ একটা martingale (সমাধান ৬ / §২.৯), $\mathbb E[M_0]=0$। একই OST-শর্ত (পরিবদ্ধ বৃদ্ধি, $\mathbb E[\tau]<\infty$, এবং $S_{n\wedge\tau}^2$ পরিবদ্ধ $[0,\max(a^2,b^2)]$-এ) দেয় $\mathbb E[M_\tau]=0$, অর্থাৎ $$ \mathbb E[S_\tau^2-\tau]=0\ \Rightarrow\ \mathbb E[\tau]=\mathbb E[S_\tau^2]. $$ কিন্তু $S_\tau\in\{+b,-a\}$, তাই $$ \mathbb E[S_\tau^2]=b^2\,p+a^2(1-p)=b^2\cdot\frac{a}{a+b}+a^2\cdot\frac{b}{a+b}=\frac{ab(b+a)}{a+b}=ab. $$ অতএব $$ \boxed{\ \mathbb E[\tau]=ab=8\times4=32.\ } $$

(গ) সংখ্যা ও সাধারণ সূত্র। $\mathbb P(\text{hit }+b)=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac23\approx0.6667$; $\mathbb E[\tau]=ab=32$। সুন্দর সমমিতি: গড়-স্থিতিকাল ঠিক দুই দূরত্বের গুণফল $ab$ (কাছের বাধা যত দূরে সরে, খেলা তত দীর্ঘ), আর কাছের বাধা ($+b$, যেহেতু $b<a$) বেশি-সম্ভাব্য ($\frac23$)।

সমাধান ৫ (★)¶

সেটআপ: $\eta_1,\eta_2,\dots$ স্বাধীন, $\eta_k\ge0$, $\mathbb E[\eta_k]=1$; $M_0=1$, $M_n=\prod_{k=1}^n\eta_k$, $\mathcal F_n=\sigma(\eta_1,\dots,\eta_n)$।

(ক) তিন শর্ত ও $\mathbb E[M_n]$। - integrability ও $\mathbb E[M_n]$: $\eta_k\ge0$ ও স্বাধীন বলে $\mathbb E\lvert M_n\rvert=\mathbb E[M_n]=\mathbb E\big[\prod_k\eta_k\big]=\prod_k\mathbb E[\eta_k]=\prod_k 1=1<\infty$ ✓। তাই $\boxed{\mathbb E[M_n]=1}$ সব $n$-তে। - adapted: $M_n=\prod_{k\le n}\eta_k$ হলো $\eta_1,\dots,\eta_n$-এর function, তাই $\mathcal F_n$-measurable ✓। - martingale property: $M_{n+1}=M_n\,\eta_{n+1}$; $M_n$ $\mathcal F_n$-measurable ও $\eta_{n+1}\perp\mathcal F_n$ (স্বাধীন), তাই pull-out + independence (7.7): $$ \mathbb E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=\mathbb E[M_n\,\eta_{n+1}\mid\mathcal F_n]\overset{\text{pull-out}}{=}M_n\,\mathbb E[\eta_{n+1}\mid\mathcal F_n]\overset{\text{indep}}{=}M_n\,\mathbb E[\eta_{n+1}]=M_n\cdot1=M_n.\ \checkmark $$ অতএব $(M_n)$ একটা martingale।

(খ) সাধারণ $\mu=\mathbb E[\eta_k]$। একই হিসাবে $\mathbb E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=\mu\,M_n$ (যেহেতু $M_n\ge0$), তাই $$ \mu>1\ \Rightarrow\ \text{submartingale};\qquad \mu<1\ \Rightarrow\ \text{supermartingale};\qquad \mu=1\ \Rightarrow\ \text{martingale}. $$

(গ) এক বাক্যে। $\log M_n=\sum_{k\le n}\log\eta_k$ সাধারণত martingale নয় কারণ $\log$ concave, তাই Jensen-এ $\mathbb E[\log\eta_{n+1}\mid\mathcal F_n]=\mathbb E[\log\eta_{n+1}]\le\log\mathbb E[\eta_{n+1}]=\log1=0$ — অর্থাৎ $\log M_n$ গড়ে কমে (একটা supermartingale, যদি $\eta>0$), সমান থাকে না; "গুণমূলক ন্যায্যতা" $\log$-এ "যোগমূলক বিপক্ষ-ঝোঁক"-এ বদলে যায়।

