7.2 — σ-Algebra, Measure ও Extension Theorem (পরিমাপযোগ্য জগতের নির্মাণ)¶

১ · ভূমিকা ও insight (অন্তর্দৃষ্টি) — ফাটল থেকে ভিত্তি: পরিমাপযোগ্য জগৎ গড়ার দুই প্রশ্ন¶

১.১ যেখানে 7.1 থেমেছিল — আর এই অধ্যায় যেখানে শুরু করে¶

আগের অধ্যায়ে (7.1) আমরা naive সম্ভাব্যতার মেঝেতে চারটে ফাটল চিনেছিলাম এবং Kolmogorov-এর এক-বাক্যের সমাধান শুনেছিলাম: probability হলো একটা σ-algebra-র উপর একটা measure। কিন্তু 7.1 ছিল একটা প্রেরণা-সেতু — সেখানে আমরা দেখিয়েছিলাম কেন নতুন ভিত্তি দরকার, কিন্তু সেই ভিত্তিটা আসলে গড়িনি। দুটো শব্দ — "σ-algebra" আর "measure" — তখন কেবল প্রতিশ্রুতি হিসেবে রেখে গিয়েছিলাম, এক-লাইন স্বজ্ঞাসহ।

এই অধ্যায়ের কাজ ঠিক সেই প্রতিশ্রুতি পূরণ করা — যন্ত্রপাতি হাতে নিয়ে, ইট গেঁথে, পুরো কাঠামোটা দাঁড় করানো। 7.1-এর সবচেয়ে নির্ণায়ক দুটো শিক্ষা ছিল:

Vitali set (C3): $\mathbb R$-এর প্রতিটি subset-কে একসঙ্গে interval-দৈর্ঘ্য, translation-invariance ও countable additivity মানা "length" দেওয়া অসম্ভব। তাই measure-এর domain $2^{\mathbb R}$ হতে পারে না — তাকে একটা সংযত, ভালো-আচরণের set-পরিবারে সীমিত করতে হবে।
Outer measure (7.1-এর §২.৪): একটা নির্বিচার set-কে গণনাযোগ্য interval দিয়ে "বাইরে থেকে ঢেকে" তার আকার আন্দাজ করা যায় ($\lambda^*$) — এটাই length-কে interval থেকে আরও সাধারণ set-এ নিয়ে যাওয়ার চাবি।

এই দুই শিক্ষা থেকেই এ অধ্যায়ের দুটো কেন্দ্রীয় প্রশ্ন জন্ম নেয় — পরের উপ-বিভাগের বিষয়।

এক বাক্যে সূচনা। 7.1 দেখিয়েছিল কেন নতুন ভিত্তি দরকার (Vitali ⇒ সব subset measurable নয়; outer measure ⇒ length প্রসারণযোগ্য); এই অধ্যায় সেই ভিত্তিটাই formally গড়ে — σ-algebra ও measure, Carathéodory extension দিয়ে।

১.২ দুটো প্রশ্ন যা পুরো অধ্যায়কে চালায়¶

7.1-এর ফাটল থেকে ঠিক দুটো সুনির্দিষ্ট প্রশ্ন বেরিয়ে আসে, আর এই অধ্যায়ের গোটা যন্ত্রপাতি এই দুইয়েরই উত্তর।

প্রশ্ন ১ — কোন set-গুলো "পরিমাপযোগ্য" (measurable)? Vitali বলে দিয়েছে সব subset নয়। তাহলে কোন subset-দের আমরা "ঘটনা" (event) বলব এবং আকার দেওয়ার যোগ্য মানব? এই পরিবারটার কাঠামো কী হওয়া উচিত? স্বাভাবিক দাবি: যদি $A$ একটা ঘটনা হয়, তবে "$A$ ঘটল না" (অর্থাৎ $A^c$)-ও ঘটনা হওয়া চাই; আর যদি $A_1,A_2,\dots$ ঘটনা হয়, তবে "এদের অন্তত একটা ঘটল" ($\bigcup_n A_n$)-ও ঘটনা হওয়া চাই — এবং তা গণনাযোগ্য অসীম পর্যন্ত (কারণ limit-এ যেতে হবে)। এই বদ্ধতা-দাবিগুলোই পরিবারটাকে একটা σ-algebra বানায়।

প্রশ্ন ২ — length-কে interval থেকে এই গোটা পরিবারে কীভাবে সুসংগতভাবে নিয়ে যাব? আমরা জানি কেবল সহজ set-এর আকার — interval-এর দৈর্ঘ্য $b-a$। কিন্তু σ-algebra-তে এমন জটিল set আছে যা interval-এর ধারেকাছেও নয়। প্রশ্ন: interval-এ সংজ্ঞায়িত একটা আকার-নিয়মকে কি একটামাত্র, সঙ্গতিপূর্ণ উপায়ে গোটা σ-algebra পর্যন্ত সম্প্রসারণ (extend) করা যায়? এর জবাবই Carathéodory extension theorem — এ অধ্যায়ের কারিগরি হৃৎপিণ্ড।

লক্ষণীয়, দুই প্রশ্ন পরস্পর-জড়ানো: প্রশ্ন ২-এর সম্প্রসারণ-প্রক্রিয়া (outer measure + Carathéodory criterion) নিজেই ঠিক করে দেয় কোন set-গুলো measurable — অর্থাৎ প্রশ্ন ১-এর σ-algebra-টাও আসলে এই প্রক্রিয়ারই উপজাত। এই দুই প্রশ্নকে একসঙ্গে বাঁধাই Lebesgue ও Carathéodory-র মূল কৃতিত্ব।

এক বাক্যে দুই প্রশ্ন। এ অধ্যায় দুটো প্রশ্নের উত্তর দেয় — (১) কোন set-রা measurable/ঘটনা (⇒ σ-algebra: complement ও গণনাযোগ্য union-বদ্ধ পরিবার), আর (২) interval-দৈর্ঘ্যকে সেই পরিবারে সুসংগতভাবে কীভাবে প্রসারিত করা যায় (⇒ Carathéodory extension) — আর সম্প্রসারণ-প্রক্রিয়া নিজেই measurable set-গুলো বেছে দেয়।

১.৩ এক ঝলকে গন্তব্য — তিনটি বস্তু ও একটি মঞ্চ¶

পথে নামার আগে গোটা যাত্রার মানচিত্রটা এক ঝলকে দেখে নিই — তিনটি বস্তু গড়া হবে, আর তিনটি মিলে একটা মঞ্চ তৈরি হবে।

বস্তু ১ — σ-algebra $\mathcal F$ (ঘটনার পরিবার)। $\Omega$-এর subset-দের সংগ্রহ, complement ও গণনাযোগ্য union-এর অধীনে বদ্ধ। ছোট্ট $\{\varnothing,\Omega\}$ থেকে বিশাল $2^\Omega$ পর্যন্ত নানা আকারের হয়; সবচেয়ে কাজের Borel $\mathcal B(\mathbb R)$ — open set থেকে generate করা।
বস্তু ২ — measure $\mu$ (আকার)। $\mathcal F$-এর প্রতিটি সদস্যকে একটা অঋণাত্মক আকার দেয়, $\mu(\varnothing)=0$ ও countable additivity মেনে। এর জন্ম Carathéodory extension থেকে — outer measure $\mu^*$-কে শাসন করে প্রকৃত measure বানিয়ে। বিশেষ রূপ probability measure ($\mu(\Omega)=1$)।
বস্তু ৩ — uniqueness-এর গ্যারান্টি (π–λ)। Dynkin-এর π–λ theorem নিশ্চিত করে এই measure একটামাত্র — interval-এর মতো ছোট্ট generator-পরিবারে মান বসালেই গোটা $\mathcal F$-এ measure নির্ধারিত। ফল: CDF একটা সম্ভাব্যতা-বণ্টনকে সম্পূর্ণ pin করে।

আর এই তিন বস্তু একসঙ্গে গাঁথলে দাঁড়ায় মঞ্চ — probability space $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$: একটা নমুনাক্ষেত্র $\Omega$, ঘটনার σ-algebra $\mathcal F$, আর তার উপর probability measure $\mathbb P$। 2.1-এর Kolmogorov axiom এবার আর স্বজ্ঞাগত নয় — সম্পূর্ণ rigorous।

এক বাক্যে গন্তব্য। গড়া হবে তিন বস্তু — σ-algebra $\mathcal F$ (ঘটনা), measure $\mu/\mathbb P$ (আকার, Carathéodory দিয়ে), ও π–λ uniqueness — যা একসঙ্গে দাঁড় করায় rigorous probability space $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$, Part VII-এর মঞ্চ।

১.৪ এই অধ্যায়ের পথরেখা ও Part VII কোথায় যাচ্ছে¶

§২ সব মূল ধারণার precise সংজ্ঞা — প্রতিটি প্রতীক খুলে: σ-algebra ও তার derived closures; generated σ-algebra ও Borel; measurable space; measure ও তার চার ধর্ম (বিবৃতি); probability measure; counting/Dirac/Lebesgue উদাহরণ; algebra বনাম σ-algebra ও premeasure; outer measure ও Carathéodory criterion; Carathéodory extension theorem-এর বিবৃতি; Lebesgue-নির্মাণের রূপরেখা; এবং π/λ-system ও π–λ uniqueness।
§৪ ভারী প্রমাণ — "σ-algebra-দের intersection আবার σ-algebra" (⇒ $\sigma(\mathcal G)$ সুসংজ্ঞায়িত); measure-ধর্মগুলোর (monotonicity, subadditivity, দু-দিকের continuity) derivation; "Carathéodory-measurable set-রা একটা σ-algebra আর $\mu^*$ সেখানে measure"; premeasure-এর extension; Lebesgue-এর translation-invariance ও $\lambda([a,b])=b-a$; এবং π–λ uniqueness।
§৫–৬ simulation ও চিত্র (seed 20260619) — 7-2-generated-sigma-algebra (এক generator থেকে σ-algebra-র বেড়ে ওঠা), 7-2-continuity-of-measure (নিচ ও উপর থেকে $\mu(A_n)\to\mu(A)$), 7-2-caratheodory-splitting (test set $A$-কে $E,E^c$ দিয়ে ভেঙে additivity-পরীক্ষা), 7-2-construction-ladder (length → premeasure → $\mu^*$ → Carathéodory → Lebesgue)।

এর পরে Part VII-এর পথ: 7.3 measurable map ও random variable — এই $(\Omega,\mathcal F)$-এর উপর $X:\Omega\to\mathbb R$ কখন "measurable"; 7.4 measure $\mu$-এর সাপেক্ষে Lebesgue integral $\int X\,d\mu$ এবং তিন convergence theorem (MCT, Fatou, DCT); 7.6 σ-algebra-দের independence ও Kolmogorov 0–1 law; সেখান থেকে conditional expectation, martingale হয়ে শেষে 7.10-এ rigorous CLT।

এক বাক্যে পথরেখা। §২ precise সংজ্ঞা → §৪ প্রমাণ → §৫–৬ চিত্র (চার চিত্র, seed 20260619); আর Part VII এই $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$-এর উপরই গড়ে 7.3 (measurable map) → 7.4 (Lebesgue integral) → 7.6 (independence) হয়ে 7.10 (rigorous CLT)।

২ · মূল ধারণা ও সংজ্ঞা¶

এই বিভাগে এ অধ্যায়ের সব formal বস্তুর precise সংজ্ঞা দিই — প্রতিটি প্রতীক প্রথম ব্যবহারেই খুলে। কাঠামোটা §১-এর দুই প্রশ্নকে অনুসরণ করে: প্রথমে কোন set measurable (σ-algebra, generated σ-algebra, Borel, measurable space — ২.১–২.৩); তারপর সেই পরিবারে আকার (measure ও ধর্ম, probability measure, উদাহরণ — ২.৪–২.৫); তারপর আকারের সম্প্রসারণ (algebra ও premeasure, outer measure ও Carathéodory criterion, extension theorem, Lebesgue-নির্মাণ — ২.৬–২.৮); শেষে uniqueness (π/λ-system ও π–λ — ২.৯)। ভারী প্রমাণগুলো §৪-এ — এখানে কেবল বিবৃতি ও স্বজ্ঞা, স্পষ্ট forward pointer সহ।

২.১ σ-Algebra — ঘটনার পরিবারের তিন axiom¶

প্রথম প্রশ্নের ("কোন set measurable?") উত্তর শুরু হয় ঘটনাগুলোর পরিবারের কাঠামো ঠিক করা দিয়ে। ধরা যাক $\Omega$ একটা sample space (নমুনাক্ষেত্র — সম্ভাব্য সব ফলাফলের set), এবং $\mathcal F$ হলো $\Omega$-এর কিছু subset-এর একটা সংগ্রহ (অর্থাৎ $\mathcal F\subseteq 2^\Omega$, যেখানে $2^\Omega$ মানে $\Omega$-এর power set — সব subset-এর সংগ্রহ)।

সংজ্ঞা (σ-algebra, সিগমা-বীজগণিত)। $\Omega$-এর উপর একটা সংগ্রহ $\mathcal F\subseteq 2^\Omega$-কে σ-algebra বলা হয় যদি তিনটি শর্ত মানে: 1. (σ1) $\Omega\in\mathcal F$ — গোটা নমুনাক্ষেত্র নিজে একটা ঘটনা; 2. (σ2) complement-বদ্ধ: $A\in\mathcal F \Rightarrow A^c\in\mathcal F$, যেখানে $A^c=\Omega\setminus A$ ("$A$ ঘটল না"); 3. (σ3) গণনাযোগ্য union-বদ্ধ: $A_1,A_2,A_3,\dots\in\mathcal F \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\in\mathcal F$ ("এদের অন্তত একটা ঘটল", গণনাযোগ্য অসীম পর্যন্ত)।

এই তিনটি থেকেই আরও কয়েকটি বদ্ধতা আপনিই বেরিয়ে আসে (derive — পূর্ণ যুক্তি §৪-এ, এখানে স্বজ্ঞা):

$\varnothing\in\mathcal F$: যেহেতু $\Omega\in\mathcal F$ (σ1) আর complement-বদ্ধ (σ2), তাই $\varnothing=\Omega^c\in\mathcal F$।
সসীম union-বদ্ধ: σ3-এর গণনাযোগ্য union-এ বাড়তি set-গুলো $\varnothing$ ধরে নিলেই $A_1\cup\cdots\cup A_k\in\mathcal F$।
গণনাযোগ্য intersection-বদ্ধ: De Morgan সূত্রে $\bigcap_n A_n=\big(\bigcup_n A_n^c\big)^c$ — তিন axiom-ই লাগে, ফল $\bigcap_n A_n\in\mathcal F$।
set-difference-বদ্ধ: $A\setminus B=A\cap B^c\in\mathcal F$।

লক্ষণীয়, "σ" উপসর্গটা ঠিক গণনাযোগ্য (countable) অসীম operation-কে বোঝায় — এটাই σ-algebra-কে নিছক "algebra" (যা কেবল সসীম operation-বদ্ধ, ২.৬) থেকে আলাদা ও শক্তিশালী করে, কারণ সম্ভাব্যতায় আমাদের সর্বদা limit-এ ($n\to\infty$) যেতে হয়।

এক বাক্যে σ-algebra। σ-algebra $\mathcal F$ হলো $\Omega$-এর subset-দের এমন একটা পরিবার যা $\Omega$ ধারণ করে এবং complement ও গণনাযোগ্য union-এর অধীনে বদ্ধ — যেখান থেকে $\varnothing$, গণনাযোগ্য intersection ও set-difference-এর বদ্ধতা আপনিই আসে; এটাই "ঘটনা"-র যোগ্য পরিবার।

২.২ σ-Algebra-র উদাহরণ — trivial থেকে power set¶

সংজ্ঞাটা মূর্ত করতে কয়েকটা উদাহরণ, ছোট থেকে বড় আকারে সাজিয়ে:

Trivial (ক্ষুদ্রতম) σ-algebra: $\mathcal F=\{\varnothing,\Omega\}$ — শুধু "কিছুই না" আর "সবকিছু"। তিন axiom তুচ্ছভাবে মানে; এটাই $\Omega$-এর উপর সবচেয়ে ছোট σ-algebra।
Power set (বৃহত্তম) σ-algebra: $\mathcal F=2^\Omega$ — প্রতিটি subset-ই একটা ঘটনা। সবচেয়ে বড় σ-algebra; $\Omega$ গণনাযোগ্য হলে এটাই সাধারণত ব্যবহৃত, কিন্তু $\Omega=\mathbb R$ হলে (Vitali-র কারণে, 7.1/C3) এর উপর সুসংগত length বসানো যায় না — তাই তখন ছোট σ-algebra (Borel/Lebesgue) লাগে।
এক set থেকে জাত: যদি $A\subseteq\Omega$ একটা মাত্র set, তবে $A$-কে ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-algebra হলো $$ \sigma({A}) = {\varnothing,\; A,\; A^c,\; \Omega}. $$ যাচাই সহজ: এই চারটি set complement ও union-এর অধীনে বদ্ধ। (যদি $A=\varnothing$ বা $A=\Omega$ হয়, এটা trivial-এ গুটিয়ে আসে।)
গণনাযোগ্য/সহ-গণনাযোগ্য (co-countable): $\mathcal F=\{A\subseteq\Omega : A \text{ গণনাযোগ্য, অথবা } A^c \text{ গণনাযোগ্য}\}$ — uncountable $\Omega$-তে এটি $2^\Omega$ থেকে কঠোরভাবে ছোট একটি অ-তুচ্ছ σ-algebra (যাচাই §৪)।

এই উদাহরণগুলো একটা গুরুত্বপূর্ণ বার্তা দেয়: একই $\Omega$-এর উপর অনেক ভিন্ন σ-algebra থাকতে পারে, এবং "কোন σ-algebra বাছব" — তা পরিস্থিতির উপর নির্ভর করে (কতটা সূক্ষ্ম তথ্য আমরা ধরতে চাই)। এই "σ-algebra = তথ্যের পরিমাণ" ভাবনা পরে conditional expectation ও filtration-এ (7.7–7.8) কেন্দ্রীয় হবে।

এক বাক্যে উদাহরণ। একই $\Omega$-তে σ-algebra হতে পারে ক্ষুদ্রতম $\{\varnothing,\Omega\}$, বৃহত্তম $2^\Omega$, এক-set-জাত $\sigma(\{A\})=\{\varnothing,A,A^c,\Omega\}$, বা co-countable — অনেক রকম; বাছাইটা নির্ভর করে কতটা সূক্ষ্মতা/তথ্য ধরতে চাই তার উপর।

২.৩ Generated σ-algebra ও Borel — generator থেকে নির্মাণ¶

প্রায়ই আমাদের হাতে থাকে কেবল কিছু "মৌলিক" set (যেমন সব open interval), আর আমরা চাই এদের ধারণকারী একটা σ-algebra। কিন্তু এই মৌলিক set-গুলো নিজেরা সাধারণত σ-algebra গড়ে না (complement/union নিলে নতুন set আসে)। সমাধান: তাদের ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-algebra নাও।

সংজ্ঞা (generated σ-algebra)। $\Omega$-এর subset-দের যেকোনো সংগ্রহ $\mathcal G$-র জন্য, $\mathcal G$ দ্বারা generated σ-algebra হলো $\mathcal G$-কে ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-algebra: $$ \sigma(\mathcal G) \;=\; \bigcap {\,\mathcal A : \mathcal A \text{ একটি σ-algebra এবং } \mathcal G\subseteq\mathcal A\,}. $$ অর্থাৎ $\mathcal G$-কে ধারণকারী সব σ-algebra-র intersection।

এই সংজ্ঞা সুসংজ্ঞায়িত হওয়ার দুটো কারণ (প্রমাণ §৪): (ক) অন্তত একটা σ-algebra সবসময় $\mathcal G$-কে ধারণ করে — সেই $2^\Omega$ নিজে — তাই intersection-টা শূন্য নয়; (খ) যেকোনো সংখ্যক σ-algebra-র intersection আবার একটা σ-algebra — তাই $\sigma(\mathcal G)$ সত্যিই একটা σ-algebra, এবং সংজ্ঞা অনুসারে এটাই $\mathcal G$-ধারণকারী সবচেয়ে ছোটটি ("smallest")।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ — Borel σ-algebra:

সংজ্ঞা (Borel σ-algebra)। $\mathbb R$-এর উপর Borel σ-algebra হলো সব open set দ্বারা generated σ-algebra: $$ \mathcal B(\mathbb R) \;=\; \sigma(\text{সব open set})\;=\;\sigma({\text{open interval } (a,b)})\;=\;\sigma\big({(-\infty,x] : x\in\mathbb R}\big). $$ এর সদস্যদের Borel set বলে।

এই সমতাগুলো — যে open set, open interval, বা $(-\infty,x]$-ধরনের ray, এদের যেকোনোটা থেকেই একই $\mathcal B(\mathbb R)$ পাওয়া যায় — খুবই কাজের (প্রমাণ §৪)। কারণ: যেকোনো open set হলো গণনাযোগ্য open interval-এর union (⇒ interval-রা open set-দের generate করে), আর $(a,b)=\bigcup_n\big((-\infty,b-\tfrac1n]\setminus(-\infty,a]\big)$-ধরনের সমীকরণে ray-গুলোও interval generate করে। ব্যবহারিক ফল: Borel σ-algebra-তে আমাদের চেনা প্রায় সব set আছে — open, closed, interval, singleton, $\mathbb Q$, Cantor set — সবই Borel; non-Borel set বানাতে রীতিমতো কসরত লাগে। আর $(-\infty,x]$-রূপটা গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটাই CDF $F(x)=\mathbb P\big(X\le x\big)=\mathbb P\big(X\in(-\infty,x]\big)$-এর সঙ্গে সরাসরি জোড়া (২.৯-এ ফিরবে)।

এক বাক্যে generated/Borel। $\sigma(\mathcal G)$ হলো $\mathcal G$-ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-algebra (= এমন সব σ-algebra-র intersection, কারণ intersection আবার σ-algebra); এর সবচেয়ে কাজের রূপ Borel $\mathcal B(\mathbb R)=\sigma(\text{open sets})=\sigma(\text{open intervals})=\sigma((-\infty,x])$ — যেখানে আমাদের চেনা প্রায় সব set ধরা।

২.৪ Measurable space ও measure — set-কে আকার দেওয়া¶

এবার দ্বিতীয় প্রশ্ন: পরিবার ঠিক হলো, এখন তার সদস্যদের আকার দেওয়া। আগে একটা নাম:

সংজ্ঞা (measurable space)। একটা জোড়া $(\Omega,\mathcal F)$ — যেখানে $\Omega$ একটা set এবং $\mathcal F$ তার উপর একটা σ-algebra — কে measurable space (পরিমাপযোগ্য স্থান) বলে। $\mathcal F$-এর সদস্যদের measurable set (বা ঘটনা) বলে। (এখনো কোনো measure বসানো হয়নি — কেবল "কোন set মাপার যোগ্য" তা ঠিক হলো।)

এখন সেই যোগ্য set-গুলোর উপর আকার:

সংজ্ঞা (measure, পরিমাপ)। একটা measurable space $(\Omega,\mathcal F)$-এর উপর একটা measure হলো একটা function $\mu:\mathcal F\to[0,\infty]$ (অর্থাৎ প্রতিটি measurable set-কে একটা অঋণাত্মক মান বা $+\infty$ দেয়) যা দুটি শর্ত মানে: 1. $\mu(\varnothing)=0$ — খালি set-এর আকার শূন্য; 2. countable additivity (σ-additivity): যদি $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F$ পরস্পর-বিচ্ছিন্ন হয় ($i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing$), তবে $$ \mu!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n). $$ তখন $(\Omega,\mathcal F,\mu)$-কে measure space বলে।

এই দুই শর্ত থেকেই measure-এর সব দরকারি ধর্ম বেরিয়ে আসে — নিচে কেবল বিবৃতি, প্রমাণ §৪-এ:

(P1) monotonicity (একঘাতিতা): $A\subseteq B \Rightarrow \mu(A)\le\mu(B)$ — বড় set-এর আকার বড় (বা সমান)।
(P2) সসীম additivity: disjoint $A_1,\dots,A_k$-এর জন্য $\mu(A_1\cup\cdots\cup A_k)=\sum_{n=1}^k\mu(A_n)$ (countable additivity-র বিশেষ রূপ)।
(P3) countable subadditivity (উপ-সংযোজনশীলতা): যেকোনো (disjoint না-হলেও) $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F$-এর জন্য $$ \mu!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n). $$ ছেদ থাকলে কিছু অংশ একাধিকবার গোনা হয় বলে যোগফল কেবল বড় (বা সমান) হয়।
(P4a) continuity from below (নিচ থেকে ধারাবাহিকতা): যদি set-রা বাড়তে থাকে, $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ এবং $A=\bigcup_n A_n$ (লেখা হয় $A_n\uparrow A$), তবে $$ \mu(A_n)\;\uparrow\;\mu(A), \qquad \text{অর্থাৎ}\quad \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu!\Big(\bigcup_n A_n\Big). $$
(P4b) continuity from above (উপর থেকে ধারাবাহিকতা): যদি set-রা কমতে থাকে, $A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$ এবং $A=\bigcap_n A_n$ ($A_n\downarrow A$), এবং অন্তত একটা $\mu(A_n)<\infty$ হয়, তবে $\mu(A_n)\downarrow\mu(A)$। (এই finiteness-শর্ত অপরিহার্য — $A_n=[n,\infty)$, $\mu=\lambda$ নিলে $\mu(A_n)=\infty$ সবসময়, অথচ $\bigcap_n A_n=\varnothing$-এর measure $0$; প্রতি-উদাহরণ §৪-এ।)