সমাধান ৬ (★★)¶

সেটআপ: $S_n$ নিরপেক্ষ simple random walk, $\xi_k=\pm1$ সমসম্ভাব্য ($\mathbb E[\xi_k]=0$, $\xi_k^2=1$ সবসময়), $S_0=0$, $\mathcal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$।

(ক) $S_n^2$ একটা submartingale। $S_{n+1}=S_n+\xi_{n+1}$, তাই $S_{n+1}^2=S_n^2+2S_n\xi_{n+1}+\xi_{n+1}^2$। conditional expectation $\mathcal F_n$-এ, প্রতি পদ আলাদা: $$ \mathbb E[S_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]=\underbrace{S_n^2}{\text{pull-out}}+2S_n\underbrace{\mathbb E[\xi}\mid\mathcal F_n]{=\,0}+\underbrace{\mathbb E[\xi=S_n^2+1\ \ge\ S_n^2. $$ (}^2\mid\mathcal F_n]}_{=\,1$S_n^2,2S_n$ $\mathcal F_n$-measurable; $\mathbb E[\xi_{n+1}\mid\mathcal F_n]=0$ স্বাধীনতায়; $\xi_{n+1}^2=1$ ধ্রুব।) $\ge$ চিহ্নই বলে $S_n^2$ submartingale — প্রতি ধাপে গড়ে ঠিক $+1$।

(খ) compensator $A_n$ ও martingale-অংশ $M_n$। Doob-সূত্রে প্রতি increment-এর predictable অংশ $$ \mathbb E[X_k\mid\mathcal F_{k-1}]-X_{k-1}=(S_{k-1}^2+1)-S_{k-1}^2=1, $$ তাই $$ \boxed{\,A_n=\sum_{k=1}^n 1=n\,}\quad(\text{predictable ✓: ধ্রুব বলে } \mathcal F_{n-1}\text{-measurable; বর্ধমান ✓: } A_n-A_{n-1}=1\ge0), $$ আর martingale-অংশ $$ \boxed{\,M_n=X_n-A_n=S_n^2-n\,}\quad(\text{যাচাই: } \mathbb E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=(S_n^2+1)-(n+1)=S_n^2-n=M_n). $$ অর্থাৎ Doob decomposition $S_n^2=\underbrace{(S_n^2-n)}_{M_n}+\underbrace{n}_{A_n}$।

(গ) এক বাক্যে। $A_n=n$-কে quadratic variation $\langle S\rangle_n$ বলা হয় কারণ এটি জমা-হওয়া conditional variance (শর্তাধীন ভেদ) মাপে — প্রতি ধাপের $\mathbb E[\xi_k^2\mid\mathcal F_{k-1}]=1$, তাই $n$ ধাপে মোট $\langle S\rangle_n=\sum_{k\le n}\mathbb E[(S_k-S_{k-1})^2\mid\mathcal F_{k-1}]=n$; এবং $\mathbb E[M_n]=0\Rightarrow\mathbb E[S_n^2]=n$, যা ঠিক $\operatorname{Var}(S_n)=n$ (যেহেতু $\mathbb E[S_n]=0$)।

গ · প্রমাণভিত্তিক (proof-based)¶

সমাধান ৭ (★★)¶

দাবি: $(X_n)$ martingale, $(H_n)_{n\ge1}$ predictable ও bounded ($\lvert H_n\rvert\le C$) ⇒ $(H\cdot X)_n=\sum_{k=1}^n H_k(X_k-X_{k-1})$, $(H\cdot X)_0=0$, একটা martingale।

(ক) integrability ও adapted। - integrability: ত্রিকোণ-অসমতা ও $\lvert H_k\rvert\le C$ দিয়ে $$ \mathbb E\lvert(H\cdot X)n\rvert\le\sum\rvert\big)<\infty, $$ যেহেতু প্রতিটি }^n\mathbb E\big[\lvert H_k\rvert\,\lvert X_k-X_{k-1}\rvert\big]\le C\sum_{k=1}^n\big(\mathbb E\lvert X_k\rvert+\mathbb E\lvert X_{k-1$X_k\in L^1$ (martingale) — তাই $(H\cdot X)_n\in L^1$ ✓। - adapted: $(H\cdot X)_n$ হলো $H_1,\dots,H_n$ (প্রতিটি $\mathcal F_{k-1}\subseteq\mathcal F_n$-measurable) ও $X_0,\dots,X_n$ ($\mathcal F_n$-measurable)-এর measurable function, তাই $\mathcal F_n$-measurable ✓।

(খ) মূল ধাপ — increment-এর conditional expectation। এক-ধাপের increment $$ \Delta_{n+1}:=(H\cdot X){n+1}-(H\cdot X)_n=H-X_n). $$ }(X_{n+1$H_{n+1}$ $\mathcal F_n$-measurable (predictable, $\mathcal F_{(n+1)-1}=\mathcal F_n$), তাই pull-out (7.7) প্রযোজ্য: $$ \mathbb E[\Delta_{n+1}\mid\mathcal F_n]=\mathbb E\big[H_{n+1}(X_{n+1}-X_n)\mid\mathcal F_n\big]\overset{\text{pull-out}}{=}H_{n+1}\,\mathbb E[X_{n+1}-X_n\mid\mathcal F_n]\overset{\text{mart.}}{=}H_{n+1}\cdot0=0, $$ কারণ martingale property-তে $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n$, অর্থাৎ $\mathbb E[X_{n+1}-X_n\mid\mathcal F_n]=0$। অতএব $$ \mathbb E[(H\cdot X){n+1}\mid\mathcal F_n]=(H\cdot X)_n+\mathbb E[\Delta\mid\mathcal F_n]=(H\cdot X)_n.\ \checkmark $$ তিন শর্ত মিলে $(H\cdot X)_n$ martingale। ∎

(গ) এক বাক্যে। $(H\cdot X)_n$ হলো বাজি-কৌশল $H$-এর অধীনে সঞ্চিত মুনাফা, আর এটি martingale মানে গড়ে শূন্য-লাভ — তাই predictable কোনো কৌশল ন্যায্য খেলা হারাতে পারে না (you cannot beat a fair game); predictability ঠিক (খ)-এর pull-out-এ সিদ্ধান্তকারী — $H_{n+1}$ যদি $\mathcal F_n$-measurable না-হয়ে ভবিষ্যৎ $\xi_{n+1}$ "দেখতে" পারত, তবে এটি বের করা অবৈধ হতো এবং $\mathbb E[H_{n+1}(X_{n+1}-X_n)\mid\mathcal F_n]$ ধনাত্মক বানানো যেত (= প্রতারণা, গণিত নয়)।

সমাধান ৮ (★★)¶

দাবি: $(X_n)$ martingale, $\tau$ stopping time ⇒ $X_n^\tau:=X_{n\wedge\tau}$ martingale, এবং $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]=\mathbb E[X_0]$।

(ক) $X_{n\wedge\tau}-X_0=(H\cdot X)_n$ with $H_n=\mathbf 1_{\{\tau\ge n\}}$। telescoping: $$ X_{n\wedge\tau}-X_0=\sum_{k=1}^{n\wedge\tau}(X_k-X_{k-1})=\sum_{k=1}^{n}\mathbf 1_{{k\le\tau}}(X_k-X_{k-1})=\sum_{k=1}^n H_k(X_k-X_{k-1})=(H\cdot X)_n, $$ যেখানে $H_k=\mathbf 1_{\{\tau\ge k\}}=\mathbf 1_{\{k\le\tau\}}$ — কারণ $k\le\tau$ হলে $k$-তম ধাপ এখনো চালু (increment গোনা হয়), $k>\tau$ হলে সহগ $0$ (থেমে গেছে)।