P4 দুটোই 7.1-এর সেই insight (অন্তর্দৃষ্টি)-এর ফসল — countable additivity-ই measure-কে limit-এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ করে (চিত্র 7-2-continuity-of-measure এ দুই দিকই আঁকবে), আর এই continuity-ই পরে (7.4) Lebesgue integral ও convergence theorem-এর শিকড়।

এক বাক্যে measure। measurable space $(\Omega,\mathcal F)$-এর উপর measure হলো $\mu:\mathcal F\to[0,\infty]$ যার $\mu(\varnothing)=0$ ও countable additivity — যা থেকে monotonicity, subadditivity, এবং নিচ-থেকে (সর্বদা) ও উপর-থেকে (কোনো $\mu(A_n)<\infty$ লাগে) continuity আপনিই আসে (প্রমাণ §৪)।

২.৫ Probability measure ও measure-এর উদাহরণ¶

measure-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ রূপ — যখন মোট আকার ঠিক $1$:

সংজ্ঞা (probability measure)। একটা measure $\mathbb P$ যার $\mathbb P(\Omega)=1$-কে probability measure বলে; তখন $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$-কে probability space (সম্ভাব্যতা-স্থান) বলে। monotonicity থেকে তখন প্রতিটি ঘটনার $0\le\mathbb P(A)\le 1$, এবং complement-নিয়ম $\mathbb P(A^c)=1-\mathbb P(A)$ — অর্থাৎ 2.1-এর Kolmogorov axiom-গুলো এবার উপপাদ্য, স্বতঃসিদ্ধ-অনুমান নয়।

কয়েকটা মূর্ত measure (সংজ্ঞায় ধর্মগুলো কীভাবে খাটে তা দেখতে):

Counting measure (গণনা-পরিমাপ) $\mu_{\#}$: $\mu_{\#}(A)=\lvert A\rvert$ ($A$-এর সদস্য-সংখ্যা; অসীম হলে $\infty$)। যেকোনো $\Omega$ ও $\mathcal F=2^\Omega$-তে এটি একটা measure; discrete সম্ভাব্যতার ভিত্তি। ($\Omega$ সসীম, $\lvert\Omega\rvert=N$ হলে $\tfrac1N\mu_{\#}$ একটা probability measure — uniform।)
Dirac measure (point mass) $\delta_x$: কোনো স্থির বিন্দু $x\in\Omega$-র জন্য $$ \delta_x(A) = \mathbf 1_A(x) = \begin{cases}1 & x\in A,\ 0 & x\notin A,\end{cases} $$ অর্থাৎ পুরো ভর $1$ একটিমাত্র বিন্দু $x$-এ কেন্দ্রীভূত। এটি একটা probability measure ($\delta_x(\Omega)=1$); deterministic ফলাফলের গাণিতিক রূপ।
Lebesgue measure $\lambda$: $\mathbb R$-এর উপর সেই (এ অধ্যায়েই নির্মিত হতে যাওয়া) measure যা interval-কে তার দৈর্ঘ্য দেয় — $\lambda([a,b])=b-a$ — এবং translation-invariant। এটি probability measure নয় ($\lambda(\mathbb R)=\infty$), কিন্তু একে কোনো interval-এ সীমাবদ্ধ করে normalize করলে (যেমন $[0,1]$-এ $\lambda$ নিজেই) uniform probability পাওয়া যায়।
Discrete pmf: গণনাযোগ্য $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots\}$ ও সংখ্যা $p_i\ge 0$ যাদের $\sum_i p_i=1$ হলে, $\mathbb P(A)=\sum_{i:\,\omega_i\in A}p_i$ একটা probability measure — যা আসলে $\mathbb P=\sum_i p_i\,\delta_{\omega_i}$ (Dirac-দের ওজনিত যোগফল)। এটাই 2.x-এর pmf-এর measure-রূপ।

এই উদাহরণগুলোর বার্তা: discrete (counting/pmf/Dirac) আর continuous (Lebesgue) — দুই জগৎই এখন একই measure-সংজ্ঞার অধীন; আর singular (Cantor-ধরনের) measure-ও একই কাঠামোয় ধরা যায়। এটাই Kolmogorov-কাঠামোর একীভূতকারী শক্তি।

এক বাক্যে probability/উদাহরণ। $\mathbb P(\Omega)=1$ হলে measure-টা probability measure (⇒ Kolmogorov axiom এখন উপপাদ্য); আর counting measure, Dirac $\delta_x$, Lebesgue $\lambda$ ও discrete pmf — সব একই measure-সংজ্ঞা মানে, তাই discrete+continuous+singular এক কাঠামোয় বাঁধা পড়ে।

২.৬ Algebra (field) বনাম σ-algebra, এবং premeasure¶

এবার তৃতীয় ও কঠিনতম প্রশ্ন — সম্প্রসারণ: আমরা সাধারণত measure-টা সরাসরি গোটা σ-algebra-তে সংজ্ঞায়িত করতে পারি না; পারি কেবল সহজ set-এ (যেমন interval ও তাদের সসীম union)। এই সহজ set-গুলোর পরিবার একটা algebra (σ-algebra-র দুর্বলতর জ্ঞাতি):

সংজ্ঞা (algebra / field)। $\Omega$-এর উপর একটা সংগ্রহ $\mathcal A\subseteq 2^\Omega$-কে algebra (বা field, ক্ষেত্র) বলে যদি: (a1) $\Omega\in\mathcal A$; (a2) complement-বদ্ধ; (a3) সসীম union-বদ্ধ ($A,B\in\mathcal A\Rightarrow A\cup B\in\mathcal A$)। σ-algebra-র সঙ্গে একমাত্র পার্থক্য — এখানে কেবল সসীম union দাবি, গণনাযোগ্য নয়। (তাই প্রতিটি σ-algebra একটা algebra, কিন্তু উল্টোটা নয়: $\mathbb R$-এর interval-গুলোর সসীম union-রা algebra গড়ে, কিন্তু σ-algebra নয় — গণনাযোগ্য union নিলে বাইরে বেরিয়ে যায়।)

এই algebra-র উপর আমাদের "প্রায়-measure" বসে:

সংজ্ঞা (premeasure)। একটা algebra $\mathcal A$-এর উপর একটা premeasure হলো একটা function $\mu_0:\mathcal A\to[0,\infty]$ যার (i) $\mu_0(\varnothing)=0$, এবং (ii) countable additivity যতটুকু $\mathcal A$-র ভেতরে অর্থবহ — অর্থাৎ disjoint $A_1,A_2,\dots\in\mathcal A$ যদি এমন হয় যে তাদের union-ও $\mathcal A$-তে থাকে ($\bigcup_n A_n\in\mathcal A$), তবে $\mu_0(\bigcup_n A_n)=\sum_n\mu_0(A_n)$। (মূল উদাহরণ: interval-algebra-র উপর $\mu_0([a,b])=b-a$ — যা থেকে Lebesgue measure জন্মাবে।)

স্বজ্ঞা: premeasure হলো "ছোট জগতে সংজ্ঞায়িত একটা সঙ্গতিপূর্ণ আকার-নিয়ম" — interval-এ আমরা দৈর্ঘ্য জানি, কিন্তু এখনও জানি না জটিল set-এ একে কীভাবে টানব। সেই টানার কাজটাই পরের ধাপ (outer measure → Carathéodory)।

এক বাক্যে algebra/premeasure। algebra (field) σ-algebra-র মতোই, কিন্তু কেবল সসীম union-বদ্ধ; তার উপর একটা premeasure $\mu_0$ ($\mu_0(\varnothing)=0$ + ভেতরে-থাকা union-এ countable additivity) হলো "সহজ set-এ সংজ্ঞায়িত আকার" — যেমন interval-এ দৈর্ঘ্য — যাকে এবার গোটা σ-algebra-তে প্রসারিত করতে হবে।

২.৭ Outer measure ও Carathéodory criterion¶

প্রসারণের প্রথম ধাপ — premeasure থেকে একটা outer measure বানানো, যা $\Omega$-এর প্রতিটি subset-কে একটা মান দেয় (7.1-এর §২.৪-এর $\lambda^*$-এর সাধারণ রূপ): set-টিকে $\mathcal A$-এর সদস্য দিয়ে গণনাযোগ্যভাবে ঢেকে মোট আকারের infimum।

সংজ্ঞা (outer measure)। একটা premeasure $\mu_0$ (algebra $\mathcal A$-এর উপর) থেকে জাত outer measure $\mu^*:2^\Omega\to[0,\infty]$: $$ \mu^(E) \;=\; \inf\left{\sum_{k=1}^{\infty}\mu_0(A_k) \;:\; E\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k,\ A_k\in\mathcal A\right}, $$ যেখানে $\inf$ মানে infimum (সর্ববৃহৎ নিম্নসীমা) — $E$-কে ঢাকা সব গণনাযোগ্য $\mathcal A$-cover-এর মোট-আকারের ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য মান। (বিমূর্তভাবে, যেকোনো $\mu^*$ যা (o1) $\mu^*(\varnothing)=0$, (o2) monotone, (o3) countably subadditive — তাকেই outer measure বলে; উপরেরটি সেই শর্ত মানে, যাচাই §৪।)*

কিন্তু outer measure নিজে একটা প্রকৃত measure নয় — সাধারণভাবে এটি কেবল sub-additive, additive নয় (ঠিক যেমন 7.1-এ দেখা $\lambda^*$)। Carathéodory-র মোক্ষম ধারণা: এমন set-গুলোকেই "measurable" বলো যারা প্রতিটি test set-কে দুই টুকরোয় additive-ভাবে ভাগ করে:

সংজ্ঞা (Carathéodory criterion / measurability)। একটা set $E\subseteq\Omega$-কে $\mu^*$-measurable (Carathéodory-measurable) বলা হয় যদি $\Omega$-এর প্রতিটি subset $A$-র জন্য $$ \mu^(A) \;=\; \mu^(A\cap E) \;+\; \mu^*(A\cap E^c). $$ অর্থাৎ $E$ যেকোনো test set $A$-কে "ভেতরের অংশ" ($A\cap E$) ও "বাইরের অংশ" ($A\cap E^c$) — এই দুই টুকরোয় এমনভাবে কাটে যে আকার দুটো ঠিকঠাক যোগ হয়, কোনো অংশ হারায় না বা বাড়তি গোনে না।

স্বজ্ঞা (চিত্র 7-2-caratheodory-splitting এটাই আঁকবে): subadditivity সবসময়ই "$\le$" দেয় ($\mu^*(A)\le\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)$, কারণ $A=(A\cap E)\cup(A\cap E^c)$); তাই শর্তটার আসল দাবি কেবল উল্টো "$\ge$" — অর্থাৎ $E$ এতটাই "ভালো-আচরণের" যে কোনো test set-কে কাটলে আকার-ক্ষতি হয় না। যে set এই কঠোর পরীক্ষা পাশ করে, সে-ই measurable; Vitali-ধরনের অদ্ভুত set এতে ফেল করে।

এক বাক্যে outer measure/Carathéodory। outer measure $\mu^*$ প্রতিটি set-কে ঢাকনার infimum হিসেবে আকার দেয় (কিন্তু কেবল subadditive); আর Carathéodory criterion বলে $E$ measurable iff সব test set $A$-কে $A\cap E$ ও $A\cap E^c$-এ additive-ভাবে কাটে — এই পরীক্ষাই "ভালো" set-দের বেছে নেয়।

২.৮ Carathéodory extension theorem ও Lebesgue-নির্মাণ¶

এবার এ অধ্যায়ের কেন্দ্রীয় উপপাদ্য — যা §২.৬–২.৭-এর সব সুতো এক জায়গায় বাঁধে (পূর্ণ প্রমাণ §৪):

উপপাদ্য (Carathéodory extension theorem)। ধরা যাক $\mu_0$ একটা algebra $\mathcal A$-এর উপর একটা premeasure, এবং $\mu^*$ তা থেকে জাত outer measure। তখন: 1. সব $\mu^*$-measurable set-এর সংগ্রহ $\mathcal F^*$ একটা σ-algebra, এবং এই $\mathcal F^*$-এ $\mu^*$ সীমাবদ্ধ করলে তা একটা measure $\mu$ — যা complete (সম্পূর্ণ: যেকোনো null set-এর সব subset-ও measurable); 2. $\mathcal A\subseteq\mathcal F^*$ এবং $\mathcal A$-তে $\mu$ মূল $\mu_0$-এর সঙ্গে মেলে — অর্থাৎ $\mu$ হলো $\mu_0$-এর একটা extension, যা $\sigma(\mathcal A)$ (এমনকি বৃহত্তর $\mathcal F^*$) পর্যন্ত প্রসারিত; 3. ($\sigma$-finiteness-শর্তে — অর্থাৎ $\Omega=\bigcup_n B_n$, $\mu_0(B_n)<\infty$) এই extension একটামাত্র ($\sigma(\mathcal A)$-এর উপর) — uniqueness পরে §২.৯-এর π–λ থেকে।

এক কথায়: interval-এ জানা একটা সঙ্গতিপূর্ণ length একটামাত্রভাবে গোটা σ-algebra-তে প্রসারিত হয়, আর সম্প্রসারণ-প্রক্রিয়া (outer measure + Carathéodory) নিজেই measurable set-দের σ-algebra-টা বেছে দেয় — §১.২-এর দুই প্রশ্নের একসঙ্গে উত্তর।

এই মেশিন Lebesgue measure-এর নির্মাণে সরাসরি খাটে — পুরো পথটা একটা মই (চিত্র 7-2-construction-ladder):

\[ \underbrace{\text{interval-দৈর্ঘ্য } \ell([a,b])=b-a}_{\text{ধাপ ১}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{premeasure } \mu_0 \text{ on interval-algebra}}_{\text{ধাপ ২}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{outer measure } \lambda^*}_{\text{ধাপ ৩}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{Carathéodory}}_{\text{ধাপ ৪}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{Lebesgue measure } \lambda \text{ on } \mathcal L}_{\text{ধাপ ৫}}. \]

ফলস্বরূপ Lebesgue σ-algebra $\mathcal L$ ও তার উপর Lebesgue measure $\lambda$ — যার মূল ধর্ম (প্রমাণ §৪): (i) $\lambda([a,b])=b-a$ (চেনা দৈর্ঘ্য সম্মান করে); (ii) translation invariance $\lambda(A+t)=\lambda(A)$; (iii) $\mathcal L\supseteq\mathcal B(\mathbb R)$ — Lebesgue σ-algebra Borel-কে ধারণ করে (এবং complete হওয়ায় কঠোরভাবে বড়: সব Lebesgue-null set ও তাদের subset ধরে, যেগুলোর কিছু non-Borel)। এই $\lambda$-ই 7.1-এর আলগা $\lambda^*$-কে অবশেষে একটা প্রকৃত, additive measure-এ রূপ দেয় — C2/C3-এর সমাধানের ভিত্তি।

এক বাক্যে extension/Lebesgue। Carathéodory extension theorem — algebra-র premeasure একটামাত্রভাবে ($\sigma$-finite হলে) একটা complete measure-এ প্রসারিত হয় এবং Carathéodory-measurable set-রা σ-algebra গড়ে; এই মই (length→premeasure→$\mu^*$→Carathéodory) দিয়েই Lebesgue measure $\lambda$ গড়া হয় — $\lambda([a,b])=b-a$, translation-invariant, $\mathcal L\supseteq\mathcal B$।

২.৯ π-System, λ-System ও π–λ uniqueness — measure কেন interval-মানে নির্ধারিত¶

শেষ টুকরো — uniqueness: §২.৮ বলল extension আছে, কিন্তু সেটা একটামাত্র কেন? এর সবচেয়ে পরিষ্কার যন্ত্র Dynkin-এর π–λ কাঠামো। দুটো সহজ set-পরিবার:

সংজ্ঞা (π-system ও λ-system)। $\Omega$-এর subset-দের সংগ্রহ — - একটা π-system যদি তা সসীম intersection-বদ্ধ: $A,B\in\mathcal P\Rightarrow A\cap B\in\mathcal P$। (উদাহরণ: $\mathbb R$-এর সব $(-\infty,x]$-ray একটা π-system, কারণ $(-\infty,x]\cap(-\infty,y]=(-\infty,\min(x,y)]$।) - একটা λ-system (Dynkin system) যদি: (λ1) $\Omega\in\mathcal D$; (λ2) proper difference-বদ্ধ ($A,B\in\mathcal D$, $A\subseteq B\Rightarrow B\setminus A\in\mathcal D$); (λ3) ক্রমবর্ধমান গণনাযোগ্য union-বদ্ধ ($A_n\in\mathcal D$, $A_n\uparrow A\Rightarrow A\in\mathcal D$)।

এই দুই ধারণা একসঙ্গে σ-algebra-র সমান শক্তি দেয়:

উপপাদ্য (Dynkin-এর π–λ theorem)। যদি একটা π-system $\mathcal P$ একটা λ-system $\mathcal D$-এর ভেতরে থাকে ($\mathcal P\subseteq\mathcal D$), তবে $\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal D$ — অর্থাৎ একটা π-system-কে ধারণকারী যেকোনো λ-system সেই π-system-জাত গোটা σ-algebra-কেই ধারণ করে। (কারণ একটা λ-system যদি π-system-ও হয়, তবে সে আসলে σ-algebra — §৪।)

এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফল — uniqueness:

ফল (measure-uniqueness)। দুটো measure $\mu,\nu$ যদি একটা π-system $\mathcal P$-এর প্রতিটি set-এ একমত হয় ($\mu=\nu$ on $\mathcal P$) এবং $\mathcal P$ যদি গোটা σ-algebra generate করে ($\sigma(\mathcal P)=\mathcal F$) — উপরন্তু একটা $\sigma$-finiteness-শর্তে (যেমন probability measure হলে $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)=1$) — তবে $\mu=\nu$ গোটা $\mathcal F$-এ (প্রমাণ §৪: $\{A:\mu(A)=\nu(A)\}$ একটা λ-system যা $\mathcal P$ ধারণ করে)।

এর তাৎপর্য বিশাল ও ব্যবহারিক: যেহেতু ray-গুলো $\{(-\infty,x]\}$ একটা π-system যা $\mathcal B(\mathbb R)$ generate করে (§২.৩), তাই একটা measure তার $(-\infty,x]$-মানগুলো দিয়েই সম্পূর্ণ নির্ধারিত — অর্থাৎ একটা সম্ভাব্যতা-বণ্টন তার CDF $F(x)=\mathbb P\big((-\infty,x]\big)$ দিয়েই সম্পূর্ণ pin হয়ে যায়; দুটো random variable-এর CDF মিললে তাদের পুরো law মেলে। ঠিক একইভাবে Lebesgue measure interval-মানে ($\lambda([a,b])=b-a$) নির্ধারিত, তাই §২.৮-এর extension একটামাত্র। এটাই গোটা পরিসংখ্যানের নীরব ভিত্তি — আমরা সারাক্ষণ "CDF জানলেই বণ্টন জানা" ধরে নিই, আর এই অনুমানের কঠোর ন্যায্যতা ঠিক এই π–λ uniqueness।

এক বাক্যে π–λ। π-system (intersection-বদ্ধ) ও λ-system (Dynkin) মিলে π–λ theorem দেয়, যার ফল uniqueness — একটা generating π-system-এ মিলে গেলে দুই ($\sigma$-finite) measure সর্বত্র মেলে; তাই measure তার interval/ray-মানে নির্ধারিত, এবং CDF একটা law-কে সম্পূর্ণ pin করে।

৩ · পূর্ণাঙ্গ উদাহরণ¶

§১–২-এ আমরা σ-algebra (সিগমা-বীজগণিত), generated σ-algebra (উৎপন্ন সিগমা-বীজগণিত), Borel σ-algebra, measure (পরিমাপ) ও তার continuity (ধারাবাহিকতা)-ধর্ম, এবং extension theorem (সম্প্রসারণ উপপাদ্য)-এর সংজ্ঞা ও কাঠামো গড়েছি — সবই কিছুটা বিমূর্ত ভাষায়। এই অংশের উদ্দেশ্য সেই বিমূর্ততাকে হাতে-কলমে, কংক্রিট সংখ্যা ও কংক্রিট set দিয়ে ছুঁয়ে দেখা। ছয়টি উদাহরণে আমরা ধৈর্য ধরে প্রতিটি ধাপ কষব — কোনো ধাপ লুকানো থাকবে না — তারপর প্রতিটির শেষে "কী শিখলাম" বলে মূল শিক্ষাটা গুটিয়ে আনব। কষ্টের স্তর শিরোনামে তারা দিয়ে চিহ্নিত: ★ = সরাসরি, সংজ্ঞা প্রয়োগ করলেই হয় · ★★ = কিছু কৌশল বা সতর্ক যুক্তি লাগে। প্রতিটি প্রতীক প্রথম ব্যবহারে বাংলায় খুলে দেওয়া হবে।

ছয়টি উদাহরণের পথরেখা এক নজরে: (১) দুটো ছোট generated σ-algebra হাতে গড়া — atom (পরমাণু) ধারণার প্রথম সাক্ষাৎ; (২) একটা family আসলে σ-algebra কিনা যাচাই — algebra আর σ-algebra-র সূক্ষ্ম কিন্তু নির্ণায়ক পার্থক্য; (৩) Borel σ-algebra-র দুটো ভিন্ন generator যে একই জিনিস জন্ম দেয় তা দেখানো; (৪) measure-এর ধারাবাহিকতা (continuity) সংখ্যায়, এবং উপরে-থেকে-ধারাবাহিকতার গোপন ফাঁদ; (৫) counting measure ও Dirac measure — discrete বণ্টনকে measure হিসেবে দেখা; (৬) π–λ uniqueness — কেন CDF (cumulative distribution function) গোটা বণ্টন ঠিক করে দেয়।

উদাহরণ ১ — $\sigma(\{A\})$ আর $\sigma(\{A,B\})$ হাতে গড়া (★)¶

সেটআপ। একটা generator (উৎপাদক) family $\mathcal G$ দিলে $\sigma(\mathcal G)$ মানে — $\mathcal G$-কে ধারণ করা সবচেয়ে ছোট σ-algebra (অর্থাৎ $\mathcal G$-এর সব set আছে এমন সব σ-algebra-র ছেদ)। সংজ্ঞাটা "সবচেয়ে ছোট" বলে শোনায় বিমূর্ত, কিন্তু ছোট $\mathcal G$-এর ক্ষেত্রে আমরা একে হাতে পুরোটা লিখে ফেলতে পারি: শুরুতে $\mathcal G$-এর set-গুলো নাও, তারপর complement (পূরক), সসীম ও গণনাযোগ্য union/intersection বারবার নিতে থাকো যতক্ষণ না নতুন কিছু আর তৈরি হয় (closure / আবদ্ধতা)। এই উদাহরণে দুটো ক্ষেত্রে তা করব।

অংশ (ক): $\sigma(\{A\})$ — একটাই set থেকে¶

ধরা যাক sample space (নমুনাক্ষেত্র) $\Omega$, আর একটামাত্র set $A\subseteq\Omega$ (ধরি $A\neq\emptyset$ ও $A\neq\Omega$, নাহলে আরও ছোট হয়ে যায়)। $\sigma(\{A\})$ গড়ি ধাপে ধাপে — σ-algebra-র তিনটি স্বতঃসিদ্ধ (axiom) মাথায় রেখে: (i) $\Omega$ থাকতে হবে; (ii) complement-এ আবদ্ধ; (iii) গণনাযোগ্য union-এ আবদ্ধ।

ধাপ ১ — জোগান দেওয়া set। $A$ অবশ্যই আছে।
ধাপ ২ — স্বতঃসিদ্ধ থেকে $\Omega$ ও $\emptyset$। যেকোনো σ-algebra-তে $\Omega$ থাকে, আর $\emptyset=\Omega^c$ থাকে (complement-আবদ্ধতা)। তাই $\Omega,\emptyset$ যোগ হলো।
ধাপ ৩ — complement। $A$ আছে ⇒ $A^c$ আছে।
ধাপ ৪ — আর কিছু কি লাগে? এখন আমাদের হাতে $\{\emptyset,\;A,\;A^c,\;\Omega\}$। যাচাই করি এই চারটিই কি একটা σ-algebra গড়ে — অর্থাৎ এদের যেকোনো complement বা union আবার এই তালিকাতেই পড়ে কিনা:
complement: $\emptyset^c=\Omega$ ✓, $A^c$ ✓, $(A^c)^c=A$ ✓, $\Omega^c=\emptyset$ ✓ — সব তালিকায়।
union: $A\cup A^c=\Omega$ ✓, $A\cup\emptyset=A$ ✓, $A\cup\Omega=\Omega$ ✓, $A^c\cup\Omega=\Omega$ ✓ — কোনো নতুন set জন্মায় না।

যেহেতু complement আর union নিয়ে আর কিছু বেরোয় না (closure পূর্ণ), আমরা পেলাম $$ \sigma({A}) \;=\; {\,\emptyset,\; A,\; A^c,\; \Omega\,} \qquad\Longrightarrow\qquad \lvert\sigma({A})\rvert = 4. $$ ঠিক চারটি element — এর কম হলে কোনো-না-কোনো স্বতঃসিদ্ধ ভাঙে (যেমন $A$ আছে অথচ $A^c$ নেই — তখন complement-আবদ্ধতা ব্যর্থ), আর বেশি দরকার নেই কারণ এই চারটিই বন্ধ। এটাই "সবচেয়ে ছোট"-এর কংক্রিট অর্থ।

অংশ (খ): $\sigma(\{A,B\})$ — দুটো set থেকে, atom-এর মাধ্যমে¶

এবার দুটো set $A,B\subseteq\Omega$, সাধারণ অবস্থানে (general position — অর্থাৎ চারটি টুকরোই অশূন্য, কেউ কারো ভেতরে পুরো ঢুকে নেই, ছেদও খালি নয়)। এক-একটা করে complement-union নিতে গেলে এলোমেলো হয়ে যাবে; বদলে একটা চমৎকার কৌশল ব্যবহার করি — atom (পরমাণু)।

ধারণা — atom। $A$ আর $B$ মিলে $\Omega$-কে চারটি পরস্পর-বিচ্ছিন্ন (disjoint), অশূন্য টুকরোয় ভাগ করে — এদের বলি atom, কারণ এরা এই σ-algebra-র "আর-ভাঙা-যায়-না" সবচেয়ে ছোট দানা: $$ \alpha_1=A\cap B,\qquad \alpha_2=A\setminus B,\qquad \alpha_3=B\setminus A,\qquad \alpha_4=(A\cup B)^c . $$ এই চারটি পরস্পর-বিচ্ছিন্ন ($\alpha_i\cap\alpha_j=\emptyset$, $i\neq j$) এবং এদের মিলন গোটা $\Omega$ ($\alpha_1\cup\alpha_2\cup\alpha_3\cup\alpha_4=\Omega$) — অর্থাৎ এরা $\Omega$-এর একটা partition (বিভাজন)।

মূল দাবি — প্রতিটি element atom-গুলোর union। $\sigma(\{A,B\})$-এর যেকোনো set-কে এই চারটি atom-এর কোনো একটা উপসংগ্রহের (subcollection) union হিসেবে লেখা যায়, এবং উল্টোভাবে atom-গুলোর যেকোনো union আবার $\sigma(\{A,B\})$-তেই থাকে। কেন —

প্রথমে: জেনারেটর $A,B$ atom-এর union। $A=\alpha_1\cup\alpha_2$ (কারণ $A=(A\cap B)\cup(A\setminus B)$), আর $B=\alpha_1\cup\alpha_3$। তাই $A,B$ দুটোই atom-union। যেহেতু σ-algebra union ও complement-এ আবদ্ধ, atom-গুলোও এর ভেতরে: যেমন $\alpha_1=A\cap B=(A^c\cup B^c)^c$, $\alpha_2=A\setminus B=A\cap B^c$, ইত্যাদি — সবই $A,B$ থেকে সসীম set-অপারেশনে পাওয়া, তাই $\sigma(\{A,B\})$-এর সদস্য।
এরপর: atom-union-এর সংগ্রহটাই একটা σ-algebra। চারটি atom থেকে বানানো সব union-এর সংগ্রহ $\mathcal F_0$ ধরি। এটা complement-এ আবদ্ধ (কোনো atom-উপসংগ্রহের union-এর complement হলো বাকি atom-গুলোর union, কারণ atom-রা partition), আর union-এ আবদ্ধ (দুই atom-উপসংগ্রহের union আবার atom-উপসংগ্রহ)। অর্থাৎ $\mathcal F_0$ নিজেই একটা σ-algebra, এবং এতে $A,B$ আছে। সুতরাং $\sigma(\{A,B\})\subseteq\mathcal F_0$; আগের বিন্দু থেকে $\mathcal F_0\subseteq\sigma(\{A,B\})$ — দুই দিক মিলিয়ে $\sigma(\{A,B\})=\mathcal F_0$।

গোনা। চারটি atom-এর প্রতিটিকে union-এ "রাখি / রাখি না" — এই দুই-পথ বাছাই স্বাধীনভাবে চারবার: $$ \lvert\sigma({A,B})\rvert \;=\; 2^{4} \;=\; 16 . $$ ($2^4$-এর মধ্যে দুই প্রান্ত-কেস ধরা আছে: কোনো atom না নিলে $\emptyset$, চারটিই নিলে $\Omega$।) সাধারণভাবে: $n$টি general-position set $\Rightarrow$ ঠিক $2^n$টি atom $\Rightarrow$ σ-algebra-তে $2^{(2^n)}$টি element। এখানে $n=2$ বলে $2^{2}=4$ atom আর $2^4=16$ set।

কংক্রিট সংখ্যায় মিলিয়ে দেখা¶

ধরা যাক $\Omega=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$, $A=\{0,1,2,3\}$, $B=\{2,3,4,5\}$। তখন চারটি atom: $$ \alpha_1=A\cap B={2,3},\quad \alpha_2=A\setminus B={0,1},\quad \alpha_3=B\setminus A={4,5},\quad \alpha_4=(A\cup B)^c={6,7}. $$ যাচাই: এরা পরস্পর-বিচ্ছিন্ন, আর $\{2,3\}\cup\{0,1\}\cup\{4,5\}\cup\{6,7\}=\{0,\dots,7\}=\Omega$ ✓। আর জেনারেটর সত্যিই atom-union: $A=\{0,1\}\cup\{2,3\}=\alpha_2\cup\alpha_1$ ✓, $B=\{2,3\}\cup\{4,5\}=\alpha_1\cup\alpha_3$ ✓। চারটি দানা থেকে $2^4=16$টি ভিন্ন union গড়া যায় — যেমন $\emptyset$, $\{2,3\}$, $\{0,1,2,3\}=A$, $\{0,1,4,5\}=\alpha_2\cup\alpha_3$, …, $\{0,\dots,7\}=\Omega$ — প্রতিটিই $\sigma(\{A,B\})$-এর একটি সদস্য, ঠিক ১৬টি।

কী শিখলাম। "সবচেয়ে ছোট σ-algebra" সংজ্ঞাটা বিমূর্ত শোনালেও ছোট generator-এর জন্য একে পুরোপুরি গুনে ফেলা যায়, এবং তার মূল হাতিয়ার হলো atom: জেনারেটরগুলো $\Omega$-কে যে disjoint দানায় ভাঙে, σ-algebra-র প্রতিটি set ঠিক সেই দানাগুলোর কোনো-একটা সংগ্রহের union। একটামাত্র set দিলে $4=2^2$টি element, দুটো general-position set দিলে $4$ atom আর $2^4=16$টি element — সংখ্যাগুলো কাকতালীয় নয়, atom-গোনা থেকে সরাসরি আসে। এই "atom → union" ছবিটাই পরের সব নির্মাণে (Borel, measure-এর সংজ্ঞায়ন) বারবার ফিরে আসবে।

উদাহরণ ২ — একটা family σ-algebra কিনা যাচাই (★)¶

সেটআপ। σ-algebra-র সংজ্ঞায় তিনটি স্বতঃসিদ্ধের মধ্যে তৃতীয়টি — গণনাযোগ্য (countable) union-এ আবদ্ধতা — শুনতে শুধু "সসীম"-এর সামান্য বাড়াবাড়ি মনে হতে পারে। এই উদাহরণ দেখাবে পার্থক্যটা মোটেই সামান্য নয়: এমন একটা family আছে যা সসীম union-এ আবদ্ধ (অর্থাৎ একটা algebra / field) অথচ গণনাযোগ্য union-এ আবদ্ধ নয় (অর্থাৎ σ-algebra নয়)।

পরিভাষা ঝালিয়ে নিই: algebra (বা field) হলো এমন family যা $\Omega$ ধারণ করে, complement-এ আবদ্ধ, এবং সসীম union-এ আবদ্ধ। σ-algebra হলো algebra যা অতিরিক্তভাবে গণনাযোগ্য union-এও আবদ্ধ। পার্থক্যটা ঠিক এই "সসীম বনাম গণনাযোগ্য"-এ।

পরীক্ষার family। ধরা যাক $\Omega=\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$ (একটা অসীম set — এখানেই আসল খেলা)। সংজ্ঞা করি $$ \mathcal F \;=\; {\,A\subseteq\mathbb N \;:\; A \text{ finite (সসীম)} \;\text{ অথবা }\; A^c \text{ finite (অর্থাৎ } A \text{ cofinite / সহ-সসীম)}\,}. $$ অর্থাৎ $A$ হয় নিজে সসীম, নয়তো তার বাইরে মাত্র সসীম সংখ্যক বিন্দু বাদ পড়ে। (এর নাম finite–cofinite algebra।)

ধাপ ১ — এটা একটা algebra (সসীম-আবদ্ধ) তা যাচাই। - $\Omega=\mathbb N\in\mathcal F$: কারণ $\Omega^c=\emptyset$ সসীম, তাই $\mathbb N$ cofinite। (একই সাথে $\emptyset\in\mathcal F$, কারণ $\emptyset$ নিজে সসীম।) - complement-আবদ্ধ: $A\in\mathcal F$ হলে দুই-ক্ষেত্র — $A$ সসীম হলে $A^c$ cofinite (কারণ $(A^c)^c=A$ সসীম), তাই $A^c\in\mathcal F$; আর $A$ cofinite হলে $A^c$ সসীম, তাই $A^c\in\mathcal F$। দুই ক্ষেত্রেই $A^c\in\mathcal F$ ✓। - সসীম union-আবদ্ধ: দুটো set $A,B\in\mathcal F$ নিই। যদি দুটোই সসীম, তবে $A\cup B$ সসীম ⇒ $\in\mathcal F$। আর যদি অন্তত একটা (ধরি $A$) cofinite হয়, তবে $A^c$ সসীম, আর $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c\subseteq A^c$ সসীম (সসীম set-এর উপসেট সসীম) ⇒ $A\cup B$ cofinite ⇒ $\in\mathcal F$। উভয় ক্ষেত্রেই $A\cup B\in\mathcal F$ ✓। (আরোহ পদ্ধতিতে এটা যেকোনো সসীম সংখ্যক set-এর union-এ বাড়ে।)

তিনটি শর্তই খাটল — $\mathcal F$ একটা algebra।

ধাপ ২ — কিন্তু σ-algebra নয়: একটা গণনাযোগ্য union যা বেরিয়ে যায়। এবার আসল আঘাত। ধরি একক-বিন্দুর (singleton) set-গুলো — প্রতিটি singleton সসীম, তাই $\mathcal F$-এর সদস্য: $$ {2},\;{4},\;{6},\;{8},\;\dots \;\in\;\mathcal F \qquad(\text{প্রতিটি সসীম}). $$ এদের গণনাযোগ্য union নিই — সব জোড় সংখ্যা: $$ E \;=\; \bigcup_{k=1}^{\infty}{2k} \;=\; {2,4,6,8,\dots} \;=\; \text{জোড় সংখ্যাগুলো}. $$ এখন $E\in\mathcal F$ কিনা যাচাই করি — দুই শর্তের কোনোটাই মেটে না: - $E$ কি সসীম? না — অসীম সংখ্যক জোড় সংখ্যা আছে। - $E$ কি cofinite? না — কারণ $E^c=\{1,3,5,7,\dots\}$ (বিজোড় সংখ্যাগুলো) নিজেও অসীম, সসীম নয়।

দুটোর একটাও না হওয়ায় $E\notin\mathcal F$। অথচ $E$ হলো $\mathcal F$-এর সদস্যদের একটা গণনাযোগ্য union। অর্থাৎ $\mathcal F$ গণনাযোগ্য union-এ আবদ্ধ নয় — তাই এটা σ-algebra নয়।

কোথায় চিড় ধরল। ধাপ ১-এর সসীম-union যুক্তিটা ঠিক যেখানে ভাঙল লক্ষ করুন: সসীম সংখ্যক singleton-এর union সবসময় সসীম থাকে (সমস্যা নেই)। কিন্তু অসীম সংখ্যক singleton জড়ো করলে union অসীম হয়ে যেতে পারে, আর তখন তার complement-ও অসীম হয়ে যেতে পারে — দুই শর্তই একসাথে ভেঙে set-টা family থেকে ছিটকে পড়ে। "সসীম"-এ থেমে থাকলে চিড় চোখে পড়ে না; "গণনাযোগ্য" দাবি করলেই তা ফাঁস হয়।

কী শিখলাম। Algebra আর σ-algebra-র পার্থক্য নিছক টেকনিক্যাল খুঁতখুঁতানি নয় — finite–cofinite family একটা পরিপূর্ণ algebra, অথচ singleton-গুলোর একটা গণনাযোগ্য union (জোড় সংখ্যার set) একে ভেঙে দেয়। এখান থেকে দুটো শিক্ষা: (১) σ-algebra-তে গণনাযোগ্য আবদ্ধতা চাওয়া হয় ঠিক এই কারণেই — limit-সংক্রান্ত সব নির্মাণ (যেমন $A_n$-এর union/intersection, পরের উদাহরণের ধারাবাহিকতা) গণনাযোগ্য অপারেশন, তাই সসীম-আবদ্ধতা যথেষ্ট নয়; (২) এই বৈসাদৃশ্য কেবল অসীম $\Omega$-তে দেখা দেয় — সসীম $\Omega$-তে প্রতিটি set আপনাআপনি সসীম, তাই finite–cofinite family গোটা power set-এর সমান হয়ে যায় এবং পার্থক্যটা মিলিয়ে যায়। তাই measure theory-র সব সূক্ষ্মতা মূলত অসীমের সূক্ষ্মতা।

উদাহরণ ৩ — Borel σ-algebra-র জেনারেটর (★★)¶

সেটআপ। $\mathbb R$-এর উপর Borel σ-algebra $\mathcal B(\mathbb R)$ সংজ্ঞা দেওয়া হয় open set-গুলো দিয়ে: $\mathcal B(\mathbb R)=\sigma(\{\text{সব open set}\})$। কিন্তু একই $\mathcal B(\mathbb R)$ আরও অনেক ছোট, সরল family থেকেও জন্ম নেয়। এই উদাহরণে দেখাব দুটো ভিন্ন-চেহারার generator — open interval-গুলো আর rational প্রান্তবিন্দুর half-line-গুলো — আসলে একই σ-algebra জন্ম দেয়। এটা গুরুত্বপূর্ণ কারণ পরবর্তী uniqueness যুক্তিতে (উদাহরণ ৬) আমরা সবচেয়ে সুবিধাজনক generator বেছে নিতে চাইব।

দুটো generator family: $$ \mathcal G_1={(a,b):a<b,\ a,b\in\mathbb R}\ \ (\text{open interval}),\qquad \mathcal G_2={(-\infty,x]:x\in\mathbb Q}\ \ (\text{rational half-line}). $$ লক্ষ্য: $\sigma(\mathcal G_1)=\sigma(\mathcal G_2)=\mathcal B(\mathbb R)$।

একটা সাধারণ নীতি আগে। দুটো family $\mathcal G,\mathcal H$-এর জন্য, যদি $\mathcal G\subseteq\sigma(\mathcal H)$ হয় তবে $\sigma(\mathcal G)\subseteq\sigma(\mathcal H)$ (কারণ $\sigma(\mathcal H)$ একটা σ-algebra যা $\mathcal G$-কে ধারণ করে, আর $\sigma(\mathcal G)$ হলো $\mathcal G$-কে ধারণকারী সবচেয়ে ছোট σ-algebra)। তাই $\sigma(\mathcal G)=\sigma(\mathcal H)$ দেখাতে হলে দুই দিকেই দেখাই: $\mathcal G_2\subseteq\sigma(\mathcal G_1)$ এবং $\mathcal G_1\subseteq\sigma(\mathcal G_2)$। প্রতিটি family-র প্রতিটি set অন্যটার σ-algebra-র ভেতরে দেখাতে পারলেই কাজ শেষ।

ধাপ ১ — $\mathcal G_2\subseteq\sigma(\mathcal G_1)$: half-line গড়ি open interval থেকে। একটা half-line $(-\infty,x]$-কে open interval-এর গণনাযোগ্য অপারেশনে প্রকাশ করতে হবে। দুটো ধাপে: - প্রথমে open half-line: $(-\infty,x)=\bigcup_{n=1}^{\infty}(x-n,\;x)$ — ডান প্রান্ত $x$ স্থির রেখে বাঁ প্রান্ত যত খুশি বাঁয়ে টানা open interval-গুলোর গণনাযোগ্য union; এটা $\sigma(\mathcal G_1)$-এ আছে (union-আবদ্ধতা)। - এবার বদ্ধ half-line: একক বিন্দু $\{x\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\big(x-\tfrac1n,\;x+\tfrac1n\big)$ — open interval-গুলোর গণনাযোগ্য intersection (σ-algebra complement+union-এর মাধ্যমে intersection-এও আবদ্ধ), তাই $\{x\}\in\sigma(\mathcal G_1)$। সুতরাং $$ (-\infty,x] \;=\; (-\infty,x)\,\cup\,{x} \;\in\;\sigma(\mathcal G_1). $$ এটা যেকোনো বাস্তব $x$-এর জন্য খাটে, কাজেই বিশেষ করে rational $x$-এর জন্যও — অর্থাৎ পুরো $\mathcal G_2\subseteq\sigma(\mathcal G_1)$, তাই $\sigma(\mathcal G_2)\subseteq\sigma(\mathcal G_1)$। ✓

ধাপ ২ — $\mathcal G_1\subseteq\sigma(\mathcal G_2)$: open interval গড়ি rational half-line থেকে। এটাই কৌশলী দিক, কারণ $\mathcal G_2$-এ প্রান্তবিন্দু কেবল rational, অথচ আমাদের যেকোনো বাস্তব প্রান্তের open interval দরকার। তিন ধাপে: - (i) দুই rational half-line-এর পার্থক্যে half-open interval। $p<q$ দুটো rational হলে $$ (p,q]\;=\;(-\infty,q]\setminus(-\infty,p]\;=\;(-\infty,q]\cap(-\infty,p]^c\;\in\;\sigma(\mathcal G_2) $$ (complement আর intersection — σ-algebra-অপারেশন)। তাই rational-প্রান্ত সব half-open interval $\sigma(\mathcal G_2)$-এ আছে। - (ii) যেকোনো বাস্তব-প্রান্ত open interval। এবার $a<b$ যেকোনো বাস্তব। rational সংখ্যা $\mathbb Q$ ঘন (dense) — তাই বাছা যায় rational-দের দুটো ক্রম $p_n\downarrow a$ (ডান দিক থেকে $a$-র দিকে নামছে, $p_n>a$) এবং $q_n\uparrow b$ (বাঁ দিক থেকে $b$-র দিকে উঠছে, $q_n<b$)। তখন $$ (a,b)\;=\;\bigcup_{n=1}^{\infty}(p_n,\;q_n]\;\in\;\sigma(\mathcal G_2), $$ কারণ প্রতিটি $(p_n,q_n]$ rational-প্রান্ত (ধাপ i থেকে $\sigma(\mathcal G_2)$-এ), আর তাদের গণনাযোগ্য union আবার $\sigma(\mathcal G_2)$-এ। (স্বজ্ঞা: rational-প্রান্ত ছোট ছোট টুকরো জোড়া দিয়ে বাস্তব-প্রান্ত খোলা ব্যবধানটা ভেতর থেকে পুরো ভরে ফেলা হলো; ডান প্রান্তে $q_n<b$ বলে শেষবিন্দু $b$ কখনো ঢোকে না, ঠিক যা open interval-এ চাই।)

কাজেই প্রতিটি $(a,b)\in\sigma(\mathcal G_2)$, অর্থাৎ $\mathcal G_1\subseteq\sigma(\mathcal G_2)$, তাই $\sigma(\mathcal G_1)\subseteq\sigma(\mathcal G_2)$। ✓

ধাপ ৩ — দুই দিক মিলিয়ে, এবং Borel-এর সাথে যোগ। ধাপ ১ ও ২ একসাথে দেয় $\sigma(\mathcal G_1)=\sigma(\mathcal G_2)$। আর এই অভিন্ন σ-algebra-টাই $\mathcal B(\mathbb R)$ — কারণ $\mathbb R$-এর প্রতিটি open set গণনাযোগ্য সংখ্যক open interval-এর union হিসেবে লেখা যায় (একটা আদর্শ topology-র ফল: যেমন rational-প্রান্ত open interval-গুলোর মধ্যে set-এর ভেতরে থাকা সবগুলোর union নিলেই হয়), তাই $\sigma(\mathcal G_1)$ সব open set ধারণ করে, ফলে $\mathcal B(\mathbb R)\subseteq\sigma(\mathcal G_1)$; আবার প্রতিটি open interval নিজেই একটা open set, তাই $\sigma(\mathcal G_1)\subseteq\mathcal B(\mathbb R)$। উপসংহার: $$ \boxed{\;\sigma({\text{open interval}})\;=\;\sigma\big({(-\infty,x]:x\in\mathbb Q}\big)\;=\;\mathcal B(\mathbb R)\;} $$

কী শিখলাম। একটা σ-algebra-র জেনারেটর একক নয় — চেহারায় খুব আলাদা দুটো family ($\mathbb R$-জুড়ে সব open interval বনাম শুধু rational-প্রান্ত বাঁ-দিকের half-line) হুবহু একই $\mathcal B(\mathbb R)$ জন্ম দেয়। দুই দিকের অন্তর্ভুক্তি দেখানোর আদর্শ কৌশল: এক family-র প্রতিটি set-কে অন্য family থেকে গণনাযোগ্য union/intersection/complement দিয়ে গড়া। বিশেষভাবে নজরে রাখার দুটো চাল — (i) বদ্ধ ও খোলা প্রান্ত একে অপরের থেকে $\bigcup(x-n,x)$ ও $\bigcap(x-\frac1n,x+\frac1n)$ দিয়ে পাওয়া যায়; (ii) $\mathbb Q$ ঘন বলেই rational প্রান্ত যথেষ্ট — গোটা বাস্তব $\mathbb R$ প্রান্ত লাগে না, যা generator-টাকে গণনাযোগ্য রাখে। এই শেষ তথ্যটা পরের uniqueness যুক্তির প্রাণ: কম, গণনাযোগ্য, π-system-জাতীয় জেনারেটরে কাজ সারা যায়।

উদাহরণ ৪ — measure-এর continuity (★★)¶

সেটআপ। একটা measure $\mu$-র সবচেয়ে কাজের ধর্ম হলো ধারাবাহিকতা (continuity) — set-এর একটা ক্রম যদি ক্রমে বড়/ছোট হয়ে একটা limit set-এ পৌঁছায়, তবে তাদের measure-ও সেই limit set-এর measure-এ পৌঁছায়। এটা limit আর measure হাত-বদলের অনুমতি দেয়, যা ছাড়া বাস্তবিক হিসাব অচল। এখানে Lebesgue measure $\lambda$ ($\mathbb R$-এ "দৈর্ঘ্য") দিয়ে দুটো রূপ দেখব — এবং একটা গোপন ফাঁদও।

নিচ থেকে ধারাবাহিকতা (continuity from below)। যদি set-গুলো ঊর্ধ্বমুখী হয়, $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\cdots$, এবং $A=\bigcup_n A_n$ (লিখি $A_n\uparrow A$), তবে $$ \mu(A_n)\;\uparrow\;\mu(A)\qquad\text{অর্থাৎ}\qquad \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu\Big(\bigcup_n A_n\Big). $$ (এই ধর্ম countable additivity থেকে সরাসরি আসে — disjoint টুকরো $A_n\setminus A_{n-1}$-গুলোয় ভেঙে যোগ করলেই হয়।)

ধাপ ১ — কংক্রিট ক্রম বাছি। নিই $$ A_n=\Big[\,0,\;1-\tfrac1n\,\Big],\qquad n=1,2,3,\dots $$ এরা সত্যিই ঊর্ধ্বমুখী ($1-\frac1n$ বাড়ছে বলে $A_n\subseteq A_{n+1}$), আর তাদের union $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}\Big[0,\;1-\tfrac1n\Big]\;=\;[0,1) $$ (ডান প্রান্ত $1-\frac1n$ যত খুশি $1$-এর কাছে যায় কিন্তু $1$ ছোঁয় না, তাই $1$ বাদে $[0,1)$-এর সব বিন্দু অবশেষে ঢোকে; $1$ কোনো $A_n$-এ নেই)।

ধাপ ২ — measure-গুলো কষি ও limit নিই। বদ্ধ ব্যবধানের দৈর্ঘ্য $\lambda([0,c])=c$, তাই $\lambda(A_n)=1-\frac1n$:

$n$	$A_n=[0,1-\tfrac1n]$	$\lambda(A_n)=1-\tfrac1n$
$1$	$[0,0]$	$0.0$
$2$	$[0,0.5]$	$0.5$
$5$	$[0,0.8]$	$0.8$
$100$	$[0,0.99]$	$0.99$

স্পষ্টতই $\lambda(A_n)=1-\frac1n\;\uparrow\;1$ যখন $n\to\infty$। অন্যদিকে limit set-এর measure: $\lambda([0,1))=1$ (একক বিন্দু $\{1\}$ বাদ দিলে দৈর্ঘ্য বদলায় না, কারণ $\lambda(\{1\})=0$)। দুটো মিলল: $$ \lim_{n\to\infty}\lambda(A_n)=1=\lambda\big([0,1)\big).\qquad ✓ $$ এটাই continuity-from-below-এর কংক্রিট রূপ।