(খ) $H$ predictable ও bounded। $\{\tau\ge n\}=\{\tau\le n-1\}^c$; stopping time-এর সংজ্ঞায় $\{\tau\le n-1\}\in\mathcal F_{n-1}$, σ-algebra পরিপূরকে বন্ধ ⇒ $\{\tau\ge n\}\in\mathcal F_{n-1}$, তাই $H_n$ $\mathcal F_{n-1}$-measurable (predictable) ✓; আর $H_n\in\{0,1\}$ ⇒ $\lvert H_n\rvert\le1$ (bounded) ✓।

(গ) উপসংহার। $H$ predictable ও bounded বলে সমাধান ৭ (martingale transform) প্রযোজ্য ⇒ $(H\cdot X)_n$ martingale ⇒ $X_{n\wedge\tau}=X_0+(H\cdot X)_n$ martingale (ধ্রুব $X_0$ যোগ martingale-ত্ব রাখে)। বিশেষত $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]=\mathbb E[X_0]+\mathbb E[(H\cdot X)_n]=\mathbb E[X_0]+0=\mathbb E[X_0]$ সব $n$-তে। super-/submartingale-ও থামালে তা-ই থাকে: তখন $H_n=\mathbf 1_{\{\tau\ge n\}}\ge0$ (predictable, bounded, অঋণাত্মক), আর অঋণাত্মক predictable transform super-/sub-ত্ব সংরক্ষণ করে ($\mathbb E[\Delta_{n+1}\mid\mathcal F_n]=H_{n+1}\,\mathbb E[X_{n+1}-X_n\mid\mathcal F_n]$-এর চিহ্ন $\mathbb E[X_{n+1}-X_n\mid\mathcal F_n]$-এর চিহ্নের সমান, যেহেতু $H_{n+1}\ge0$)। ∎

সমাধান ৯ (★)¶

দাবি: $(X_n)$ martingale ⇒ $\mathbb E[X_n]=\mathbb E[X_0]$ সব $n$-তে।

(ক) এক ধাপ। total expectation (tower-এর বিশেষ রূপ $\mathcal H=\{\varnothing,\Omega\}$, 7.7): যেকোনো integrable $Z$-এ $\mathbb E[\mathbb E[Z\mid\mathcal F_n]]=\mathbb E[Z]$। $Z=X_{n+1}$ নিলে $$ \mathbb E[X_{n+1}]=\mathbb E\big[\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\big]\overset{\text{mart.}}{=}\mathbb E[X_n], $$ যেখানে শেষ সমতা martingale property $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n$।

(খ) আরোহণ। $\mathbb E[X_{n+1}]=\mathbb E[X_n]$ প্রতিটি $n\ge0$-তে, তাই শৃঙ্খলে $$ \mathbb E[X_0]=\mathbb E[X_1]=\mathbb E[X_2]=\cdots=\mathbb E[X_n]\quad\text{সব } n. $$ submartingale-এ $\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\ge X_n$, তাই monotonicity-তে $\mathbb E[X_{n+1}]=\mathbb E[\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]]\ge\mathbb E[X_n]$ — $\mathbb E[X_n]$ অ-হ্রাসমান; supermartingale-এ উল্টো, অ-বর্ধমান।

(গ) এক বাক্যে। $\mathbb E[X_n]=\mathbb E[X_0]$ মানে ন্যায্য খেলায় প্রতিটি স্থির সময় $n$-তে গড়ে কোনো লাভ-ক্ষতি নেই — কিন্তু এটি এলোমেলো (data-dependent) $\tau$-তে $\mathbb E[X_\tau]=\mathbb E[X_0]$ বলে না, কারণ $\mathbb E[X_\tau]$ পেতে $\mathbb E[X_{n\wedge\tau}]$-এর $n\to\infty$-সীমা পার করতে হয় (OST-এর hypothesis লাগে, অনুশীলন ৩)। ∎

ঘ · কোডিং (coding)¶

সমাধান ১০ (★★)¶

লক্ষ্য: gambler's ruin সিমুলেট করে $\mathbb P(+b)=\frac23$, $\mathbb E[S_\tau]=0$, $\mathbb E[\tau]=32$ ফিরে পাওয়া (seed 20260619, বাধা $-8/+4$)।