ধাপ ৩ — উপর থেকে ধারাবাহিকতা, এবং তার গোপন শর্ত। উল্টো রূপ — অধোমুখী set $B_1\supseteq B_2\supseteq\cdots$, $B=\bigcap_n B_n$ ($B_n\downarrow B$) — বলে $\mu(B_n)\downarrow\mu(B)$। কিন্তু এখানে একটা অপরিহার্য সতর্কতা আছে, যা continuity-from-below-এ লাগে না। দেখি কেন, একটা প্রতিনিধি-উদাহরণ দিয়ে: $$ B_n=[\,n,\;\infty),\qquad n=1,2,3,\dots $$ এরা অধোমুখী ($[1,\infty)\supseteq[2,\infty)\supseteq\cdots$), আর তাদের ছেদ $$ \bigcap_{n=1}^{\infty}[n,\infty)=\emptyset $$ (যেকোনো বিন্দু $x$ একসময় $n>x$-এর পর আর কোনো $B_n$-এ থাকে না — কোনো বিন্দুই সব $B_n$-এ টেকে না)। এবার measure: $$ \lambda(B_n)=\lambda([n,\infty))=\infty \quad\text{সব } n\text{-এর জন্য},\qquad\text{কিন্তু}\qquad \lambda\Big(\bigcap_n B_n\Big)=\lambda(\emptyset)=0. $$ অর্থাৎ $\lim_n\lambda(B_n)=\infty\neq 0=\lambda(\bigcap_n B_n)$ — upper continuity ভেঙে গেল! দোষ measure-এর নয়, দোষ একটা অনুপস্থিত শর্তের: continuity-from-above খাটে কেবল যদি অন্তত একটা $B_{n_0}$-এর measure সসীম হয় ($\mu(B_{n_0})<\infty$)। এখানে সব $B_n$-এর measure $\infty$, তাই শর্ত ভাঙে আর উপপাদ্যও খাটে না। (নিচ থেকে ধারাবাহিকতায় এমন কোনো সসীমতা-শর্ত লাগে না — সেখানে measure বাড়ছে, $\infty$-তে গেলেও দুই পক্ষ $\infty$-তেই মেলে।)

একটা গভীর সংযোগ — additivity ⇔ continuity। একটা সসীম-যোগাত্মক (finitely additive) set-function $\mu$-র জন্য নিচের দুটো শর্ত আসলে সমতুল্য (equivalent): (i) $\mu$ গণনাযোগ্য-যোগাত্মক (countably additive, অর্থাৎ একটা সত্যিকার measure); (ii) $\mu$ নিচ থেকে ধারাবাহিক ($A_n\uparrow A\Rightarrow\mu(A_n)\uparrow\mu(A)$)। অর্থাৎ "limit আর measure হাত বদলায়" — এই ধারাবাহিকতাই countable additivity-র আরেক মুখ; একটা থাকলে অন্যটা আসে। (প্রমাণের কাঠামো: countable additivity ⇒ ধারাবাহিকতা পেতে disjoint টুকরো $A_n\setminus A_{n-1}$-এ ভাঙো; উল্টোদিকে ধারাবাহিকতা + সসীম-যোগাত্মকতা ⇒ গণনাযোগ্য union-কে আংশিক-union-এর ঊর্ধ্বমুখী limit ধরে গণনাযোগ্য additivity ফিরে পাও।)

কী শিখলাম। Measure-এর ধারাবাহিকতা হলো "set ক্রমে limit-এ গেলে measure-ও limit-এ যায়" — আর এটা নিছক একটা সুবিধা নয়, এটাই countable additivity-র সমার্থক (সসীম-যোগাত্মক $\mu$-র জন্য নিচ-থেকে-ধারাবাহিকতা ⇔ গণনাযোগ্য-যোগাত্মকতা)। নিচ থেকে ($A_n\uparrow$) সবসময় নিরাপদ: $\lambda([0,1-\frac1n])=1-\frac1n\uparrow 1=\lambda([0,1))$, টেবিলে $0.0,0.5,0.8,0.99\to1$। কিন্তু উপর থেকে ($B_n\downarrow$) একটা সসীমতা-শর্ত চায়: $B_n=[n,\infty)$-এর প্রতিটির measure $\infty$ অথচ ছেদ $\emptyset$ (measure $0$) — শর্ত ছাড়া উপপাদ্য ভাঙে। limit আর integral হাত-বদলের যেসব theorem পরে আসবে (Monotone/Dominated Convergence), তাদের গোড়ার সুরটা এখানেই বাজে।

উদাহরণ ৫ — counting ও Dirac measure (★)¶

সেটআপ। Lebesgue measure-ই একমাত্র measure নয়। এই উদাহরণে দুটো অতি সরল কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ measure কষব — counting measure (গণনা-পরিমাপ) ও Dirac measure (ডিরাক-পরিমাপ) — একটা সসীম set-এর উপর, এবং দেখাব যে 2.3-এর সব discrete distribution আসলে এই দুইয়ের ভাষায় লেখা যায়। এতে "probability distribution" আর "measure" — দুই ধারণা এক সুতোয় বাঁধা পড়বে।

কাজের জায়গা: $\Omega=\{1,2,3,4\}$, σ-algebra হিসেবে গোটা power set $\mathcal F=2^{\Omega}$ (সসীম set-এ এটাই স্বাভাবিক — প্রতিটি উপসেট measurable)।

ধারণা ১ — counting measure। সংজ্ঞা: $\mu_{\#}(A)=\lvert A\rvert$, অর্থাৎ $A$-তে যতগুলো বিন্দু, তত। এটা একটা measure: $\mu_{\#}(\emptyset)=0$, আর disjoint set-গুলোর বিন্দু-সংখ্যা যোগ হয় (গণনাযোগ্য additivity)। কয়েকটা মান: $$ \mu_{#}({1,2,3})=3,\qquad \mu_{#}({2,4})=2,\qquad \mu_{#}(\Omega)=4,\qquad \mu_{#}(\emptyset)=0. $$ (সতর্কতা: পুরো $\mathbb N$-এর মতো অসীম set-এ counting measure $\mu_{\#}(\mathbb N)=\infty$ — তাই এটা probability measure নয়, কেবল measure; সসীম $\Omega$-তে অবশ্য সব মান সসীম।)

ধারণা ২ — Dirac measure। একটা স্থির বিন্দু $x_0$-তে কেন্দ্রীভূত: $\delta_{x_0}(A)=\mathbf 1\{x_0\in A\}$ — অর্থাৎ $x_0\in A$ হলে $1$, নাহলে $0$। ($\mathbf 1_A$ হলো indicator / সূচক ফাংশন।) এটা একটা probability measure ($\delta_{x_0}(\Omega)=1$): যেন সমস্ত ভর একটিমাত্র বিন্দু $x_0$-তে জড়ো। এখানে $x_0=2$ ধরি ($\delta_2$): $$ \delta_2({2,4})=1\ (2\in{2,4}),\quad \delta_2({1,3})=0\ (2\notin{1,3}),\quad \delta_2({1,2,3})=1,\quad \delta_2(\Omega)=1,\quad \delta_2(\emptyset)=0. $$

পাশাপাশি রাখলে পার্থক্য পরিষ্কার — counting measure "ক'টা বিন্দু" গোনে, Dirac measure শুধু "আমার বিন্দুটা আছে কি নেই" দেখে:

set $A$	$\mu_{\#}(A)=\lvert A\rvert$	$\delta_2(A)=\mathbf 1\{2\in A\}$
$\emptyset$	$0$	$0$
$\{2\}$	$1$	$1$
$\{1,3\}$	$2$	$0$
$\{2,4\}$	$2$	$1$
$\{1,2,3\}$	$3$	$1$
$\Omega=\{1,2,3,4\}$	$4$	$1$

ধারণা ৩ — discrete pmf = Dirac-দের ভারিত যোগফল। এবার সংযোগ। 2.3-এর একটা discrete distribution ধরুন: বিন্দু $x_1,\dots,x_m$-এ ভর $p_1,\dots,p_m$ ($p_i\ge 0$, $\sum_i p_i=1$) — এটাই pmf (probability mass function)। দাবি: এই বণ্টন ঠিক একটা measure, যা Dirac measure-দের একটা ভারিত (weighted) যোগফল: $$ \boxed{\;\mathbb P \;=\; \sum_{i=1}^{m} p_i\,\delta_{x_i}\;}\qquad\text{অর্থাৎ}\qquad \mathbb P(A)=\sum_{i=1}^{m}p_i\,\delta_{x_i}(A)=\sum_{i:\,x_i\in A}p_i. $$ ব্যাখ্যা: ডানপাশটা ঠিক "$A$-তে যেসব ভর-বিন্দু পড়েছে তাদের $p_i$-গুলো যোগ করো" — যা pmf-এর সংজ্ঞা। আর measure-অক্ষগুলো খাটে কারণ Dirac-দের যেকোনো (অঋণাত্মক ভারের) যোগফল আবার measure, আর $\sum_i p_i=1$ বলে এটা probability measure।

ছোট সংখ্যাগত যাচাই। $\Omega=\{1,2,3,4\}$-এ যদি $p_1=0.1,p_2=0.4,p_3=0.3,p_4=0.2$ ($x_i=i$), তবে $$ \mathbb P=0.1\,\delta_1+0.4\,\delta_2+0.3\,\delta_3+0.2\,\delta_4. $$ যেমন $\mathbb P(\{2,4\})=0.4\,\delta_2(\{2,4\})+0.2\,\delta_4(\{2,4\})=0.4\cdot1+0.2\cdot1=0.6$ (বাকি দুই পদ $0$); $\mathbb P(\Omega)=0.1+0.4+0.3+0.2=1$ ✓। লক্ষ করুন uniform ($p_i=\tfrac14$ সবার) বণ্টনের ক্ষেত্রে $\mathbb P(A)=\tfrac14\lvert A\rvert=\tfrac14\mu_{\#}(A)$ — uniform discrete distribution হলো counting measure-কে $\lvert\Omega\rvert$ দিয়ে ভাগ করে normalize করা রূপ। দুই measure এখানে এক সুতোয়।

কী শিখলাম। 2.3-এর discrete distribution আর measure theory-র measure — এ দুটো আলাদা কিছু নয়: প্রতিটি pmf আসলে Dirac measure-দের ভারিত যোগফল $\sum_i p_i\delta_{x_i}$, যেখানে $\delta_{x_i}(A)=\mathbf 1\{x_i\in A\}$ একটা বিন্দুতে জমানো একক ভর। counting measure $\mu_{\#}(A)=\lvert A\rvert$ ($\mu_{\#}(\{1,2,3\})=3$) বিন্দু গোনে; Dirac $\delta_2$ শুধু "$2$ আছে কি না" দেখে; আর uniform pmf হলো counting measure-এর normalize করা সংস্করণ। এই দৃষ্টিভঙ্গিই Part VII-এর মূল একীকরণ — discrete sum, continuous integral, সব এক measure-তত্ত্বের ছাতার নিচে; পরে integration-এ $\int f\,d\mu$ লিখলে $\mu=\sum p_i\delta_{x_i}$ বসালে discrete প্রত্যাশা $\sum_i f(x_i)p_i$ আপনাআপনি বেরিয়ে আসবে।

উদাহরণ ৬ — π–λ uniqueness: measure interval-এ মিললেই Borel-এ মেলে (★★)¶

সেটআপ। এই অধ্যায়ের সবচেয়ে শক্তিশালী হাতিয়ারগুলোর একটা — π–λ theorem (Dynkin's theorem)-এর uniqueness ফল। প্রশ্নটা গভীর কিন্তু ব্যবহারিক: দুটো measure যদি একটা ছোট, সরল family-র উপর মিলে যায়, তবে কি তারা গোটা (অনেক বড়) σ-algebra-র উপরও মিলবে? উত্তর — হ্যাঁ, শর্তসাপেক্ষে, এবং এর সরাসরি ফল হলো পরিসংখ্যানের একটা ভিত্তিপ্রস্তর: CDF গোটা বণ্টন ঠিক করে দেয়।

দুটো পরিভাষা আগে: - π-system (পাই-সিস্টেম): এমন family $\mathcal P$ যা সসীম intersection-এ আবদ্ধ ($A,B\in\mathcal P\Rightarrow A\cap B\in\mathcal P$)। উদাহরণ: half-line-গুলোর family $\{(-\infty,x]:x\in\mathbb R\}$ একটা π-system, কারণ $(-\infty,x]\cap(-\infty,y]=(-\infty,\min(x,y)]$ আবার একই রূপের। - λ-system (ল্যাম্বডা-সিস্টেম / Dynkin system): এমন family যা $\Omega$ ধারণ করে, প্রকৃত-অন্তর্ভুক্তির পার্থক্যে ($A\subseteq B\Rightarrow B\setminus A$) আবদ্ধ, এবং ঊর্ধ্বমুখী গণনাযোগ্য union-এ আবদ্ধ।

π–λ theorem (Dynkin)। যদি একটা π-system $\mathcal P$ একটা λ-system $\mathcal L$-এর ভেতরে থাকে, তবে $\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal L$। (অর্থাৎ একটা π-system-কে ধারণকারী যেকোনো λ-system আস্ত generated σ-algebra-টাকেও ধারণ করে।)

এর uniqueness-রূপ — যা আমরা ব্যবহার করব। দুটো probability measure $\mathbb P$ ও $\mathbb Q$ যদি একটা π-system $\mathcal P$-র প্রতিটি set-এ একই মান দেয় ($\mathbb P(A)=\mathbb Q(A)$ সব $A\in\mathcal P$), এবং $\mathcal P$ গোটা σ-algebra জন্ম দেয় ($\sigma(\mathcal P)=\mathcal F$), তবে তারা পুরো $\mathcal F$-এ মিলে যায়: $\mathbb P=\mathbb Q$।

ধাপ ১ — কেন এটা π–λ থেকে আসে (কাঠামো)। যেখানে দুই measure মেলে সেই set-দের সংগ্রহ ধরি: $\mathcal L=\{A\in\mathcal F:\mathbb P(A)=\mathbb Q(A)\}$। এই $\mathcal L$ একটা λ-system — যাচাই: (i) $\Omega\in\mathcal L$ কারণ দুটোই probability measure, $\mathbb P(\Omega)=1=\mathbb Q(\Omega)$; (ii) $A\subseteq B$, দুটোতেই মিললে $\mathbb P(B\setminus A)=\mathbb P(B)-\mathbb P(A)=\mathbb Q(B)-\mathbb Q(A)=\mathbb Q(B\setminus A)$ (এখানে সসীম ভর বিয়োগ বৈধ — তাই probability/সসীম measure লাগে); (iii) $A_n\uparrow A$ হলে নিচ-থেকে-ধারাবাহিকতা (উদাহরণ ৪!) দিয়ে $\mathbb P(A)=\lim\mathbb P(A_n)=\lim\mathbb Q(A_n)=\mathbb Q(A)$, তাই $A\in\mathcal L$। এবার শর্তমতে আমাদের π-system $\mathcal P\subseteq\mathcal L$ (ওখানে তো দুই measure মেলে)। π–λ theorem তাই বলে $\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal L$ — কিন্তু $\sigma(\mathcal P)=\mathcal F$, কাজেই $\mathcal F\subseteq\mathcal L$, অর্থাৎ সব measurable set-এ $\mathbb P=\mathbb Q$। প্রমাণ শেষ।

ধাপ ২ — প্রয়োগ: CDF বণ্টন ঠিক করে দেয়। এবার আসল ফসল। $\mathbb R$-এ দুটো probability measure $\mathbb P,\mathbb Q$ নিন, যাদের CDF এক — অর্থাৎ $$ F_{\mathbb P}(x)=\mathbb P\big((-\infty,x]\big)\;=\;\mathbb Q\big((-\infty,x]\big)=F_{\mathbb Q}(x)\qquad\text{সব } x\in\mathbb R\text{-এর জন্য}. $$ লক্ষ করুন এখানে দুই measure মিলছে ঠিক half-line-দের family $\mathcal P=\{(-\infty,x]:x\in\mathbb R\}$-এর উপর — আর এটা একটা π-system (intersection-আবদ্ধ, উপরে দেখানো), এবং উদাহরণ ৩ থেকে জানি $\sigma(\mathcal P)=\mathcal B(\mathbb R)$ (rational প্রান্ত যথেষ্ট ছিল, পূর্ণ-বাস্তব প্রান্তে তো আরও সহজে)। π–λ uniqueness তাই সরাসরি দেয়: $$ F_{\mathbb P}=F_{\mathbb Q} \;\Longrightarrow\; \mathbb P=\mathbb Q \;\text{ গোটা } \mathcal B(\mathbb R)\text{-তে}. $$ অর্থাৎ একটা মাত্র এক-চলক ফাংশন — CDF $F(x)=\mathbb P((-\infty,x])$ — গোটা probability law-কে অনন্যভাবে (uniquely) নির্ধারণ করে দেয়; দুটো বণ্টনের CDF সব $x$-এ মিললে তারা প্রতিটি Borel set-এ একই সম্ভাবনা দেবে, কোনো ব্যতিক্রম নেই। এক কথায়: CDF-ই বণ্টনের সম্পূর্ণ পরিচয়পত্র। এজন্যই 2.x-এ আমরা নিশ্চিন্তে একটা distribution-কে তার CDF (বা density/pmf) দিয়ে সংজ্ঞা দিয়েছি — π–λ uniqueness গ্যারান্টি দেয় যে এতে কোনো তথ্য হারায় না, পুরো measure-টা ওই CDF-এ লুকিয়ে আছে।

কী শিখলাম। π–λ (Dynkin) theorem-এর uniqueness-রূপ একটা গভীর নীতি দেয়: দুটো probability measure যদি একটা π-system (intersection-আবদ্ধ ছোট family) যা গোটা σ-algebra জন্ম দেয় — তার উপর মিলে যায়, তবে তারা পুরো σ-algebra-তেও মেলে। আসল কৌশল: "যেখানে মেলে" সেই set-দের সংগ্রহ একটা λ-system হয় (এখানে গোপনে উদাহরণ ৪-এর ধারাবাহিকতা ও probability-র সসীম ভর কাজে লাগে), তাই π–λ theorem গোটা generated σ-algebra ঢেকে ফেলে। এর সবচেয়ে দামি প্রয়োগ — half-line-রা π-system ও Borel-জনক (উদাহরণ ৩) বলে CDF গোটা বণ্টন অনন্যভাবে ঠিক করে দেয়; দুই বণ্টনের CDF মিললে তারা প্রতিটি Borel set-এ অভিন্ন। এই একটা উপপাদ্যই গোটা পরিসংখ্যানকে CDF/density/pmf দিয়ে বণ্টন বর্ণনার অধিকার দেয় — অসীম-অনেক set-এর মান না মিলিয়েও একটিমাত্র ফাংশন মেলালেই চলে।

৪ · প্রমাণ ও উৎপাদন¶

এই অংশে chapter-এর সংজ্ঞাগুলো থেকে আমরা ধাপে ধাপে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলো উৎপাদন (derive) করব। প্রতিটি প্রমাণে কেবল তিন/চারটি মৌলিক স্বীকার্য (axiom) ব্যবহার করা হবে, এবং প্রতিটি লাইনে কোন স্বীকার্য বা পূর্ববর্তী ফল ব্যবহৃত হচ্ছে তা স্পষ্টভাবে বলা হবে। প্রতিটি প্রমাণের শিরোনামে কঠিনতা-চিহ্ন (difficulty tag) দেওয়া আছে:

★ — মৌলিক, প্রথম পাঠেই বোঝা উচিত।
★★ — মাঝারি, একটু কৌশল লাগে।
★★★ — গভীর, প্রথম পাঠে কিছু অংশ এড়িয়ে যাওয়া যায় (যথাস্থানে চিহ্নিত)।

স্মরণ করি, একটি σ-algebra $\mathcal F$ ($\Omega$-এর উপর) হলো $2^\Omega$-এর (সকল উপসেটের সংগ্রহ, power set) একটি উপসংগ্রহ যা তিনটি স্বীকার্য মেনে চলে:

(A1) $\Omega\in\mathcal F$ (সম্পূর্ণ সেট অন্তর্ভুক্ত);
(A2) $A\in\mathcal F\Rightarrow A^c\in\mathcal F$ (complement-এর অধীনে বদ্ধ, closed under complement; এখানে $A^c:=\Omega\setminus A$);
(A3) $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F\Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F$ (গণনাযোগ্য সংযোগ, countable union-এর অধীনে বদ্ধ)।

আর একটি measure $\mu:\mathcal F\to[0,\infty]$ হলো এমন ফাংশন যার জন্য $\mu(\emptyset)=0$ এবং যা countable additivity (গণনাযোগ্য যোগাত্মকতা) মেনে চলে: পরস্পর-বিচ্ছিন্ন (pairwise disjoint) $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F$-এর জন্য

\[ \mu\!\left(\bigsqcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n), \]

যেখানে $\bigsqcup$ চিহ্ন বিচ্ছিন্ন সংযোগ (disjoint union) বোঝায়।

প্রমাণ ১ — σ-algebra-র উদ্ভূত closure (★)¶

দাবি। তিনটি স্বীকার্য (A1)–(A3) থেকে নিম্নলিখিতগুলো স্বয়ংক্রিয়ভাবে পাওয়া যায়:

$\emptyset\in\mathcal F$;
$\mathcal F$ গণনাযোগ্য ছেদ (countable intersection)-এর অধীনে বদ্ধ;
$\mathcal F$ সেট-পার্থক্য (set difference) $A\setminus B$ ও symmetric difference $A\,\triangle\,B$-এর অধীনে বদ্ধ।

লক্ষণীয়, σ-algebra-র সংজ্ঞায় খালি সেট বা ছেদকে আলাদা করে স্বীকার্য হিসেবে রাখার দরকার নেই—এগুলো তিনটি স্বীকার্যের যৌক্তিক পরিণতি। তাই সংজ্ঞাটি যথাসম্ভব "মিতব্যয়ী" (parsimonious) রাখা হয়েছে।

ধাপ ১ — $\emptyset\in\mathcal F$. (A1) অনুসারে $\Omega\in\mathcal F$। (A2) অনুসারে $\Omega$-এর complement-ও $\mathcal F$-এ আছে। কিন্তু $\Omega^c=\Omega\setminus\Omega=\emptyset$। সুতরাং $\emptyset\in\mathcal F$। ∎(ধাপ ১)

ধাপ ২ — গণনাযোগ্য ছেদের অধীনে বদ্ধতা (via De Morgan). ধরা যাক $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F$; দেখাতে হবে $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F$।

মূল কৌশল হলো De Morgan-এর সূত্র, যা ছেদকে সংযোগে রূপান্তরিত করে:

\[ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^{\,c}\right)^{\!c}. \]

এই অভেদটি কেন সত্য তা যাচাই করি: কোনো বিন্দু $x$ বাঁ পাশে আছে ⟺ $x$ প্রতিটি $A_n$-এ আছে ⟺ কোনো $A_n$-এর বাইরে $x$ নেই ⟺ কোনো $A_n^{\,c}$-এ $x$ নেই ⟺ $x\notin\bigcup_n A_n^{\,c}$ ⟺ $x\in\bigl(\bigcup_n A_n^{\,c}\bigr)^c$। সুতরাং দুই পাশের সদস্যপদ অভিন্ন, অভেদ প্রতিষ্ঠিত।

এখন ধাপে ধাপে:

প্রতিটি $A_n\in\mathcal F$, তাই (A2) দ্বারা প্রতিটি $A_n^{\,c}\in\mathcal F$।
(A3) দ্বারা $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^{\,c}\in\mathcal F$ (গণনাযোগ্য সংযোগ)।
আবার (A2) দ্বারা এর complement, অর্থাৎ $\bigl(\bigcup_n A_n^{\,c}\bigr)^c\in\mathcal F$।
De Morgan অনুসারে এটাই $\bigcap_n A_n$।

সুতরাং $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F$। সসীম ছেদ (finite intersection) এর বিশেষ ক্ষেত্র: $A_1,\dots,A_m$-এর পরে $A_{m+1}=A_{m+2}=\cdots=\Omega$ ধরলে (যা (A1)-এ আছে) সংযোগ-ছেদ অপরিবর্তিত থাকে, তাই $\bigcap_{n=1}^{m}A_n\in\mathcal F$-ও পাওয়া যায়। ∎(ধাপ ২)

ধাপ ৩ — সেট-পার্থক্য $A\setminus B$. সংজ্ঞা থেকে $A\setminus B=A\cap B^c$ (যেসব বিন্দু $A$-তে আছে কিন্তু $B$-তে নেই)। ধরা যাক $A,B\in\mathcal F$।

(A2) দ্বারা $B^c\in\mathcal F$।
ধাপ ২-এর সসীম ছেদ অনুসারে $A\cap B^c\in\mathcal F$।

সুতরাং $A\setminus B\in\mathcal F$। ∎(ধাপ ৩)

ধাপ ৪ — symmetric difference $A\,\triangle\,B$. সংজ্ঞা: $A\,\triangle\,B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ (যেসব বিন্দু ঠিক একটিতে আছে)। ধরা যাক $A,B\in\mathcal F$।

ধাপ ৩ দ্বারা $A\setminus B\in\mathcal F$ এবং $B\setminus A\in\mathcal F$।
দুটি সেটের সংযোগও σ-algebra-তে থাকে: ধাপ ২-এর আলোচনার মতো $A_1=A\setminus B$, $A_2=B\setminus A$, $A_3=A_4=\cdots=\emptyset$ ধরে (A3) প্রয়োগ করলে $(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\in\mathcal F$।

সুতরাং $A\,\triangle\,B\in\mathcal F$। ∎

এক বাক্যে: তিনটি স্বীকার্য (পূর্ণ সেট, complement, গণনাযোগ্য সংযোগ) থেকেই খালি সেট, গণনাযোগ্য ছেদ এবং সব ধরনের সেট-পার্থক্যের অধীনে বদ্ধতা আপনাআপনি আসে, কারণ De Morgan ছেদকে সংযোগে অনুবাদ করে দেয়।

প্রমাণ ২ — $\sigma(\mathcal G)$ সুসংজ্ঞায়িত (★)¶

বাস্তবে আমরা প্রায়ই একটি সরল সংগ্রহ $\mathcal G$ (যেমন সব খোলা ব্যবধান, open interval) দিয়ে শুরু করে তার চারপাশে "সবচেয়ে ছোট" σ-algebra তৈরি করতে চাই—এটাই generated σ-algebra $\sigma(\mathcal G)$। কিন্তু "সবচেয়ে ছোট" বস্তুটি আদৌ আছে কিনা, তা প্রমাণ করা দরকার। এই প্রমাণে দুটি ধাপ:

ধাপ ১ — σ-algebra-দের যেকোনো ছেদ আবার σ-algebra.

দাবি। ধরা যাক $\{\mathcal F_i\}_{i\in I}$ হলো একই $\Omega$-এর উপর σ-algebra-দের একটি (যেকোনো আকারের, এমনকি অগণনীয় বা uncountable) পরিবার। তবে তাদের ছেদ

\[ \mathcal F^\ast:=\bigcap_{i\in I}\mathcal F_i=\{A\subseteq\Omega:\ A\in\mathcal F_i\ \text{প্রতিটি}\ i\in I\ \text{-এর জন্য}\} \]

একটি σ-algebra।

সংজ্ঞামতে $A\in\mathcal F^\ast$ মানে $A$ পরিবারের প্রতিটি সদস্যে আছে। এই "প্রতিটি"-শর্তই প্রমাণটিকে মসৃণ করে দেয়—তিনটি স্বীকার্য আলাদা আলাদাভাবে প্রতিটি $\mathcal F_i$-তে খাটে, তাই ছেদেও খাটে।

(A1) যাচাই। প্রতিটি $\mathcal F_i$ একটি σ-algebra, তাই $\Omega\in\mathcal F_i$ প্রতিটি $i$-র জন্য। সুতরাং $\Omega\in\bigcap_i\mathcal F_i=\mathcal F^\ast$।
(A2) যাচাই। ধরা যাক $A\in\mathcal F^\ast$। তবে প্রতিটি $i$-র জন্য $A\in\mathcal F_i$, আর $\mathcal F_i$ complement-বদ্ধ হওয়ায় $A^c\in\mathcal F_i$ প্রতিটি $i$-র জন্য। সুতরাং $A^c\in\mathcal F^\ast$।
(A3) যাচাই। ধরা যাক $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F^\ast$। কোনো নির্দিষ্ট $i$ স্থির করি: তখন প্রতিটি $A_n\in\mathcal F_i$, এবং $\mathcal F_i$ গণনাযোগ্য-সংযোগ-বদ্ধ হওয়ায় $\bigcup_n A_n\in\mathcal F_i$। এটা প্রতিটি $i$-র জন্য সত্য, কাজেই $\bigcup_n A_n\in\mathcal F^\ast$।

তিনটি স্বীকার্যই মেনে চলায় $\mathcal F^\ast$ একটি σ-algebra। ∎(ধাপ ১)

সতর্কতা। এই ফল সংযোগের (union) জন্য খাটে না: দুটি σ-algebra-র সংযোগ সাধারণত σ-algebra নয় (যেমন $\{\emptyset,\{a\},\{b,c\},\Omega\}$ ও $\{\emptyset,\{b\},\{a,c\},\Omega\}$-এর সংযোগে $\{a\}\cup\{b\}=\{a,b\}$ নেই)। তাই "সবচেয়ে ছোট" নির্মাণে ছেদই সঠিক হাতিয়ার।

ধাপ ২ — $\sigma(\mathcal G)$-এর সংজ্ঞা ও ন্যূনতমতা (minimality).

ধরা যাক $\mathcal G\subseteq 2^\Omega$ যেকোনো সংগ্রহ। সংজ্ঞায়িত করি

\[ \sigma(\mathcal G):=\bigcap\big\{\mathcal F:\ \mathcal F\ \text{σ-algebra এবং}\ \mathcal G\subseteq\mathcal F\big\}. \]

প্রথমেই নিশ্চিত হই, এই ছেদটি খালি ছেদ নয় (অর্থাৎ যে পরিবারের উপর ছেদ নিচ্ছি তা অশূন্য)। কারণ $2^\Omega$ নিজেই একটি σ-algebra (প্রতিটি স্বীকার্য তুচ্ছভাবে সত্য) এবং স্পষ্টতই $\mathcal G\subseteq 2^\Omega$। সুতরাং কমপক্ষে একটি $\mathcal F$ পরিবারে আছে; পরিবার অশূন্য, ছেদ সুসংজ্ঞায়িত।

ধাপ ১ অনুসারে এই ছেদ $\sigma(\mathcal G)$ নিজেই একটি σ-algebra। এখন দুটি ধর্ম দেখাই:

$\mathcal G\subseteq\sigma(\mathcal G)$. পরিবারের প্রতিটি $\mathcal F$ সংজ্ঞামতে $\mathcal G\supseteq$-শর্ত মানে, অর্থাৎ $\mathcal G\subseteq\mathcal F$। যেহেতু $\mathcal G$ প্রতিটি $\mathcal F$-এ আছে, ছেদেও আছে: $\mathcal G\subseteq\sigma(\mathcal G)$।
ন্যূনতমতা। ধরা যাক $\mathcal H$ যেকোনো σ-algebra যা $\mathcal G\supseteq$ ধারণ করে ($\mathcal G\subseteq\mathcal H$)। তবে $\mathcal H$ ওই পরিবারের একজন সদস্য, আর ছেদ সর্বদা তার যেকোনো সদস্যের উপসেট: $\sigma(\mathcal G)=\bigcap(\cdots)\subseteq\mathcal H$।

সুতরাং $\sigma(\mathcal G)$ হলো $\mathcal G$-ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-algebra: এটি নিজে একটি σ-algebra, $\mathcal G$ ধারণ করে, এবং অন্য যেকোনো $\mathcal G$-ধারণকারী σ-algebra-র ভেতরে অন্তর্ভুক্ত। ∎

বিশেষ ক্ষেত্রে $\Omega=\mathbb R$ এবং $\mathcal G=\{\text{সব খোলা ব্যবধান}\}$ নিলে আমরা পাই Borel σ-algebra $\mathcal B(\mathbb R)=\sigma(\mathcal G)$—বাস্তব রেখার "পরিমাপযোগ্য" জ্যামিতিক সেটগুলোর স্বাভাবিক সংগ্রহ।

এক বাক্যে: σ-algebra-দের যেকোনো ছেদ আবার σ-algebra হওয়ায়, $\mathcal G$-ধারণকারী সব σ-algebra-র ছেদ নিলে একমাত্র ক্ষুদ্রতম σ-algebra $\sigma(\mathcal G)$ পাওয়া যায়, আর $2^\Omega$-এর অস্তিত্ব নিশ্চিত করে ছেদটি কখনো খালি নয়।

প্রমাণ ৩ — measure-এর মৌলিক ধর্ম (★)¶

measure-এর সংজ্ঞায় কেবল $\mu(\emptyset)=0$ ও countable additivity আছে। এই দুটি থেকেই দৈনন্দিন সব "আয়তন-সদৃশ" (volume-like) ধর্ম বেরিয়ে আসে। ধরা যাক $\mu$ একটি measure যা σ-algebra $\mathcal F$-এর উপর সংজ্ঞায়িত।

ধাপ ১ — সসীম যোগাত্মকতা (finite additivity). ধরা যাক $A_1,\dots,A_m\in\mathcal F$ পরস্পর-বিচ্ছিন্ন। দাবি: $\mu\bigl(\bigsqcup_{n=1}^m A_n\bigr)=\sum_{n=1}^m\mu(A_n)$।

কৌশল: সসীম তালিকাকে অসীম তালিকায় পরিণত করি অতিরিক্ত খালি সেট জুড়ে। ধরি $A_{m+1}=A_{m+2}=\cdots=\emptyset$। এরা এখনো পরস্পর-বিচ্ছিন্ন (খালি সেট অন্য যেকোনো সেট থেকে বিচ্ছিন্ন)। countable additivity প্রয়োগ করি:

\[ \mu\!\left(\bigsqcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n). \]

বাঁ পাশে $\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n=\bigsqcup_{n=1}^m A_n$ (খালি সেট কিছু যোগ করে না)। ডান পাশে $n>m$-এর পদগুলো $\mu(\emptyset)=0$, তাই যোগফল $\sum_{n=1}^m\mu(A_n)$-এ সংকুচিত হয়। সমীকরণ মিলিয়ে দাবি প্রমাণিত। লক্ষণীয়, এখানেই $\mu(\emptyset)=0$ শর্তটি অপরিহার্য—না থাকলে অসীম তালিকায় অসীমসংখ্যক $\mu(\emptyset)$ যোগ হয়ে সব ভেঙে পড়ত। ∎(ধাপ ১)

ধাপ ২ — একঘাতিতা (monotonicity). দাবি: $A\subseteq B$ ($A,B\in\mathcal F$) হলে $\mu(A)\le\mu(B)$।

যেহেতু $A\subseteq B$, আমরা $B$-কে দুটি বিচ্ছিন্ন টুকরায় ভাঙতে পারি:

\[ B=A\ \sqcup\ (B\setminus A), \]

কারণ $A$ ও $B\setminus A$ পরস্পর-বিচ্ছিন্ন এবং তাদের সংযোগ $B$ (যাচাই: $A\subseteq B$ হওয়ায় $A\cup(B\setminus A)=B$)। উভয় টুকরো $\mathcal F$-এ আছে (প্রমাণ ১, ধাপ ৩ অনুসারে $B\setminus A\in\mathcal F$)। ধাপ ১-এর সসীম যোগাত্মকতা ($m=2$):

\[ \mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A). \]

এখন measure-এর মান সর্বদা $[0,\infty]$-এ, তাই $\mu(B\setminus A)\ge 0$। অতএব $\mu(B)\ge\mu(A)$। ∎(ধাপ ২)

উপ-ফল (subtractivity): যদি অতিরিক্তভাবে $\mu(A)<\infty$ হয়, তবে উপরের সমীকরণ থেকে $\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$ লেখা বৈধ। (অসীম হলে $\infty-\infty$ অসংজ্ঞায়িত, তাই সসীমতার শর্ত দরকার।)

ধাপ ৩ — গণনাযোগ্য উপ-যোগাত্মকতা (countable subadditivity). দাবি: যেকোনো (আবশ্যিকভাবে বিচ্ছিন্ন নয়) $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F$-এর জন্য

\[ \mu\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)\le\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n). \]

মূল কৌশল disjointification (বিচ্ছিন্নীকরণ): ওভারল্যাপ-করা সেটগুলোকে বিচ্ছিন্ন সেটে রূপান্তরিত করা, যাতে countable additivity খাটানো যায়। সংজ্ঞায়িত করি

\[ B_1:=A_1,\qquad B_n:=A_n\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\quad(n\ge 2). \]

অর্থাৎ $B_n$ হলো $A_n$-এর সেই অংশ যা আগের কোনো $A_k$-তে আগে দেখা যায়নি। এর তিনটি ধর্ম যাচাই করি:

$B_n\in\mathcal F$: $A_n$ ও $\bigcup_{k<n}A_k$ উভয়ে $\mathcal F$-এ আছে (সসীম সংযোগ), আর তাদের পার্থক্যও $\mathcal F$-এ (প্রমাণ ১, ধাপ ৩)।
পরস্পর-বিচ্ছিন্ন: ধরা যাক $m<n$। $B_n$ সংজ্ঞামতে $A_m$-কে বাদ দিয়েছে (যেহেতু $m<n$ অর্থে $A_m$ "আগের" সংযোগে আছে), আর $B_m\subseteq A_m$। তাই $B_n\cap B_m\subseteq B_n\cap A_m=\emptyset$। অর্থাৎ $\{B_n\}$ বিচ্ছিন্ন।
একই সংযোগ: $\bigcup_{n}B_n=\bigcup_n A_n$। কারণ একদিকে $B_n\subseteq A_n$ দেয় $\bigcup B_n\subseteq\bigcup A_n$; অন্যদিকে কোনো $x\in\bigcup A_n$ নিলে সর্বনিম্ন সূচক $n_0$ থাকে যেখানে $x\in A_{n_0}$, তখন $x$ আগের কোনো $A_k$-তে নেই, কাজেই $x\in B_{n_0}$।

এখন হিসাব:

\[ \mu\!\left(\bigcup_{n}A_n\right) =\mu\!\left(\bigsqcup_{n}B_n\right) \overset{\text{(addit.)}}{=}\sum_{n=1}^{\infty}\mu(B_n) \overset{\text{(monot.)}}{\le}\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n). \]

প্রথম সমতা ধর্ম ৩, দ্বিতীয় সমতা ধর্ম ১–২ (বিচ্ছিন্ন, তাই countable additivity), শেষ অসমতা ধর্ম "$B_n\subseteq A_n$" + একঘাতিতা (ধাপ ২)। ∎(ধাপ ৩)

ধাপ ৪ — অন্তর্ভুক্তি–বর্জন (inclusion–exclusion), সসীম-measure ক্ষেত্র। দাবি: $A,B\in\mathcal F$ এবং $\mu(A\cap B)<\infty$ হলে

\[ \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B). \]

$A\cup B$-কে তিনটি বিচ্ছিন্ন টুকরায় ভাঙি:

\[ A\cup B=(A\setminus B)\ \sqcup\ (A\cap B)\ \sqcup\ (B\setminus A). \]

(প্রতিটি বিন্দু ঠিক একটি টুকরায় পড়ে: কেবল-$A$, উভয়, কেবল-$B$।) তিনটি টুকরোই $\mathcal F$-এ। সসীম যোগাত্মকতা:

\[ \mu(A\cup B)=\mu(A\setminus B)+\mu(A\cap B)+\mu(B\setminus A).\tag{$\ast$} \]

একইভাবে $A=(A\setminus B)\sqcup(A\cap B)$ ও $B=(B\setminus A)\sqcup(A\cap B)$ দেয়

\[ \mu(A)=\mu(A\setminus B)+\mu(A\cap B),\qquad \mu(B)=\mu(B\setminus A)+\mu(A\cap B). \]

$\mu(A\cap B)<\infty$ হওয়ায় বিয়োগ বৈধ:

\[ \mu(A\setminus B)=\mu(A)-\mu(A\cap B),\qquad \mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A\cap B). \]

এ দুটি $(\ast)$-তে বসাই:

\[ \mu(A\cup B)=\bigl[\mu(A)-\mu(A\cap B)\bigr]+\mu(A\cap B)+\bigl[\mu(B)-\mu(A\cap B)\bigr] =\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B). \]

দাবি প্রমাণিত। (এখানে $\mu(A\cap B)$ একবার যোগ হয়ে দুবার বিয়োগ হওয়ায় কার্যত একবার বিয়োগ থাকে—দ্বিগুণ-গণনা সংশোধন, double-counting correction।) ∎

এক বাক্যে: $\mu(\emptyset)=0$ ও গণনাযোগ্য যোগাত্মকতা থেকেই সসীম যোগাত্মকতা, একঘাতিতা, উপ-যোগাত্মকতা (disjointification কৌশলে) ও অন্তর্ভুক্তি–বর্জন—সব "আয়তনের" চেনা ধর্ম যৌক্তিকভাবে নিঃসৃত হয়।

প্রমাণ ৪ — continuity from below ও above (★★)¶

measure-এর সবচেয়ে শক্তিশালী ধর্মগুলোর একটি হলো ধারাবাহিকতা (continuity): বর্ধমান বা হ্রাসমান সেট-অনুক্রমের সীমায় measure-ও সীমায় যায়। এটাই পরবর্তীতে monotone/dominated convergence theorem-এর বীজ। দুটি ক্ষেত্র আলাদাভাবে দেখি।

ধাপ ১ — নিচ থেকে ধারাবাহিকতা (continuity from below). দাবি। যদি $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\cdots$ (বর্ধমান, increasing) এবং $A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ (লেখা হয় $A_n\uparrow A$), তবে

\[ \mu(A_n)\xrightarrow{\ n\to\infty\ }\mu(A),\qquad\text{অর্থাৎ}\quad \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu\!\left(\bigcup_n A_n\right). \]

কৌশল: বর্ধমান অনুক্রমের "নতুন বলয়" (annulus/shell) নিয়ে একটি বিচ্ছিন্ন বিভাজন তৈরি করা—telescoping। সংজ্ঞায়িত করি ($A_0:=\emptyset$ ধরে)

\[ C_n:=A_n\setminus A_{n-1}\qquad(n\ge 1). \]

ধর্ম:

প্রতিটি $C_n\in\mathcal F$ (পার্থক্য, প্রমাণ ১)।
$\{C_n\}$ বিচ্ছিন্ন: $m<n$ হলে $C_m\subseteq A_m\subseteq A_{n-1}$, কিন্তু $C_n$ থেকে $A_{n-1}$ বাদ; তাই $C_m\cap C_n=\emptyset$। (এখানে বর্ধমানতা $A_m\subseteq A_{n-1}$ অপরিহার্য।)
আংশিক সংযোগ telescopes: $\bigsqcup_{k=1}^{n}C_k=A_n$ (প্রতিটি $C_k$ ঠিক $A_{k-1}$ থেকে $A_k$-এর "নতুন অংশ" জোড়ে; ক্রমান্বয়ে $A_1,A_2,\dots,A_n$ গড়ে ওঠে)। সীমায় $\bigsqcup_{k=1}^{\infty}C_k=\bigcup_n A_n=A$।

এখন countable additivity এবং তারপর সসীম যোগফলকে আংশিক-যোগফলের সীমা হিসেবে চিনি:

\[ \mu(A)=\mu\!\left(\bigsqcup_{k=1}^{\infty}C_k\right) =\sum_{k=1}^{\infty}\mu(C_k) =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\mu(C_k) =\lim_{n\to\infty}\mu\!\left(\bigsqcup_{k=1}^{n}C_k\right) =\lim_{n\to\infty}\mu(A_n). \]

তৃতীয় সমতা হলো অসীম শ্রেণির সংজ্ঞা (আংশিক যোগফলের সীমা); চতুর্থ সমতা সসীম যোগাত্মকতা (প্রমাণ ৩, ধাপ ১); পঞ্চম সমতা $\bigsqcup_{k=1}^n C_k=A_n$। ∎(ধাপ ১)

লক্ষণীয়, নিচ থেকে ধারাবাহিকতার জন্য কোনো সসীমতার শর্ত লাগে না—এমনকি $\mu(A)=\infty$ হলেও $\mu(A_n)\uparrow\infty$ ঠিকঠাক ধরে।

ধাপ ২ — উপর থেকে ধারাবাহিকতা (continuity from above). দাবি। যদি $A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\cdots$ (হ্রাসমান, decreasing), $A:=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$ (লেখা $A_n\downarrow A$), এবং $\mu(A_1)<\infty$, তবে

\[ \mu(A_n)\xrightarrow{\ n\to\infty\ }\mu(A). \]

কৌশল: $A_1$-এর ভেতরে complement নিয়ে হ্রাসমানকে বর্ধমানে উল্টে দিয়ে ধাপ ১ প্রয়োগ করা। সংজ্ঞায়িত করি (সব কিছু $A_1$-এর সাপেক্ষে)

\[ D_n:=A_1\setminus A_n. \]

যেহেতু $A_n$ হ্রাসমান, $A_1\setminus A_n$ বর্ধমান: $A_n\supseteq A_{n+1}\Rightarrow A_1\setminus A_n\subseteq A_1\setminus A_{n+1}$, অর্থাৎ $D_n\uparrow$। আর তাদের সংযোগ:

\[ \bigcup_{n} D_n=\bigcup_n (A_1\setminus A_n)=A_1\setminus\bigcap_n A_n=A_1\setminus A, \]

(De Morgan: $A_1$ থেকে প্রতিটি $A_n$ বাদ দেওয়ার সংযোগ = $A_1$ থেকে সবগুলোর ছেদ বাদ)। ধাপ ১ ($D_n\uparrow A_1\setminus A$) প্রয়োগ করি:

\[ \mu(A_1\setminus A)=\lim_{n\to\infty}\mu(D_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_1\setminus A_n). \]

এবার $\mu(A_1)<\infty$ শর্ত খাটাই। যেহেতু $A\subseteq A_1$ ও $A_n\subseteq A_1$, এবং $\mu(A_1)<\infty$ হওয়ায় একঘাতিতা দিয়ে $\mu(A),\mu(A_n)\le\mu(A_1)<\infty$—সব সসীম, তাই বিয়োগ বৈধ (প্রমাণ ৩, ধাপ ২-এর উপ-ফল):

\[ \mu(A_1\setminus A)=\mu(A_1)-\mu(A),\qquad \mu(A_1\setminus A_n)=\mu(A_1)-\mu(A_n). \]

উপরের সীমা-সমীকরণে বসাই:

\[ \mu(A_1)-\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\bigl[\mu(A_1)-\mu(A_n)\bigr]=\mu(A_1)-\lim_{n\to\infty}\mu(A_n). \]

দুই পাশ থেকে সসীম $\mu(A_1)$ বাদ দিয়ে $\mu(A)=\lim_n\mu(A_n)$। ∎(ধাপ ২)

ধাপ ৩ — সসীমতার শর্ত কেন অপরিহার্য: প্রতিউদাহরণ (counterexample). $\Omega=\mathbb R$, $\mu=\lambda$ (Lebesgue measure, দৈর্ঘ্য) ধরি। নিই

\[ A_n:=[n,\infty)\qquad(n=1,2,3,\dots). \]

এরা হ্রাসমান: $[1,\infty)\supseteq[2,\infty)\supseteq\cdots$। ছেদ:

\[ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcap_n[n,\infty)=\emptyset, \]

কারণ যেকোনো বাস্তব $x$-এর জন্য একটি $n>x$ আছে যেখানে $x\notin[n,\infty)$। সুতরাং $\mu(A)=\lambda(\emptyset)=0$। কিন্তু প্রতিটি $A_n$ অসীম দৈর্ঘ্যের: $\lambda([n,\infty))=\infty$ সব $n$-এর জন্য। তাই

\[ \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\lim_{n\to\infty}\infty=\infty\ \neq\ 0=\mu(A). \]

ধারাবাহিকতা ভেঙে পড়ল! কারণ এখানে $\mu(A_1)=\lambda([1,\infty))=\infty$, অর্থাৎ $\mu(A_1)<\infty$ শর্তটি লঙ্ঘিত। এই উদাহরণ দেখায়, উপর থেকে ধারাবাহিকতায় সসীমতার শর্ত নিছক সাজসজ্জা নয়—এটি ছাড়া ফলাফল মিথ্যা হয়ে যায়। ∎

এক বাক্যে: বর্ধমান সেটে measure শর্তহীনভাবে সীমায় যায় (telescoping + countable additivity); হ্রাসমান সেটে যায় কেবল যদি কোনো একটি সেটের measure সসীম হয়—নইলে $[n,\infty)\downarrow\emptyset$ অথচ measure $\infty$ থেকে যাওয়ার মতো ব্যতিক্রম ঘটে।

প্রমাণ ৫ — outer measure থেকে Carathéodory (★★★, কাঠামোবদ্ধ)¶

এ পর্যন্ত আমরা ধরে নিয়েছি measure আগে থেকেই কোনো σ-algebra-র উপর আছে। কিন্তু কোথা থেকে measure আসে? Lebesgue-এর মৌলিক ধারণা: প্রথমে প্রতিটি সেটের একটি "বাইরের আনুমানিক আয়তন" (outer measure) সংজ্ঞায়িত করো (যা সব সেটে কাজ করে কিন্তু পুরোপুরি যোগাত্মক নয়), তারপর Carathéodory-র মাপদণ্ড দিয়ে "ভালো" সেটগুলো ছেঁকে নাও—এই ভালো সেটগুলোই σ-algebra গড়ে আর তাদের উপর outer measure সত্যিকারের measure হয়ে ওঠে।

এই প্রমাণ গভীর (★★★)। প্রথম পাঠের পরামর্শ: সংজ্ঞা, দাবিগুলোর বিবৃতি, এবং ধাপ ১–২ পড়ুন; ধাপ ৩-এর প্রযুক্তিগত অসমতা-হিসাব (★★★ চিহ্নিত) প্রথমবার এড়িয়ে গিয়ে শেষের extension theorem-এর বিবৃতিতে চলে যান।

সংজ্ঞা ক — outer measure. একটি ফাংশন $\mu^*:2^\Omega\to[0,\infty]$-কে outer measure বলা হয় যদি:

(O1) $\mu^*(\emptyset)=0$;
(O2) একঘাতিতা: $A\subseteq B\Rightarrow\mu^*(A)\le\mu^*(B)$;
(O3) গণনাযোগ্য উপ-যোগাত্মকতা: $\mu^*\bigl(\bigcup_{n}A_n\bigr)\le\sum_{n}\mu^*(A_n)$ যেকোনো (যেকোনো) অনুক্রমের জন্য।

লক্ষণীয়, outer measure প্রতিটি উপসেটে সংজ্ঞায়িত (সমগ্র $2^\Omega$-এ), কিন্তু এটি কেবল উপ-যোগাত্মক—পূর্ণ যোগাত্মকতা নেই। সেটাই সমস্যা, আর Carathéodory সেই সমস্যার সমাধান।

সংজ্ঞা খ — Carathéodory-পরিমাপযোগ্যতা. একটি সেট $E\subseteq\Omega$-কে $\mu^*$-পরিমাপযোগ্য (measurable) বলা হয় যদি প্রতিটি "পরীক্ষক সেট" (test set) $A\subseteq\Omega$-এর জন্য

\[ \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c).\tag{Car} \]

স্বজ্ঞা: $E$ "ভালো" তখনই যখন সে যেকোনো সেট $A$-কে এমন পরিচ্ছন্নভাবে দুই ভাগে কাটে যে দুই টুকরোর outer measure ঠিক যোগ হয়—কোনো "ফাঁকফোকর" থাকে না। (O3) দ্বারা সর্বদা $\mu^*(A)\le\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)$ এমনিতেই সত্য; তাই (Car) যাচাইয়ে আসলে কেবল "≥" দিকটি ($\mu^*(A)\ge\cdots$) দেখালেই চলে। সংজ্ঞাটি $\mathcal M:=\{E:\ E\ \mu^*\text{-পরিমাপযোগ্য}\}$ সংগ্রহ গড়ে।

মূল উপপাদ্য (Carathéodory)। $\mathcal M$ একটি σ-algebra এবং $\mu^*\big\rvert_{\mathcal M}$ একটি (পূর্ণ যোগাত্মক) measure।

প্রমাণটি কয়েকটি লেমা (lemma)-য় ভাঙি।

লেমা ১ ($\star$) — $\mathcal M$ complement-বদ্ধ ও $\Omega\in\mathcal M$. সংজ্ঞা (Car)-তে $E$ ও $E^c$-এর ভূমিকা প্রতিসম (symmetric): $A\cap E$ ও $A\cap E^c$ পরস্পর বদলালে সমীকরণ অপরিবর্তিত। তাই $E\in\mathcal M\Leftrightarrow E^c\in\mathcal M$—complement-বদ্ধতা তাৎক্ষণিক। আর $E=\Omega$ নিলে $A\cap\Omega=A$, $A\cap\Omega^c=\emptyset$, এবং (O1) দ্বারা $\mu^*(A)=\mu^*(A)+0$—তুচ্ছভাবে সত্য, তাই $\Omega\in\mathcal M$ (এবং complement দিয়ে $\emptyset\in\mathcal M$)। ∎(লেমা ১)

লেমা ২ ($\star\star$) — সসীম সংযোগ-বদ্ধতা: $E,F\in\mathcal M\Rightarrow E\cup F\in\mathcal M$. যেকোনো test set $A$ নিই। $E\in\mathcal M$ ($A$-তে) ও $F\in\mathcal M$ ($A\cap E^c$-তে) ব্যবহার করে $A$-কে চারভাবে কাটি:

\[ \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) =\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c\cap F)+\mu^*(A\cap E^c\cap F^c). \]

(প্রথম সমতা $E$-পরিমাপযোগ্যতা; দ্বিতীয়টিতে $F$-পরিমাপযোগ্যতা test set $A\cap E^c$-এ প্রয়োগ।) এখন লক্ষ করি, সেট-বীজগণিতে

\[ (A\cap E)\ \cup\ (A\cap E^c\cap F)=A\cap(E\cup F), \]

কারণ $E\cup F$-এ থাকা মানে হয় $E$-তে, নয়তো ($E$-তে না থাকলে) $F$-তে। (O3) (উপ-যোগাত্মকতা, দুটি সেটে) দিয়ে প্রথম দুই পদের যোগ $\ge\mu^*\bigl(A\cap(E\cup F)\bigr)$:

\[ \mu^*(A)\ \ge\ \mu^*\bigl(A\cap(E\cup F)\bigr)+\mu^*\bigl(A\cap(E\cup F)^c\bigr), \]

যেখানে শেষ পদ $A\cap E^c\cap F^c=A\cap(E\cup F)^c$ (De Morgan)। এটাই (Car)-এর "≥" দিক $E\cup F$-এর জন্য; "≤" তো সর্বদা সত্য। সুতরাং $E\cup F\in\mathcal M$। আরোহ (induction) দিয়ে যেকোনো সসীম সংযোগ $E_1\cup\cdots\cup E_m\in\mathcal M$। complement-বদ্ধতা (লেমা ১) যোগে সসীম ছেদও $\mathcal M$-এ; অর্থাৎ $\mathcal M$ একটি algebra। ∎(লেমা ২)

লেমা ৩ ($\star\star$) — বিচ্ছিন্ন সেটে সসীম যোগাত্মকতা (test set সহ). ধরা যাক $E_1,\dots,E_m\in\mathcal M$ পরস্পর-বিচ্ছিন্ন। দাবি: যেকোনো $A$-এর জন্য

\[ \mu^*\!\Big(A\cap\bigsqcup_{j=1}^m E_j\Big)=\sum_{j=1}^m\mu^*(A\cap E_j). \]

আরোহ। $m=1$ তুচ্ছ। ধরি $m-1$ পর্যন্ত সত্য। $E_m\in\mathcal M$-কে test set $A\cap\bigsqcup_{j=1}^m E_j$-এ প্রয়োগ করি: যেহেতু $E$-রা বিচ্ছিন্ন, এই test set-কে $E_m$ দিয়ে কাটলে $E_m$-অংশ = $A\cap E_m$ এবং $E_m^c$-অংশ = $A\cap\bigsqcup_{j=1}^{m-1}E_j$। সুতরাং

\[ \mu^*\!\Big(A\cap\bigsqcup_{j=1}^m E_j\Big)=\mu^*(A\cap E_m)+\mu^*\!\Big(A\cap\bigsqcup_{j=1}^{m-1}E_j\Big) =\mu^*(A\cap E_m)+\sum_{j=1}^{m-1}\mu^*(A\cap E_j), \]

(শেষ ধাপে আরোহ-অনুমান)। যোগফল মিলিয়ে দাবি প্রমাণিত। $A=\Omega$ নিলে এটি $\mathcal M$-এ সাধারণ সসীম যোগাত্মকতা দেয়। ∎(লেমা ৩)

লেমা ৪ ($\star\star\star$, প্রথম পাঠে এড়ানো যায়) — গণনাযোগ্য সংযোগ-বদ্ধতা ও যোগাত্মকতা। এটাই গভীরতম ধাপ; এখানে সসীম থেকে গণনাযোগ্যে উত্তরণ ঘটে। ধরা যাক $E_1,E_2,\dots\in\mathcal M$। প্রথমে disjointification (প্রমাণ ৩-এর কৌশল) করে ধরে নিই এরা বিচ্ছিন্ন (পার্থক্য/সংযোগ algebra $\mathcal M$-এ থাকায় বৈধ); ধরি $E:=\bigsqcup_{n=1}^\infty E_n$, আর আংশিক সংযোগ $F_m:=\bigsqcup_{j=1}^m E_j\in\mathcal M$ (লেমা ২)।

যেকোনো test set $A$ নিই। $F_m\in\mathcal M$ এবং $E\supseteq F_m$ (তাই $E^c\subseteq F_m^c$, একঘাতিতা O2):

\[ \mu^*(A)=\mu^*(A\cap F_m)+\mu^*(A\cap F_m^c) \ \ge\ \sum_{j=1}^m\mu^*(A\cap E_j)+\mu^*(A\cap E^c). \]

প্রথম সমতা $F_m$-পরিমাপযোগ্যতা; প্রথম পদে লেমা ৩; দ্বিতীয় পদে $F_m^c\supseteq E^c$ + (O2)। এই অসমতা প্রতিটি $m$-এর জন্য সত্য, তাই $m\to\infty$ সীমা নিই (ডান পাশ বর্ধমান, সীমা বিদ্যমান):

\[ \mu^*(A)\ \ge\ \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(A\cap E_j)+\mu^*(A\cap E^c) \ \overset{(\text{O3})}{\ge}\ \mu^*\!\Big(A\cap\bigcup_j E_j\Big)+\mu^*(A\cap E^c) =\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c). \]

মাঝের অসমতায় (O3): $A\cap E=\bigcup_j(A\cap E_j)$ হওয়ায় শ্রেণিযোগফল $\ge\mu^*(A\cap E)$। এটাই (Car)-এর "≥" দিক $E$-এর জন্য; "≤" সর্বদা সত্য। সুতরাং $E\in\mathcal M$—গণনাযোগ্য সংযোগ-বদ্ধতা প্রমাণিত, এবং লেমা ১-এর complement-বদ্ধতা ও $\Omega\in\mathcal M$ যোগে $\mathcal M$ একটি σ-algebra।

যোগাত্মকতা। উপরের শেষ-আগের লাইনে $A:=E$ বসাই ($A\cap E^c=\emptyset$, $\mu^*(\emptyset)=0$):

\[ \mu^*(E)\ \ge\ \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E\cap E_j)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E_j), \]

(যেহেতু $E_j\subseteq E$ দেয় $E\cap E_j=E_j$)। আর (O3) দেয় বিপরীত অসমতা $\mu^*(E)\le\sum_j\mu^*(E_j)$। দুই অসমতা মিলে

\[ \mu^*\!\Big(\bigsqcup_{j=1}^\infty E_j\Big)=\sum_{j=1}^\infty\mu^*(E_j). \]

অর্থাৎ $\mu^*\big\rvert_{\mathcal M}$ গণনাযোগ্যভাবে যোগাত্মক, এবং $\mu^*(\emptyset)=0$—তাই এটি একটি measure। ∎(মূল উপপাদ্য)

অতিরিক্ত: এভাবে পাওয়া measure সর্বদা পূর্ণ (complete)—অর্থাৎ যেকোনো $\mu^*$-শূন্য সেটের প্রতিটি উপসেটও $\mathcal M$-এ ও measure-শূন্য (test set-হিসাবে O2 প্রয়োগেই (Car) মেলে)। এটি Lebesgue measure-এর একটি কাঙ্ক্ষিত ধর্ম।

Carathéodory extension theorem (বিবৃতি)। ধরা যাক $\mathcal A\subseteq 2^\Omega$ একটি algebra (সসীম সংযোগ/complement-বদ্ধ, σ লাগে না) এবং $\mu_0:\mathcal A\to[0,\infty]$ একটি premeasure (পূর্ব-measure): $\mu_0(\emptyset)=0$ এবং $\mathcal A$-এর ভেতরে যেসব বিচ্ছিন্ন অনুক্রমের সংযোগ $\mathcal A$-তেই থাকে, তাদের উপর গণনাযোগ্যভাবে যোগাত্মক। তবে:

$\mu_0$-কে $\sigma(\mathcal A)$-এর উপর একটি measure $\mu$-তে সম্প্রসারিত করা যায় ($\mu\big\rvert_{\mathcal A}=\mu_0$)। নির্মাণটি ঠিক উপরের পথেই: প্রথমে outer measure

\[ \mu^*(A):=\inf\Big\{\sum_{n=1}^\infty\mu_0(B_n):\ B_n\in\mathcal A,\ A\subseteq\bigcup_n B_n\Big\} \]

সংজ্ঞায়িত করো (cover দিয়ে আবরণ), দেখাও এটি (O1)–(O3) মানে এবং $\mathcal A$-এ $\mu_0$-র সাথে মেলে; তারপর Carathéodory ছাঁকনি $\mathcal M\supseteq\sigma(\mathcal A)$ দেয় ও $\mu:=\mu^*\big\rvert_{\mathcal M}$ চাওয়া measure। 2. যদি $\mu_0$ σ-finite হয় ($\Omega=\bigcup_n\Omega_n$, $\Omega_n\in\mathcal A$, $\mu_0(\Omega_n)<\infty$), তবে এই সম্প্রসারণ $\sigma(\mathcal A)$-এ একমাত্র (unique)—এর প্রমাণ পরবর্তী প্রমাণ ৬-এর π–λ উপায়ে।

Lebesgue measure এই পথেই জন্মায়। $\Omega=\mathbb R$ নাও; $\mathcal A=$ সসীম-সংখ্যক half-open ব্যবধান $(a,b]$-এর বিচ্ছিন্ন সংযোগের সংগ্রহ (এটি একটি algebra)। premeasure হিসেবে দৈর্ঘ্য:

\[ \mu_0\big((a,b]\big)=b-a, \]

আর বিচ্ছিন্ন সংযোগে দৈর্ঘ্যের যোগফল। এই $\mu_0$ একটি বৈধ premeasure (গণনাযোগ্য যোগাত্মকতা যাচাইয়ে compactness-ভিত্তিক একটি সূক্ষ্ম যুক্তি লাগে—Heine–Borel)। Carathéodory প্রয়োগ করলে $\sigma(\mathcal A)=\mathcal B(\mathbb R)$ (Borel সেট) এমনকি আরও বড় $\mathcal M$ (Lebesgue-measurable সেট)-এর উপর Lebesgue measure $\lambda$ পাওয়া যায়, যেখানে

\[ \lambda([a,b])=b-a, \]

(একক বিন্দুর measure $0$ হওয়ায় $(a,b],[a,b],(a,b)$ সবেরই দৈর্ঘ্য $b-a$)। আর স্থানান্তর-নিরপেক্ষতা (translation invariance): যেকোনো $x\in\mathbb R$ ও measurable $E$-এর জন্য

\[ \lambda(E+x)=\lambda(E),\qquad E+x:=\{e+x:\ e\in E\}, \]

কারণ আবরণ-দৈর্ঘ্যের inf স্থানান্তরে অপরিবর্তিত ($(a,b]+x=(a+x,b+x]$, দৈর্ঘ্য একই)। এটাই $\mathbb R$-এ "আয়তন"-এর স্বাভাবিকতম measure।

এক বাক্যে: যেকোনো outer measure-এর জন্য Carathéodory-র দ্বিখণ্ডন-মাপদণ্ড যেসব সেট মেনে চলে তারা σ-algebra গড়ে আর তাদের উপর outer measure সত্যিকারের (পূর্ণ) measure হয়ে ওঠে; algebra-র উপর একটি premeasure (যেমন ব্যবধানের দৈর্ঘ্য) এ পথেই $\sigma(\mathcal A)$-জুড়ে সম্প্রসারিত হয়ে Lebesgue measure-কে জন্ম দেয়।

প্রমাণ ৬ — Dynkin π–λ ও uniqueness (★★★)¶

extension theorem সম্প্রসারণের অস্তিত্ব দেয়; কিন্তু সম্প্রসারণ একমাত্র কিনা? আর দুটি measure যদি কেবল একটি ছোট, সরল সংগ্রহে (যেমন সব $(-\infty,x]$) মিলে যায়, তবে তারা কি গোটা σ-algebra-জুড়েই মিলবে? এই "একতা" (uniqueness) প্রশ্নের আদর্শ হাতিয়ার Dynkin-এর π–λ উপপাদ্য। এটি ★★★, তবে প্রয়োগটি (CDF আইন নির্ধারণ করে) অসাধারণ গুরুত্বপূর্ণ।

সংজ্ঞা ক — π-system. সংগ্রহ $\mathcal P\subseteq 2^\Omega$ একটি π-system যদি তা সসীম ছেদ-বদ্ধ হয়: $A,B\in\mathcal P\Rightarrow A\cap B\in\mathcal P$। (উদাহরণ: $\{(-\infty,x]:\ x\in\mathbb R\}$, কারণ $(-\infty,x]\cap(-\infty,y]=(-\infty,\min(x,y)]$।)

সংজ্ঞা খ — λ-system (Dynkin system). সংগ্রহ $\mathcal L\subseteq 2^\Omega$ একটি λ-system যদি:

(L1) $\Omega\in\mathcal L$;
(L2) আপেক্ষিক complement: $A,B\in\mathcal L$ ও $A\subseteq B\Rightarrow B\setminus A\in\mathcal L$;
(L3) বর্ধমান সীমা: $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ সবাই $\mathcal L$-এ হলে $\bigcup_n A_n\in\mathcal L$।

λ-system σ-algebra-র চেয়ে দুর্বল—সংযোগ কেবল বর্ধমান ক্ষেত্রে, আর complement কেবল আপেক্ষিক। কিন্তু একটি মূল সম্পর্ক আছে:

সহজ পর্যবেক্ষণ: একটি সংগ্রহ একই সঙ্গে π-system এবং λ-system হলে সেটি σ-algebra। (যাচাই: (L1) দেয় (A1); $A\in\mathcal L\Rightarrow A^c=\Omega\setminus A\in\mathcal L$ দেয় (A2); দুই সেটের সংযোগ $A\cup B=(A^c\cap B^c)^c$—π-system দিয়ে ছেদ, λ দিয়ে complement; তারপর বর্ধমান-সীমা (L3) সসীম সংযোগকে গণনাযোগ্য সংযোগে তোলে, দেয় (A3)।)

Dynkin-এর π–λ উপপাদ্য (বিবৃতি)। যদি $\mathcal P$ একটি π-system এবং $\mathcal L$ একটি λ-system হয় এবং $\mathcal P\subseteq\mathcal L$, তবে

\[ \sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal L. \]

অর্থাৎ, π-system-কে ঘিরে যত ছোট σ-algebra তৈরি হয়, একটি λ-system সেই পুরোটাকেই গিলে ফেলে—শুধু π-system-টুকু ধারণ করলেই যথেষ্ট। (প্রমাণ: ন্যূনতম λ-system $\ell(\mathcal P)$ নিয়ে দেখানো হয় সেটি আসলে π-system-ও, তাই σ-algebra; এখানে বিবৃতি হিসেবেই ধরছি, ★★★ প্রমাণ মূল রেফারেন্সে।)

এই বিমূর্ত যন্ত্রটির আসল শক্তি নিচের uniqueness corollary-তে।

uniqueness corollary (প্রমাণ). দাবি। ধরা যাক $\mu,\nu$ দুটি measure σ-algebra $\mathcal F=\sigma(\mathcal P)$-এর উপর, যেখানে $\mathcal P$ একটি π-system। যদি

(i) $\mu(A)=\nu(A)$ প্রতিটি $A\in\mathcal P$-এর জন্য, এবং
(ii) $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty$ (সসীম ক্ষেত্র),

তবে $\mu=\nu$ গোটা $\mathcal F$-জুড়ে।

নির্মাণ। "যেখানে দুই measure মেলে" সেই সংগ্রহটি দেখি:

\[ \mathcal D:=\{A\in\mathcal F:\ \mu(A)=\nu(A)\}. \]

দেখাব $\mathcal D$ একটি λ-system এবং $\mathcal P\subseteq\mathcal D$; তখন Dynkin দেয় $\mathcal F=\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal D\subseteq\mathcal F$, অর্থাৎ $\mathcal D=\mathcal F$—সর্বত্র মিল।

$\mathcal P\subseteq\mathcal D$: এটাই অনুমান (i)।

(L1) $\Omega\in\mathcal D$: অনুমান (ii) দেয় $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)$, তাই $\Omega\in\mathcal D$।

(L2) আপেক্ষিক complement: ধরা যাক $A,B\in\mathcal D$ ও $A\subseteq B$। যেহেতু সব measure সসীম ($\le\mu(\Omega)<\infty$, একঘাতিতা), বিয়োগ বৈধ (প্রমাণ ৩):

\[ \mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)=\nu(B)-\nu(A)=\nu(B\setminus A), \]

(মাঝের সমতা $A,B\in\mathcal D$)। তাই $B\setminus A\in\mathcal D$। এখানেই সসীমতা অপরিহার্য—অসীম হলে $\mu(B)-\mu(A)$ অর্থহীন।

(L3) বর্ধমান সীমা: ধরা যাক $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ সবাই $\mathcal D$-এ, $A:=\bigcup_n A_n$। নিচ থেকে ধারাবাহিকতা (প্রমাণ ৪, ধাপ ১—কোনো সসীমতা লাগে না) উভয় measure-এ:

\[ \mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\lim_{n\to\infty}\nu(A_n)=\nu(A), \]

(মাঝের সমতা প্রতিটি $A_n\in\mathcal D$)। তাই $A\in\mathcal D$।

তিনটি স্বীকার্য মেনে চলায় $\mathcal D$ একটি λ-system, আর $\mathcal P\subseteq\mathcal D$। Dynkin π–λ:

\[ \mathcal F=\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal D. \]

কিন্তু সংজ্ঞামতে $\mathcal D\subseteq\mathcal F$। সুতরাং $\mathcal D=\mathcal F$, অর্থাৎ $\mu(A)=\nu(A)$ প্রতিটি $A\in\mathcal F$-এর জন্য। ∎

σ-finite-এ সম্প্রসারণ (টীকা)। $\mu,\nu$ অসীম হলেও যদি σ-finite হয়—অর্থাৎ π-system-এর ভেতরে $\Omega_k\uparrow\Omega$ আছে যেখানে $\mu(\Omega_k)=\nu(\Omega_k)<\infty$—তবে প্রতিটি $\Omega_k$-এ উপরের সসীম-যুক্তি খাটিয়ে $\mu(\cdot\cap\Omega_k)=\nu(\cdot\cap\Omega_k)$ পাওয়া যায়, তারপর $k\to\infty$-এ নিচ থেকে ধারাবাহিকতা দিয়ে $\mu=\nu$। (এ কারণেই extension theorem-এ σ-finiteness uniqueness-এর শর্ত।)

প্রয়োগ — CDF আইন (law) নির্ধারণ করে। $\Omega=\mathbb R$, $\mathcal F=\mathcal B(\mathbb R)$ নিই। সংগ্রহ $\mathcal P=\{(-\infty,x]:\ x\in\mathbb R\}$ একটি π-system (উপরে দেখানো) এবং $\sigma(\mathcal P)=\mathcal B(\mathbb R)$ (এই অর্ধরেখাগুলো থেকেই সব Borel সেট গঠিত)। কোনো random variable $X$-এর distribution (আইন) হলো probability measure $P_X(B)=\Pr(X\in B)$, আর তার CDF (cumulative distribution function):

\[ F_X(x)=\Pr(X\le x)=P_X\big((-\infty,x]\big). \]

ধরা যাক দুটি random variable-এর CDF অভিন্ন: $F_X=F_Y$। তবে $P_X$ ও $P_Y$ দুটিই probability measure (তাই $P_X(\mathbb R)=P_Y(\mathbb R)=1<\infty$, শর্ত (ii) মেলে) এবং π-system $\mathcal P$-এ মেলে (শর্ত (i): $P_X((-\infty,x])=F_X(x)=F_Y(x)=P_Y((-\infty,x])$)। uniqueness corollary প্রয়োগ করলে

\[ P_X(B)=P_Y(B)\qquad\text{প্রতিটি}\ B\in\mathcal B(\mathbb R)\ \text{-এর জন্য}, \]

অর্থাৎ দুটি random variable-এর CDF এক হলে তাদের গোটা probability law-ই অভিন্ন। এটাই কেন পরিসংখ্যানে CDF-কে একটি বণ্টনের পূর্ণ পরিচয়পত্র ধরা হয়—একটি ছোট অর্ধরেখা-পরিবারে মিল গোটা Borel σ-algebra-জুড়ে মিল নিশ্চিত করে। ∎

এক বাক্যে: "যেখানে দুই measure মেলে" সেই সংগ্রহটি সর্বদা λ-system, তাই (Dynkin দিয়ে) একটি π-system-এ মিললেই গোটা $\sigma(\mathcal P)$-জুড়ে মিল—এজন্যই CDF একটি random variable-এর সম্পূর্ণ আইন একক-অর্থে নির্ধারণ করে।

৫ · কোড ল্যাব (Python)¶

এতক্ষণ যে যন্ত্রপাতি গড়লাম — σ-algebra (σ-বীজগণিত), measure (পরিমাপ), continuity, আর Lebesgue/outer measure — সবই কাগজে বিমূর্ত (abstract)। কিন্তু এদের একটা চমৎকার গুণ আছে: finite Ω-এর উপর σ-algebra কেবল গোনার (counting) ব্যাপার, আর measure-এর ধারাবাহিকতা ও Lebesgue measure কেবল গড় নেওয়ার ব্যাপার। এই ল্যাবে তাই প্রতিটা মূল দাবিকে কম্পিউটারকে দিয়ে গুনিয়ে ও যাচাই করিয়ে নেব — তত্ত্বের সংখ্যা স্ক্রিনে ফুটে উঠবে।

কী কী computationally যাচাই করব, এক নজরে:

σ-algebra closure generator। finite Ω-এর উপর subset-গুলোকে frozenset হিসেবে ধরে, generator থেকে শুরু করে complement আর pairwise union-এ বারবার বন্ধ (close) করি যতক্ষণ না family আর বাড়ে। যাচাই: $\lvert\sigma(\{A\})\rvert=4$, $\lvert\sigma(\{A,B\})\rvert=16$, আর $\sigma(\{A,B\})$-এর $4$টা atom।
σ-algebra axiom checker। একটা family সত্যিই σ-algebra কিনা পরীক্ষা — তিনটে axiom (Ω আছে কি, complement-বন্ধ কি, union-বন্ধ কি)। valid family-তে PASS, একটা union-হারানো family-তে FAIL, আর কোন axiom ভাঙল তা ছাপাই।
measure-এর নিচ থেকে ধারাবাহিকতা (continuity from below)। $\lambda([0,1-1/n])=1-1/n$-কে $n=1,2,5,100$-এ ছকে সাজিয়ে limit $1$ দেখাই; বিপরীতে উপর থেকে ধারাবাহিকতার (from above) সতর্কবার্তা $\lambda([n,\infty))=\infty$ বলি।
Monte-Carlo Lebesgue measure। একটা Borel set $B=[0,\tfrac13]\cup[\tfrac12,1]$-এর measure আনুমানিক করি $10^6$ uniform বিন্দুর indicator-গড় দিয়ে → $0.8335$ (সত্যি মান $0.8333=\tfrac56$)।
pmf থেকে measure — counting ও Dirac। subset-এর উপর function হিসেবে counting measure আর Dirac measure সংজ্ঞায়িত করে দুটো disjoint set-এ finite additivity সংখ্যায় যাচাই করি।

স্ক্রিপ্টের কাঠামো¶

পুরো ল্যাবটা একটাই runnable স্ক্রিপ্ট — _code/lab_7-2.py — পাঁচটা ব্যাখ্যাযুক্ত অংশে ভাগ করা। নির্ভরতা শুধু numpy আর standard library-র itertools (subset-জোড়ার উপর iterate করতে)। প্রতিটা অংশ একটা function:

অংশ	function	কী দেখায়	মূল ধারণা
১	`sigma_algebra()`	generator থেকে σ-algebra গড়ে $4$ ও $16$ সংখ্যা	closure
২	`is_sigma_algebra()`	valid → PASS, union-হারানো → FAIL	axiom
৩	`part3_continuity()`	$1-1/n\to 1$, আর from-above ভাঙে	continuity
৪	`part4_monte_carlo()`	indicator-গড় $=$ measure $=0.8335$	Lebesgue দৃষ্টি
৫	`part5_measures_from_pmf()`	counting/Dirac additive	measure

Monte-Carlo অংশের randomness reproducible রাখতে seed বাঁধা: np.random.default_rng(20260619)। নিচের প্রতিটা output block স্ক্রিপ্টটা সত্যিই চালিয়ে পাওয়া আসল stdout — নিজের মেশিনে python3 lab_7-2.py চালালে অবিকল এই সংখ্যাগুলোই পাওয়া যাবে।

import itertools
import numpy as np


def banner(title):
    line = "=" * 64
    print(line)
    print(title)
    print(line)


def show_set(s):
    """frozenset-কে সাজানো {...} string হিসেবে ছাপায়।"""
    if not s:
        return "{}"
    return "{" + ",".join(str(x) for x in sorted(s)) + "}"

৫.১ · σ-algebra closure — generator থেকে গড়ে তোলা¶

σ-algebra-র সংজ্ঞা বলে: একটা generator-সংগ্রহ (এখানে $\{A\}$ বা $\{A,B\}$) থেকে শুরু করলে, সবচেয়ে ছোট σ-algebra $\sigma(\cdot)$ পাওয়া যায় ওই সংগ্রহকে complement আর countable union-এর অধীনে বন্ধ করলে। কিন্তু finite Ω-তে একটা সরল সত্য কাজে লাগানো যায়: এখানে subset-ই তো সসীম সংখ্যক, তাই countable union আর pairwise union-এ কোনো ফারাক নেই — pairwise union-এ বন্ধ করলেই সব finite (এবং তাই এখানে সব countable) union আপনা-আপনি ভেতরে এসে যায়। সুতরাং algorithm-টা হলো একটা fixed-point iteration (স্থির-বিন্দু পুনরাবৃত্তি): $\{\varnothing,\Omega\}$ আর generator দিয়ে শুরু করো, তারপর বারবার complement আর pairwise union যোগ করতে থাকো যতক্ষণ না family একটুও বাড়ে।

subset-গুলোকে Python frozenset হিসেবে ধরছি (hashable, তাই set-এর ভেতরে রাখা যায়, ডুপ্লিকেট নিজে থেকেই বাদ পড়ে)। নিই $\Omega=\{0,\dots,7\}$, $A=\{0,1,2,3\}$, $B=\{2,3,4,5\}$।

atoms_of function-টা σ-algebra-র atom (পরমাণু) বের করে: atom হলো এমন ক্ষুদ্রতম অশূন্য সদস্য যাকে আর ভাঙা যায় না। কৌশলটা সরল — দুটো বিন্দু একই atom-এ থাকে যদি-ই σ-algebra-র প্রতিটা set হয় দুজনকেই ধরে নয় কাউকেই ধরে না (অর্থাৎ তাদের "signature" এক)। finite σ-algebra-র সদস্যসংখ্যা সবসময় $2^{(\text{atom-সংখ্যা})}$, তাই atom গুনলেই মোট সংখ্যা মিলিয়ে নেওয়া যায়।

def sigma_algebra(omega, generators):
    """finite `omega`-র উপর `generators`-ধারী ক্ষুদ্রতম σ-algebra।
    {∅, Ω} + generator দিয়ে শুরু; বারবার complement ও pairwise
    union যোগ করি যতক্ষণ family স্থির (fixed point) না হয়।"""
    omega = frozenset(omega)
    fam = {frozenset(), omega}
    for g in generators:
        fam.add(frozenset(g))

    changed = True
    while changed:
        changed = False
        current = list(fam)
        for s in current:                       # complement-এ বন্ধ
            comp = omega - s
            if comp not in fam:
                fam.add(comp); changed = True
        for s, t in itertools.combinations(current, 2):   # pairwise union
            u = s | t
            if u not in fam:
                fam.add(u); changed = True
    return fam


def atoms_of(sigma, omega):
    """finite σ-algebra-র atom: signature এক হলে একই atom।"""
    omega = frozenset(omega)
    order = sorted(sigma, key=lambda z: (len(z), sorted(z)))
    rep = {}
    for x in sorted(omega):
        signature = tuple(x in s for s in order)
        rep.setdefault(signature, set()).add(x)
    return [frozenset(v) for v in rep.values()]


def part1_closure():
    banner("PART 1 : sigma-algebra closure generator on finite Omega")
    Omega = frozenset(range(8))
    A = frozenset({0, 1, 2, 3})
    B = frozenset({2, 3, 4, 5})
    print(f"  Omega = {show_set(Omega)}")
    print(f"  A     = {show_set(A)}")
    print(f"  B     = {show_set(B)}\n")

    sig_A = sigma_algebra(Omega, [A])
    print(f"  sigma({{A}})   has {len(sig_A)} sets:")
    for s in sorted(sig_A, key=lambda z: (len(z), sorted(z))):
        print(f"      {show_set(s)}")
    print(f"  => |sigma({{A}})|   = {len(sig_A)}   (expected 4)\n")

    sig_AB = sigma_algebra(Omega, [A, B])
    print(f"  sigma({{A,B}}) has {len(sig_AB)} sets   (expected 16 = 2^4)")
    atoms = sorted(atoms_of(sig_AB, Omega), key=lambda z: sorted(z))
    print(f"  number of atoms             = {len(atoms)}")
    print(f"  the 4 atoms of sigma({{A,B}}):")
    for at in atoms:
        print(f"      {show_set(at)}")
    print(f"  2^(#atoms) = 2^{len(atoms)} = {2 ** len(atoms)}  "
          f"matches |sigma({{A,B}})| = {len(sig_AB)}")
    return len(sig_A), len(sig_AB), atoms

================================================================
PART 1 : sigma-algebra closure generator on finite Omega
================================================================
  Omega = {0,1,2,3,4,5,6,7}
  A     = {0,1,2,3}
  B     = {2,3,4,5}

  sigma({A})   has 4 sets:
      {}
      {0,1,2,3}
      {4,5,6,7}
      {0,1,2,3,4,5,6,7}
  => |sigma({A})|   = 4   (expected 4)

  sigma({A,B}) has 16 sets   (expected 16 = 2^4)
  number of atoms             = 4
  the 4 atoms of sigma({A,B}):
      {0,1}
      {2,3}
      {4,5}
      {6,7}
  2^(#atoms) = 2^4 = 16  matches |sigma({A,B})| = 16

পাঠোদ্ধার (read-off)। একটা generator $A$ থেকে গড়া σ-algebra-তে ঠিক $4$টা সদস্য — $\varnothing,\,A,\,A^c,\,\Omega$ — এর বেশি কিছু চাওয়া যায় না, কারণ $A$ আর তার complement মিলেই সব আবরণ তৈরি; $\lvert\sigma(\{A\})\rvert=4$ মিলে গেল। এবার দুটো generator $A,B$ "general position"-এ (পরস্পরছেদী কিন্তু একে অন্যের অংশ নয়) দিলে Ω চারটে atom-এ ভেঙে যায়: $\{0,1\}=A\setminus B$, $\{2,3\}=A\cap B$, $\{4,5\}=B\setminus A$, $\{6,7\}=(A\cup B)^c$। এই $4$টা atom-এর যেকোনো উপসংগ্রহকে মেলালে একেকটা set, তাই মোট $2^4=16$ — len(sig_AB) = 16 ঠিক তা-ই বলছে। লক্ষণীয়: finite ক্ষেত্রে σ-algebra-র গঠন সম্পূর্ণভাবে তার atom-গুলো দিয়ে নির্ধারিত, আর সদস্যসংখ্যা সবসময় $2$-এর ঘাত।

৫.২ · σ-algebra axiom checker — PASS আর FAIL¶

সংজ্ঞা যাচাই করার সবচেয়ে সৎ উপায় হলো সংজ্ঞাটাকেই কোড করা। একটা family $\mathcal F$ (finite Ω-তে) σ-algebra কিনা — তিনটে axiom পরীক্ষা: (১) $\Omega\in\mathcal F$; (২) complement-বন্ধ, অর্থাৎ $A\in\mathcal F\Rightarrow A^c\in\mathcal F$; (৩) union-বন্ধ, অর্থাৎ $A,B\in\mathcal F\Rightarrow A\cup B\in\mathcal F$ (finite Ω-তে countable union মানে এই pairwise union-ই, পুনরাবৃত্তি করে)। নিচের is_sigma_algebra এই তিনটে ক্রমে পরীক্ষা করে আর প্রথম যে axiom ভাঙে তার মানবোধ্য কারণ ফেরত দেয়।

দুটো ক্ষেত্রে চালাই: (ক) §৫.১-এর সেই $16$-সদস্যের closure — এটা সত্যিকারের σ-algebra, তাই PASS করা চাই। (খ) ইচ্ছে করে ভাঙা একটা family: এতে $\varnothing,\Omega,A,B,A^c,B^c$ আছে, কিন্তু $A\cup B$ নেই — union-axiom লঙ্ঘন। এটাই দেখায় কেন $A\in\mathcal F$ আর $B\in\mathcal F$ হলেই হবে না, $A\cup B$-কেও থাকতে হবে; নইলে "মাপা যায় এমন ঘটনাবলি" সংগ্রহটা ঘটনার যোগেই বেরিয়ে যায়।

def is_sigma_algebra(omega, family):
    """তিনটে (finite) σ-algebra axiom পরীক্ষা; (ok, কারণ) ফেরত।"""
    omega = frozenset(omega)
    fam = {frozenset(s) for s in family}
    if omega not in fam:                                    # Axiom 1
        return False, "Omega itself is missing (axiom: Omega in F)"
    for s in fam:                                           # Axiom 2
        if (omega - s) not in fam:
            return (False, f"complement of {show_set(s)} = "
                    f"{show_set(omega - s)} is missing (axiom: A in F => A^c in F)")
    for s, t in itertools.combinations(fam, 2):             # Axiom 3
        if (s | t) not in fam:
            return (False, f"union {show_set(s)} u {show_set(t)} = "
                    f"{show_set(s | t)} is missing (axiom: A,B in F => A u B in F)")
    return True, "all three axioms hold"


def part2_axiom_check():
    banner("PART 2 : sigma-algebra axiom checker (PASS and FAIL cases)")
    Omega = frozenset(range(8))
    A = frozenset({0, 1, 2, 3}); B = frozenset({2, 3, 4, 5})

    valid = sigma_algebra(Omega, [A, B])                    # (ক) আসল σ-algebra
    ok, why = is_sigma_algebra(Omega, valid)
    print(f"  (a) sigma({{A,B}}) (the closure, {len(valid)} sets)")
    print(f"      is sigma-algebra? {ok}   -- {why}\n")

    broken = {frozenset(), Omega, A, B, Omega - A, Omega - B}   # (খ) A u B হারানো
    listing = ", ".join(show_set(s) for s in
                        sorted(broken, key=lambda z: (len(z), sorted(z))))
    print(f"  (b) family {{ {listing} }}")
    ok, why = is_sigma_algebra(Omega, broken)
    print(f"      is sigma-algebra? {ok}")
    print(f"      reason: {why}")
    return ok

================================================================
PART 2 : sigma-algebra axiom checker (PASS and FAIL cases)
================================================================
  (a) sigma({A,B}) (the closure, 16 sets)
      is sigma-algebra? True   -- all three axioms hold

  (b) family { {}, {0,1,2,3}, {0,1,6,7}, {2,3,4,5}, {4,5,6,7}, {0,1,2,3,4,5,6,7} }
      is sigma-algebra? False
      reason: union {2,3,4,5} u {0,1,2,3} = {0,1,2,3,4,5} is missing (axiom: A,B in F => A u B in F)

পাঠোদ্ধার। (ক)-তে $16$-সদস্যের closure তিনটে axiom-ই মেনে চলে — True, কারণ §৫.১-এ আমরা ঠিক complement আর union-এ বন্ধ করেই এটা বানিয়েছিলাম। (খ)-তে family-টায় $A=\{0,1,2,3\}$ আর $B=\{2,3,4,5\}$ দুটোই আছে, তাদের complement-ও আছে, কিন্তু checker ধরে ফেলল $A\cup B=\{0,1,2,3,4,5\}$ অনুপস্থিত — তাই union-axiom ভাঙে, এবং family-টা σ-algebra নয়। এটাই σ-algebra-র প্রাণভ্রমর: শুধু কিছু ঘটনা মাপলে চলবে না, তাদের যোগ-পূরক-ছেদ সবকিছুকেও মাপতে পারতে হবে, নইলে measure সংজ্ঞায়িত করার মঞ্চটাই অসম্পূর্ণ থাকে। (countable-union axiom-টা finite Ω-তে pairwise থেকেই আসে; অসীম Ω-তে এটাই σ-algebra-কে নিছক algebra থেকে আলাদা করে — যেমন finite-or-cofinite family সসীম Ω-তে দিব্যি σ-algebra, কিন্তু $\mathbb N$-এর মতো অসীম Ω-তে countable union-এ ভেঙে পড়ে।)

৫.৩ · measure-এর নিচ থেকে ধারাবাহিকতা (continuity from below)¶

measure-এর একটা স্তম্ভ-ধর্ম: যদি set-গুলো নিচ থেকে বাড়তে বাড়তে ($E_1\subseteq E_2\subseteq\cdots$) একটা limit set-এ ওঠে, তবে তাদের measure-ও সেই limit-এর measure-এ ওঠে — $\lambda\!\big(\bigcup_n E_n\big)=\lim_n \lambda(E_n)$। নিই $E_n=[0,\,1-\tfrac1n]$; এরা বাড়তে বাড়তে $\bigcup_n E_n=[0,1)$-এ পৌঁছায়, আর $\lambda(E_n)=1-\tfrac1n$ (একটা interval-এর Lebesgue measure মানে তার দৈর্ঘ্য)। ছকে $n=1,2,5,100$ বসিয়ে দেখি সংখ্যাগুলো $0,\,0.5,\,0.8,\,0.99$ হয়ে $1$-এর দিকে এগোচ্ছে।

বিপরীত দিক — উপর থেকে ধারাবাহিকতা (continuity from above) — কিন্তু একটা শর্ত ছাড়া কাজ করে না। নিই $F_n=[n,\infty)$; এরা কমতে কমতে ($F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$) খালি set-এ নামে, অথচ প্রতিটা $\lambda(F_n)=+\infty$, তাই $\lim\lambda(F_n)=+\infty\ne 0=\lambda(\varnothing)$। অর্থাৎ from-above ধর্ম পেতে গেলে অন্তত একটা set-এর measure সসীম হতে হবে — এটা সংখ্যায় না-গুনে কেবল বিবৃত করছি, যেহেতু মানটা অসীম।

def part3_continuity():
    banner("PART 3 : continuity from below -- lambda([0,1-1/n]) = 1 - 1/n -> 1")
    # E_n = [0, 1 - 1/n] বাড়তে বাড়তে union = [0,1); lambda(E_n) = 1 - 1/n.
    print("   n    right end 1-1/n    lambda(E_n) = 1 - 1/n")
    print("  ---   ---------------    ---------------------")
    for n in (1, 2, 5, 100):
        right = 1.0 - 1.0 / n
        print(f"  {n:>3d}        {right:>7.4f}             {right:>7.4f}")
    print("  ...")
    print("  limit ->  lambda( union_n E_n ) = lambda([0,1)) = 1.0000\n")
    # from-above: finite-measure anchor ছাড়া ভেঙে পড়ে।
    print("  caveat (from above): F_n = [n, oo), F_1 > F_2 > ... , intersection = empty,")
    print("     but lambda(F_n) = +infinity for every n, so")
    print("     lim lambda(F_n) = +infinity  !=  0 = lambda(empty set).")
    print("     continuity-from-above FAILS without a finite-measure anchor.")

================================================================
PART 3 : continuity from below -- lambda([0,1-1/n]) = 1 - 1/n -> 1
================================================================
   n    right end 1-1/n    lambda(E_n) = 1 - 1/n
  ---   ---------------    ---------------------
    1         0.0000              0.0000
    2         0.5000              0.5000
    5         0.8000              0.8000
  100         0.9900              0.9900
  ...
  limit ->  lambda( union_n E_n ) = lambda([0,1)) = 1.0000

  caveat (from above): F_n = [n, oo), F_1 > F_2 > ... , intersection = empty,
     but lambda(F_n) = +infinity for every n, so
     lim lambda(F_n) = +infinity  !=  0 = lambda(empty set).
     continuity-from-above FAILS without a finite-measure anchor.

পাঠোদ্ধার। ছকের measure-স্তম্ভ $0.0000\to 0.5000\to 0.8000\to 0.9900$ — অর্থাৎ $n$ বাড়ার সঙ্গে $\lambda(E_n)=1-\tfrac1n$ একটানা $1$-এর দিকে উঠছে, আর তাদের union $[0,1)$-এর measure ঠিক $1$। এটাই নিচ-থেকে-ধারাবাহিকতা: বাড়তি set-এর measure আর limit set-এর measure হাত মিলিয়ে চলে, কোনো লাফ নেই। কিন্তু সতর্কবার্তার $F_n=[n,\infty)$ দেখাচ্ছে উল্টোটা সবসময় খাটে না — measure $+\infty$-তে আটকে থাকে যদিও set খালি হয়ে যায়, তাই উপর-থেকে-ধারাবাহিকতার জন্য একটা সসীম-measure নোঙর অপরিহার্য। (এই দুই ধর্মই σ-additivity-র সরাসরি ফল, আর এদের ছাড়া limit-এর তলায় measure নিয়ে যাওয়াই যেত না।)

৫.৪ · Monte-Carlo দিয়ে একটা Borel set-এর Lebesgue measure¶

এবার Lebesgue measure-কে আনুমানিক করে দেখি। নিই Borel set $B=[0,\tfrac13]\cup[\tfrac12,1]$। এর measure হলো indicator $\mathbf 1_B$-এর গড় (expectation) এক uniform টানে:

\[\lambda(B)=\int_0^1 \mathbf 1_B(x)\,dx=\mathbb E\big[\mathbf 1_B(U)\big],\qquad U\sim\text{Uniform}[0,1].\]

Monte-Carlo এই expectation-কে নমুনা-গড় (sample mean) দিয়ে বদলে দেয়: $[0,1]$-এ $N=10^6$ uniform বিন্দু ছড়িয়ে, যতগুলো $B$-তে পড়ে তাদের ভগ্নাংশ নিই। সত্যি মান $\lambda(B)=\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56\approx 0.8333$। reproducibility-র জন্য seed np.random.default_rng(20260619)।

def part4_monte_carlo():
    banner("PART 4 : Monte-Carlo Lebesgue measure of B = [0,1/3] u [1/2,1]")
    # lambda(B) = E[1_B(U)],  U ~ Uniform[0,1]; Monte-Carlo = sample mean.
    rng = np.random.default_rng(20260619)
    N = 1_000_000
    x = rng.random(N)                                  # N টা i.i.d. Uniform[0,1]
    in_B = (x <= 1.0 / 3.0) | (x >= 1.0 / 2.0)
    estimate = float(np.mean(in_B))
    true_val = 1.0 / 3.0 + 1.0 / 2.0                   # 1/3 + 1/2 = 5/6
    print(f"  seed          = np.random.default_rng(20260619)")
    print(f"  N             = {N:,}")
    print(f"  set           = [0, 1/3] u [1/2, 1]")
    print(f"  true measure  = 1/3 + 1/2 = {true_val:.4f}   (= 5/6)")
    print(f"  MC estimate   = mean(1_B) = {estimate:.4f}")
    print(f"  abs error     = {abs(estimate - true_val):.6f}")
    return estimate, true_val

================================================================
PART 4 : Monte-Carlo Lebesgue measure of B = [0,1/3] u [1/2,1]
================================================================
  seed          = np.random.default_rng(20260619)
  N             = 1,000,000
  set           = [0, 1/3] u [1/2, 1]
  true measure  = 1/3 + 1/2 = 0.8333   (= 5/6)
  MC estimate   = mean(1_B) = 0.8335
  abs error     = 0.000120

পাঠোদ্ধার। $10^6$ uniform বিন্দুর মধ্যে যারা $B$-তে পড়ল তাদের ভগ্নাংশ $0.8335$ — সত্যি মান $0.8333=\tfrac56$-এর গা ঘেঁষে, পরম ত্রুটি মাত্র $0.00012$। দুটো বিচ্ছিন্ন (disjoint) টুকরোর measure সরাসরি যোগ হয়েছে ($\tfrac13+\tfrac12$), যা finite additivity-রই প্রতিফলন। আরও তলিয়ে দেখলে: indicator-এর গড় যে set-এর measure-এ মেলে, এটাই Lebesgue integral-এর সারকথা — "set-এর আকার = তার indicator-এর integral"। outer measure-এর দৃষ্টিভঙ্গিতে $B$-কে interval দিয়ে ঢাকার ন্যূনতম মোট-দৈর্ঘ্যও ঠিক $\tfrac56$, আর Monte-Carlo সেই সংখ্যাকেই এলোমেলো বিন্দু গুনে ফিরিয়ে আনছে।

৫.৫ · pmf থেকে measure — counting আর Dirac¶

শেষে দেখি measure মানে আদতে subset-এর উপর একটা function যা σ-additive। ছোট $\Omega=\{0,\dots,5\}$-এ তিন রকম measure সংজ্ঞায়িত করি: (১) counting measure $\mu(E)=\#E$ (set-এর উপাদান সংখ্যা); (২) একটা pmf $p$ থেকে probability measure $P(E)=\sum_{i\in E}p_i$; (৩) Dirac measure $\delta_2(E)=\mathbf 1[2\in E]$ (পুরো ভর বিন্দু $2$-তে জমা)। দুটো disjoint set $E=\{0,1,2\}$, $F=\{3,4\}$ নিয়ে তিনটেতেই finite additivity — $\mu(E)+\mu(F)=\mu(E\cup F)$ — সংখ্যায় যাচাই করি।

def counting_measure(subset):           # mu(E) = #E
    return len(subset)

def dirac_measure(subset, point):       # delta_p(E) = 1 if p in E else 0
    return 1 if point in subset else 0

def part5_measures_from_pmf():
    banner("PART 5 : measures as functions on subsets -- counting & Dirac")
    Omega = frozenset(range(6)); E = frozenset({0, 1, 2}); F = frozenset({3, 4})
    print(f"  Omega = {show_set(Omega)},  E = {show_set(E)},  F = {show_set(F)}  (disjoint)\n")

    cE, cF, cEF = counting_measure(E), counting_measure(F), counting_measure(E | F)
    print("  counting measure mu(.) = #(.) :")
    print(f"      mu(E)={cE}, mu(F)={cF}, mu(E)+mu(F)={cE + cF}, "
          f"mu(E u F)={cEF}  -> additive? {cE + cF == cEF}")

    pmf = np.array([0.30, 0.10, 0.20, 0.05, 0.25, 0.10])   # যোগফল 1
    def P(subset): return float(sum(pmf[i] for i in subset))
    pE, pF, pEF = P(E), P(F), P(E | F)
    print(f"  pmf p = {pmf.tolist()}  (sum = {pmf.sum():.2f})")
    print(f"      P(E)={pE:.2f}, P(F)={pF:.2f}, P(E)+P(F)={pE + pF:.2f}, "
          f"P(E u F)={pEF:.2f}  -> additive? {abs((pE + pF) - pEF) < 1e-12}")

    dE, dF, dEF = dirac_measure(E, 2), dirac_measure(F, 2), dirac_measure(E | F, 2)
    print(f"  Dirac delta_2 (mass at point 2) :")
    print(f"      d(E)={dE}, d(F)={dF}, d(E)+d(F)={dE + dF}, "
          f"d(E u F)={dEF}  -> additive? {dE + dF == dEF}")
    return cE + cF == cEF, abs((pE + pF) - pEF) < 1e-12, dE + dF == dEF