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(20260619)
a, b, trials = 8, 4, 200_000
hitB = np.zeros(trials); Stau = np.zeros(trials); tau = np.zeros(trials)
for t in range(trials):
    s, n = 0, 0
    while -a < s < b:                      # দুই বাধার মাঝে যতক্ষণ
        s += rng.choice([-1, 1]); n += 1
    hitB[t] = (s == b); Stau[t] = s; tau[t] = n
print("P(hit +b) ≈", round(hitB.mean(), 4))   # ≈ 0.667  (= a/(a+b) = 2/3 ≈ 0.6667)
print("E[S_tau]  ≈", round(Stau.mean(), 4))   # ≈ 0      (OST: E[τ]<∞ ও |ΔS|=1)
print("E[tau]    ≈", round(tau.mean(), 2))    # ≈ 32     (= ab)

তুলনা-টেবিল।

পরিমাণ	তত্ত্ব	সিমুলেশন (MC)
$\mathbb P(\text{hit }+b)$	$\frac{a}{a+b}=\frac23\approx0.6667$	$\approx0.67$
$\mathbb E[S_\tau]$	$0$	$\approx0$
$\mathbb E[\tau]$	$ab=32$	$\approx32$

(গ) ব্যাখ্যা। $\mathbb E[S_\tau]\approx0$ এখানে বৈধ কারণ OST-শর্ত (গ) মেটে — দুই বাধায় আটকে থাকায় $\mathbb E[\tau]<\infty$ ($\approx32$) এবং বৃদ্ধি পরিবদ্ধ ($\lvert\Delta S\rvert=1$)। তাই থামার সময়েও martingale-গড় সংরক্ষিত, আর দুই-মান $S_\tau\in\{-8,+4\}$ ভেঙে $\mathbb P(+b)=\frac23$ এক লাইনে বেরোয়।

সমাধান ১১ (★★)¶

লক্ষ্য: optional-stopping failure দেখানো — first passage to $+1$-এ $S_\tau\equiv1$, $\mathbb E[S_\tau]=1\ne0$ ($\mathbb E[\tau]=\infty$)। যেহেতু $\tau$ পুরো চালানো যায় না, সময়-সীমা $T$ বাড়িয়ে stopped-process দেখি।

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(20260619)
paths = 100_000
for T in (100, 1_000, 10_000):
    s = np.zeros(paths); stopped = np.zeros(paths, bool)
    for _ in range(T):
        live = ~stopped
        s[live] += rng.choice([-1, 1], size=live.sum())
        stopped |= (s >= 1)               # +1 ছুঁলে থামা
    print(f"T={T:>6}: P(τ≤T)≈{stopped.mean():.3f}, E[S_(T∧τ)]≈{s.mean():+.3f}")
# স্থির T-তে E[S_(T∧τ)]≈0 (martingale অটুট); P(τ≤T) ধীরে 1-এর দিকে ওঠে
# শুধু T→∞ সীমায় S_τ≡1 ⇒ E[S_τ]=1≠0  ⇒  OST-ভঙ্গ (DCT-ব্যর্থতা)

ফল (গুণগত)।

সময়-সীমা $T$	$\mathbb P(\tau\le T)$	$\mathbb E[S_{T\wedge\tau}]$
$100$	$<1$	$\approx0$
$1{,}000$	$\uparrow$ ১-এর দিকে	$\approx0$
$10{,}000$	আরও কাছে	$\approx0$

(খ) ভর কোথায় পালায়। স্থির $T$-তে $S_{T\wedge\tau}$ martingale, তাই $\mathbb E[S_{T\wedge\tau}]\approx0$ — একটা "$+1$-এ থেমে যাওয়া বড় ভর" আর "এখনো-অনেক-নিচে ঝুলে থাকা ছোট কিন্তু গভীর ভর" ভারসাম্য রাখে। $T\to\infty$-এর সীমায় নিচের লেজ মুছে যায় না, বরং অসীম-গভীরে সরে যায়, ফলে $\lim_T\mathbb E[S_{T\wedge\tau}]=0\ne1=\mathbb E[S_\tau]$ — অবৈধ সীমা-আদানপ্রদান।

(গ) ভাঙা শর্ত। $\tau$ unbounded, $S$ unbounded, $\mathbb E[\tau]=\infty$ — তিন OST-শর্তের কোনোটিই মেটে না। এটি ঠিক DCT-এর dominating-function-ব্যর্থতার মুখোশ: $n\mapsto S_{n\wedge\tau}$-এর জন্য কোনো integrable dominating function নেই, তাই $\lim\mathbb E\ne\mathbb E\lim$। নৈতিকতা: $\mathbb E[X_\tau]=\mathbb E[X_0]$ লেখার আগে সবসময় একটা OST-শর্ত আগে যাচাই করতে হবে।

সমাধান ১২ (★★)¶

লক্ষ্য: $S_n^2-n$ সিমুলেট করে $\mathbb E[S_n^2]\approx n$ (তাই $M_n=S_n^2-n$ গড়-শূন্য, সমতল) যাচাই — Doob decomposition $S_n^2=(S_n^2-n)+n$-এর সংখ্যাগত নিশ্চিতকরণ।

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(20260619)
paths, steps = 400_000, 40
xi = rng.choice([-1, 1], size=(paths, steps))
S  = xi.cumsum(axis=1)
n  = np.arange(1, steps+1)
ES2 = (S**2).mean(axis=0)                  # E[S_n^2] প্রতি n-এ
print("E[S_5^2]  =", round(ES2[4],  3), " (তত্ত্ব 5 )")    # ≈ 5
print("E[S_40^2] =", round(ES2[39], 3), " (তত্ত্ব 40)")    # ≈ 40
print("max|E[S_n^2 - n]| =", round(np.abs(ES2 - n).max(), 3))  # ≈ 0
# M_n = S_n^2 - n গড়-শূন্য ⇒ Doob: S_n^2 = M_n + n; compensator A_n = n = ⟨S⟩_n = Var(S_n)

ফল।

পরিমাণ	তত্ত্ব	সিমুলেশন (MC)
$\mathbb E[S_5^2]$	$5$	$\approx5$
$\mathbb E[S_{40}^2]$	$40$	$\approx40$
$\mathbb E[M_n]=\mathbb E[S_n^2-n]$	$0$ (সব $n$)	$\approx0$

(গ) ব্যাখ্যা। প্রতি $n$-তে $\mathbb E[S_n^2]\approx n$ বলে $M_n=S_n^2-n$ গড়-শূন্য (max|E[S_n^2 - n]|≈0 — রেখা সমতল), যা ঠিক Doob decomposition $S_n^2=\underbrace{(S_n^2-n)}_{\text{martingale}}+\underbrace{n}_{\text{compensator }A_n}$-কে সংখ্যায় নিশ্চিত করে; compensator $A_n=n=\langle S\rangle_n$ ঠিক জমা-হওয়া variance। আর $\mathbb E[S_n^2]=n$ ঠিক $\operatorname{Var}(S_n)$ কারণ $\mathbb E[S_n]=0$ ⇒ $\operatorname{Var}(S_n)=\mathbb E[S_n^2]-(\mathbb E[S_n])^2=\mathbb E[S_n^2]=n$।

পরিমাণ	তত্ত্ব	সিমুলেশন (MC)
\(\mathbb P(\text{hit }+b)\)	\(\frac{a}{a+b}=\frac23\approx0.6667\)	\(\approx0.67\)
\(\mathbb E[S_\tau]\)	\(0\)	\(\approx0\)
\(\mathbb E[\tau]\)	\(ab=32\)	\(\approx32\)

সময়-সীমা \(T\)	\(\mathbb P(\tau\le T)\)	\(\mathbb E[S_{T\wedge\tau}]\)
\(100\)	\(<1\)	\(\approx0\)
\(1{,}000\)	\(\uparrow\) ১-এর দিকে	\(\approx0\)
\(10{,}000\)	আরও কাছে	\(\approx0\)

পরিমাণ	তত্ত্ব	সিমুলেশন (MC)
\(\mathbb E[S_5^2]\)	\(5\)	\(\approx5\)
\(\mathbb E[S_{40}^2]\)	\(40\)	\(\approx40\)
\(\mathbb E[M_n]=\mathbb E[S_n^2-n]\)	\(0\) (সব \(n\))	\(\approx0\)