================================================================
PART 5 : measures as functions on subsets -- counting & Dirac
================================================================
  Omega = {0,1,2,3,4,5},  E = {0,1,2},  F = {3,4}  (disjoint)

  counting measure mu(.) = #(.) :
      mu(E)=3, mu(F)=2, mu(E)+mu(F)=5, mu(E u F)=5  -> additive? True
  pmf p = [0.3, 0.1, 0.2, 0.05, 0.25, 0.1]  (sum = 1.00)
      P(E)=0.60, P(F)=0.30, P(E)+P(F)=0.90, P(E u F)=0.90  -> additive? True
  Dirac delta_2 (mass at point 2) :
      d(E)=1, d(F)=0, d(E)+d(F)=1, d(E u F)=1  -> additive? True

পাঠোদ্ধার। তিন রকম measure-ই disjoint $E,F$-এ যোগ মেনে চলল — counting-এ $3+2=5$, pmf-এ $0.60+0.30=0.90$, Dirac-এ $1+0=1$ — প্রতিটাতেই বাঁ-পাশের যোগফল ডান-পাশের $\mu(E\cup F)$-এর সমান (additive? True)। লক্ষণীয় বৈচিত্র্য: counting measure সবকিছুকে সমান গোনে, pmf ওজন বিলিয়ে দেয়, আর Dirac পুরো ভর এক বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করে — তিনটেই কিন্তু একই finite-additivity কাঠামোর উদাহরণ। এতেই বোঝা যায় measure ধারণাটা কত নমনীয়: pmf থেকে discrete probability, Lebesgue থেকে দৈর্ঘ্য, Dirac থেকে বিন্দু-ভর — সব এক ছাতার নিচে।

সারসংক্ষেপ¶

এই ল্যাব চারটে বিমূর্ত ধারণাকে যাচাইযোগ্য সংখ্যায় নামিয়ে আনল। §৫.১–৫.২ দেখাল σ-algebra আসলে closure-এর ফল: একটা generator থেকে complement-ও-union-এ বন্ধ করতে করতে $\lvert\sigma(\{A\})\rvert=4$, আর দুটো general-position generator থেকে $4$টা atom ও $2^4=16$টা সদস্য — আর axiom-checker হাতেনাতে ধরল union-axiom ভাঙলে কীভাবে family-টা σ-algebra থাকে না। §৫.৩ measure-এর নিচ-থেকে-ধারাবাহিকতা ($1-\tfrac1n\to 1$) সংখ্যায় ফোটাল, পাশাপাশি from-above-এর সসীম-নোঙর শর্তটা মনে করিয়ে দিল। §৫.৪ Monte-Carlo দিয়ে একটা Borel set-এর Lebesgue measure $0.8335\approx\tfrac56$ এনে দেখাল "measure = indicator-এর integral = outer-cover-এর ন্যূনতম দৈর্ঘ্য"। আর §৫.৫ counting/pmf/Dirac — তিন ভিন্ন measure-এ একই finite additivity দেখিয়ে স্পষ্ট করল measure-এর কাঠামো কতটা সর্বজনীন। মূল সংখ্যাগুলো — $4$, $16$, $0.8335$ — সবই canonically মিলে গেছে, তাই উপরের সমস্ত প্রমাণ-ও-উদাহরণ পুনরুৎপাদনযোগ্য।

৬ · ভিজ্যুয়ালাইজেশন¶

আগের অংশগুলোতে এই অধ্যায়ের চারটে স্তম্ভ — σ-algebra, measure-এর ধর্মাবলি, Carathéodory criterion ও Lebesgue-নির্মাণের মই — সংজ্ঞা ও প্রমাণে দাঁড় করানো হয়েছে। কিন্তু এই বস্তুগুলোর আসল চরিত্র অনেক সময় একটা ছবিতে যতটা পরিষ্কার হয়, সমীকরণের সারিতে ততটা নয়: একটা মাত্র generator-জোড়া কীভাবে গোটা $\Omega$-কে কয়েকটা atom-এ ভাগ করে একটা সসীম σ-algebra গড়ে তোলে, "নিচ থেকে continuity" আসলে চোখে কেমন দেখায়, Carathéodory-র অদ্ভুত "সব $A$-র জন্য" শর্তটা জ্যামিতিকভাবে কী বলছে, আর interval-দৈর্ঘ্য থেকে Lebesgue measure পর্যন্ত যাত্রাটা কোন কোন ধাপ পেরোয় — এই চারটে প্রশ্নই এই অংশের চারটে ছবির বিষয়।

ছবিগুলোর সব text ইংরেজিতে (matplotlib-এ বাংলা glyph tofu হয়ে যায়), তাই ব্যাখ্যা থাকছে এই prose-এ, আর figure-এ থাকছে কেবল গাণিতিক চিহ্ন ও সংক্ষিপ্ত label। প্রতিটি ছবি curriculum-এর সাধারণ figure-style ব্যবহার করে (figstyle.set_style()), dpi=150-এ আঁকা, এবং _assets/ ফোল্ডারে সংরক্ষিত। নিচের প্রতিটি উপ-বিভাগে concept-এর সঙ্গে ছবিটার সংযোগ, তারপর তা তৈরির core code-এর একটা অংশ, এবং সবশেষে embed-করা ছবিটা দেওয়া হলো। চারটে ছবির সম্পূর্ণ script আছে _code/figs_7-2.py-তে।

৬.১ · এক generator-জোড়া থেকে σ-algebra বেড়ে ওঠা¶

প্রথম ছবিটা §২-এর সবচেয়ে মৌলিক স্বজ্ঞাকে দৃশ্যমান করে: generated σ-algebra $\sigma(\mathcal G)$ আসলে কত বড় হয়? দুটো overlapping set $A,B\subseteq\Omega$ নিলে তারা $\Omega$-কে চারটে পরস্পর-বিচ্ছিন্ন atom-এ ভাগ করে — $A\cap B$ (দুটোর মধ্যেই), $A\setminus B$ (শুধু $A$-তে), $B\setminus A$ (শুধু $B$-তে), এবং $(A\cup B)^c$ (কোনোটাতেই নয়, অর্থাৎ বাইরের ধূসর অঞ্চল)। এই চারটে atom-ই হলো $\sigma(A,B)$-র "পরমাণু": σ-algebra-র প্রতিটি সদস্য এই চারটে atom-এর কোনো-না-কোনো union (খালি union সহ)। তাই atom যদি $k$টা হয়, σ-algebra-র মোট সদস্য ঠিক $2^k$টা — এখানে $2^4=16$।

এই ছবিটা একটা গুরুত্বপূর্ণ ভুল ধারণা ভাঙে: "$A,B$ থেকে generated σ-algebra" মানে শুধু $\{\varnothing, A, B, \Omega\}$ নয় — complement ও union-বদ্ধতা চাপালে $A\cap B$, $A\setminus B$, $A\triangle B$ ইত্যাদিও বাধ্যতামূলকভাবে ঢুকে পড়ে, আর সব মিলিয়ে গুনে দেখলে ঠিক ১৬টা set দাঁড়ায়। সসীম generator-এ σ-algebra সসীম থাকে, কিন্তু atom-সংখ্যার সঙ্গে তার আকার সূচকীয়ভাবে বাড়ে — Borel-এর মতো অসীম generator-এ যা আর গোনা যায় না।

কেন ছবিটা ঠিক atom দিয়ে আঁকা, তার একটা গভীর কারণ আছে। §২-এ $\sigma(\mathcal G)$-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল উপর-থেকে — "$\mathcal G$-কে ধারণকারী সব σ-algebra-র intersection", একটা বিমূর্ত minimality শর্ত যা সরাসরি গোনা কঠিন। কিন্তু সসীম $\mathcal G$-র জন্য একটা সমান, নিচ-থেকে বর্ণনা আছে: generator-গুলো $\Omega$-কে যেসব ক্ষুদ্রতম অবিভাজ্য টুকরোয় ভাগ করে (যাকে atom বলে — এমন nonempty set যাকে σ-algebra-র সদস্য দিয়ে আর ভাঙা যায় না), σ-algebra-র সদস্য মানে ঠিক সেই atom-গুলোর সব সম্ভাব্য union। দুটো generator দুটো "হ্যাঁ/না" প্রশ্ন তোলে ($A$-তে আছে কি? $B$-তে আছে কি?), যার $2^2=4$টা উত্তর-সংমিশ্রণই চারটে atom; আর প্রতিটা atom-কে "নেব/নেব না" বেছে $2^4=16$টা set। এই গোনাটাই দেখায় কেন σ-algebra ঠিক একটা Boolean কাঠামো — power set $2^{\{\text{atoms}\}}$-এর সঙ্গে এক-এক সম্পর্কে।

ব্যবহারিক দিক থেকেও এটা প্রাসঙ্গিক: পরের অধ্যায়ে যখন random variable $X$-এর "জ্ঞাত তথ্য" বলতে $\sigma(X)$ বোঝানো হবে, তখন এই atom-ছবিই বলে দেবে $\sigma(X)$ কতটা "মোটা" বা "সূক্ষ্ম" — কম atom মানে কম তথ্য (মোটা σ-algebra), বেশি atom মানে বেশি তথ্য। conditional expectation-এ একটা function $\mathcal F$-measurable হওয়া মানে সে প্রতিটা atom-এর উপর ধ্রুবক — অর্থাৎ atom-এর চেয়ে সূক্ষ্ম কিছু সে "দেখতে" পায় না। তাই এই সরল দুই-set Venn আসলে Part VII-এর filtration ও information-এর পুরো ভাষাটার বীজ-ছবি।

from matplotlib.patches import Circle, Rectangle

# Omega box = the universe; the pale region outside both discs is (A∪B)^c
ax.add_patch(Rectangle((0.3, 0.3), 9.4, 7.1, facecolor=C_OUT, ...))
# two overlapping discs A, B (alpha-blended so the overlap reads as a 3rd shade)
ax.add_patch(Circle((cAx, cy), r, facecolor=C_A, alpha=0.45))   # A
ax.add_patch(Circle((cBx, cy), r, facecolor=C_B, alpha=0.45))   # B
# label the four atoms in place
ax.text((cAx+cBx)/2, cy, r"$A\cap B$", color="white", ...)
ax.text(cAx-0.95, cy, r"$A\setminus B$", ...)
ax.text(cBx+0.95, cy, r"$B\setminus A$", ...)
ax.text(1.55, 1.15, r"$(A\cup B)^c$", ...)
# headline: 4 atoms  ⇒  2^4 = 16 sets in σ(A,B)
ax.text(5.0, 7.62, r"4 atoms partition $\Omega$ $\Rightarrow$ "
        r"$2^{4}=16$ sets in $\sigma(A,B)$", fontweight="bold", ...)

$দুটো overlapping set $A$ (নীল) ও $B$ (লাল) $\Omega$-কে চারটে disjoint atom-এ ভাগ করছে: মাঝখানে গাঢ় overlap $A\cap B$, বাঁয়ে $A\setminus B$, ডানে $B\setminus A$, আর চারপাশের ধূসর অঞ্চল $(A\cup B)^c$; পুরোটা ঘিরে $\Omega$-box। উপরে মোটা হরফে লেখা: 4 atoms partition $\Omega \Rightarrow 2^{4}=16$ sets in $\sigma(A,B)$ — অর্থাৎ এই চারটে atom-এর সব সম্ভাব্য union মিলে generated σ-algebra-র ঠিক ১৬টা সদস্য।$

৬.২ · measure-এর নিচ-থেকে continuity: $A_n\uparrow A \Rightarrow \mu(A_n)\uparrow\mu(A)$¶

দ্বিতীয় ছবিটা §৪-এ প্রমাণ-করা measure-এর একটা মূল ধর্ম — continuity from below — কে concretely দেখায়। nested increasing interval-এর একটা sequence নিই: $A_n=[0,\,1-\tfrac1n]$, যা $n$ বাড়ার সঙ্গে ক্রমশ বড় হতে হতে $A=[0,1)$-এর দিকে ওঠে ($A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$, এবং $\bigcup_n A_n=[0,1)$)। বাঁ panel-এ এই set-গুলো stacked bar হিসেবে আঁকা — প্রতিটি bar $[0,\,1-\tfrac1n]$ interval, নিচ থেকে উপরে $n$ বাড়ছে, আর সবগুলো ডান দিকের ভাঙা রেখা $1$-এর (অর্থাৎ limit set $A=[0,1)$-এর ডান প্রান্ত) দিকে এগোচ্ছে।

ডান panel-টা ঠিক একই গল্প সংখ্যায় বলে: Lebesgue measure $\lambda(A_n)=1-\tfrac1n$ আঁকা হয়েছে $n$-এর বিপরীতে, যা ভাঙা রেখা $\lambda(A)=1$-এর দিকে monotonically উঠছে। দুই panel একসঙ্গে continuity-র বিবৃতিটা সম্পূর্ণ করে: set-গুলো উপরের দিকে nested হয়ে limit-এ পৌঁছালে তাদের measure-ও limit set-এর measure-এ উপরের দিকে পৌঁছায় — কোনো ভর "ফাঁক গলে" হারিয়ে যায় না। এটাই finite additivity আর countable additivity-র পার্থক্যের দৃশ্যরূপ: countable additivity ছাড়া limit-এ এই মসৃণ উত্তরণ নিশ্চিত করা যেত না।

প্রমাণটার বীজও ছবির ভেতরেই লুকিয়ে। increasing sequence $A_n\uparrow A$-কে disjoint "খোলস"-এ ভাঙা যায়: $A=A_1\sqcup(A_2\setminus A_1)\sqcup(A_3\setminus A_2)\sqcup\cdots$, যেখানে $A_n=A_1\cup\bigcup_{k\le n}(A_{k}\setminus A_{k-1})$ ঠিক প্রথম কয়েকটা খোলসের যোগফল। countable additivity এই অসীম disjoint যোগফলকে $\mu(A)$-র সমান করে, আর finite additivity বলে $\mu(A_n)$ হলো তারই partial sum — তাই partial sum পুরো sum-এ উঠে যাওয়া মানেই $\mu(A_n)\uparrow\mu(A)$। ছবির stacked bar-গুলোকে তাই "একটার উপর একটা যোগ হওয়া খোলস" হিসেবেও পড়া যায়।

তবে একটা সতর্কতা ছবিটা স্পষ্ট করে দেয় কেন দরকার: নিচ-থেকে continuity কোনো finiteness শর্ত ছাড়াই খাটে, কিন্তু এর যমজ উপর-থেকে continuity ($A_n\downarrow A\Rightarrow\mu(A_n)\downarrow\mu(A)$) খাটে কেবল যদি কোনো এক $\mu(A_n)<\infty$ হয়। চিরায়ত পাল্টা-উদাহরণ: $A_n=[n,\infty)$ হলে $A_n\downarrow\varnothing$ কিন্তু প্রতিটা $\lambda(A_n)=\infty$, তাই $\lambda(A_n)$ কখনো $\lambda(\varnothing)=0$-তে নামে না — অসীম ভর "শেষ পর্যন্ত পালিয়ে" যায়। এই asymmetry-ই পরে probability measure-এ ($\mu(\Omega)=1<\infty$) মিলিয়ে যায়: সেখানে দুই দিকের continuity-ই নিঃশর্তে পাওয়া যায়, যা CDF-এর right-continuity ও limit-উপপাদ্যগুলোর ভিত্তি।

import numpy as np

ns = [1, 2, 3, 4, 6, 10, 30]
for i, n in enumerate(ns):                      # LEFT: nested bars [0, 1-1/n]
    right = 1 - 1.0 / n
    axL.barh(i, right, height=0.72, color=cmap(...), edgecolor=C_A)
axL.axvline(1.0, color=C_B, ls="--")            # the limit A = [0,1)

nn  = np.arange(1, 31)                           # RIGHT: λ(A_n) = 1 - 1/n vs n
lam = 1 - 1.0 / nn
axR.plot(nn, lam, "o-", color=C_A, label=r"$\lambda(A_n)=1-\frac{1}{n}$")
axR.axhline(1.0, color=C_B, ls="--", label=r"$\lambda(A)=1$")
fig.suptitle(r"Continuity from below: $A_n\uparrow A\Rightarrow\mu(A_n)\uparrow\mu(A)$")

$দুই-panel ছবি। বাঁয়ে: $A_n=[0,1-\tfrac1n]$ interval-গুলো stacked horizontal bar হিসেবে, নিচ থেকে উপরে $n=1,2,3,4,6,10,30$, প্রতিটি bar আগেরটার চেয়ে লম্বা এবং ভাঙা লাল রেখা $A=[0,1)$ (extent $=1$)-এর দিকে এগোচ্ছে; bar-এর ডানে তাদের দৈর্ঘ্য ($0, 0.5, 0.667, 0.75, 0.833, 0.9, 0.967$) লেখা। ডানে: $\lambda(A_n)=1-\tfrac1n$ vs $n$-এর rising curve, যা ভাঙা লাল রেখা $\lambda(A)=1$-এর দিকে monotonically উঠছে। শিরোনাম: Continuity from below, $A_n\uparrow A \Rightarrow \mu(A_n)\uparrow\mu(A)$।$

৬.৩ · Carathéodory criterion: $E$ প্রতিটি $A$-কে additively কাটে¶

তৃতীয় ছবিটা এই অধ্যায়ের হৃৎপিণ্ড — Carathéodory criterion-এর জ্যামিতিক ছবি। এই শর্তটা প্রথম দেখায় খটকা লাগে: একটা set $E$-কে measurable বলা হবে তখনই, যখন যেকোনো নির্বিচার test set $A$-কে $E$ দুটো টুকরোয় ভাগ করলে — $A\cap E$ ও $A\cap E^c$ — তাদের outer measure-এর যোগফল ঠিক $A$-র outer measure-এর সমান হয়: $$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\quad\text{সব } A\text{-র জন্য}.$$

ছবিতে $E$-কে আঁকা হয়েছে একটা উল্লম্ব সবুজ band হিসেবে, আর test set $A$-কে একটা নীল উপবৃত্ত (blob), যা band-টাকে আড়াআড়ি অতিক্রম করে। তখন $A$ স্বাভাবিকভাবেই তিন অংশে দেখা যায়: মাঝের অংশ $A\cap E$ (band-এর ভেতরে), আর দুই পাশের অংশ মিলে $A\cap E^c$ (band-এর বাইরে)। criterion বলছে: $E$ measurable হওয়ার মানে হলো এই কাটাকাটিতে কোনো ভর "হারায় না বা দ্বিগুণ গোনা হয় না" — outer measure ঠিক যোগ হয়ে যায়, এবং তা $A$ যাই হোক না কেন। এই "সব $A$-র জন্য" শর্তই ছাঁকনির কাজ করে: Vitali-র মতো বদমেজাজি set এই পরীক্ষায় ফেল করে (কোনো-না-কোনো $A$-তে যোগফল বেশি হয়ে যায়), তাই তারা measurable পরিবারে ঢোকে না — ঠিক যে set-গুলোকে আমরা বাদ দিতে চেয়েছিলাম। আর যারা পাশ করে, তারা মিলে একটা complete σ-algebra গড়ে, যার উপর $\mu^*$ একটা সত্যিকার measure।

একটা সূক্ষ্ম কিন্তু আলোকিত-করা ব্যাপার ছবিটা চোখে আঙুল দিয়ে দেখায়: সমীকরণের একটা দিক সবসময়ই বিনামূল্যে পাওয়া যায়। যেহেতু $A=(A\cap E)\cup(A\cap E^c)$, outer measure-এর countable (এবং তাই finite) subadditivity থেকে সর্বদা $\mu^*(A)\le\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)$ — অর্থাৎ দুই টুকরোর measure মিলে অন্তত পুরোটা ঢাকে। তাই Carathéodory-শর্ত আসলে কেবল বিপরীত অসমতা $\ge$ দাবি করছে: টুকরো-দুটো যেন পুরোটার চেয়ে বেশি না গোনে, কোনো overlap-ভর দুবার যেন না ওঠে। measurability মানে তাই "$E$-র সীমানা এত ভদ্র যে সে কোনো $A$-কে কাটলে দুই টুকরোর outer-cover দক্ষতা নষ্ট হয় না" — non-measurable set-এর রোগ ঠিক এখানেই, তাদের সীমানা এত এবড়োখেবড়ো যে cover-এ অপচয় ঢোকে।

আর কেন শর্তটা প্রতিটা $A$-র উপর, কেবল $\Omega$-র উপর নয়? কারণ এই "সর্বজনীনতা"-ই σ-algebra-বদ্ধতা ও additivity একসঙ্গে নিশ্চিত করে: এক্কেবারে এই symmetric সংজ্ঞা থেকেই (§৪-এ) প্রমাণ হয় $E$ measurable হলে $E^c$-ও measurable (সংজ্ঞাটা $E\leftrightarrow E^c$-এ অপরিবর্তিত), দুটো measurable set-এর union measurable, এবং disjoint measurable set-দের উপর $\mu^*$ additive — ঠিক একই test-set কৌশল বারবার প্রয়োগ করে। এই অর্থে ৬.৩-এর ছবিটা ৬.৪-এর মইয়ের তৃতীয় ধাপের যন্ত্রটাই হাতে ধরিয়ে দেয়: একটা অদ্ভুত-দেখতে splitting-শর্ত, যা থেকে গোটা measurable জগৎটা স্বয়ংক্রিয়ভাবে গড়ে ওঠে।

from matplotlib.patches import Rectangle, Ellipse

# E = a vertical green band spanning the full height
ax.add_patch(Rectangle((bandL, 0.2), bandR-bandL, 6.4,
                       facecolor=C_E, alpha=0.16, ls="--"))
# A = an arbitrary test set (ellipse) straddling the band
ax.add_patch(Ellipse((Acx, Acy), Aw, Ah, facecolor=C_A, alpha=0.30))
ax.text((bandL+bandR)/2, Acy, r"$A\cap E$", ...)        # middle piece
ax.text(bandL-1.15, Acy, r"$A\cap E^{c}$", ...)         # left/right pieces
# the criterion, framed below
ax.text(5.0, 0.05,
        r"$\mu^{*}(A)=\mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A\cap E^{c})$" "\n"
        r"for ALL test sets $A$ $\Longleftrightarrow$ $E$ is measurable",
        bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.45", edgecolor=C_E))

$একটা উল্লম্ব হালকা-সবুজ band $E$ (ভাঙা সীমানা) পুরো উচ্চতা জুড়ে; একটা নীল উপবৃত্ত — arbitrary test set $A$ — band-টাকে আড়াআড়ি কেটে গেছে। band-এর ভেতরের অংশ $A\cap E$, আর দুই পাশের অংশ মিলে $A\cap E^{c}$; band-এর বাইরের দু-দিকে $E^{c}$ চিহ্নিত। নিচে সবুজ-ফ্রেমে সমীকরণ: $\mu^{*}(A)=\mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A\cap E^{c})$ for ALL test sets $A \Longleftrightarrow E$ is measurable। অর্থাৎ $E$ measurable মানে সে প্রতিটি $A$-কে outer-measure-অর্থে নিখুঁতভাবে দুই ভাগে ভাগ করে।$

৬.৪ · নির্মাণের মই: interval-দৈর্ঘ্য থেকে Lebesgue measure¶

শেষ ছবিটা গোটা অধ্যায়ের construction ladder-কে একটা schematic flow হিসেবে ধরে — কীভাবে interval-এর সাধারণ "দৈর্ঘ্য" ধাপে ধাপে একটা পূর্ণাঙ্গ, সর্বত্র-সংজ্ঞায়িত measure-এ রূপ নেয়। চারটে box উপর থেকে নিচে, প্রতিটি তীর একটা নির্দিষ্ট গাণিতিক পদক্ষেপ:

interval length $\ell(I)=b-a$ — সবচেয়ে আদিম measure, কেবল interval-এর উপর সংজ্ঞায়িত (premeasure-এর বীজ)।
একে cover-and-infimum দিয়ে বাড়িয়ে outer measure $\mu^*(A)$ — যেকোনো set $A$-কে গণনাযোগ্য interval দিয়ে ঢেকে তাদের মোট-দৈর্ঘ্যের infimum নেওয়া।
Carathéodory criterion প্রয়োগ করে বাছাই হয় Carathéodory-measurable set $\mathcal M$ — যারা প্রতিটি $A$-কে additively কাটে; এই $\mathcal M$ একটা σ-algebra (§৪-এ প্রমাণিত)।
সেই $\mathcal M$-এর উপর $\mu^*$-কে restrict করলে পাওয়া যায় Lebesgue measure $\lambda$ — complete, translation-invariant, এবং $\lambda([a,b])=b-a$ (যা আমরা শুরুতে চেয়েছিলাম)।

ছবির ডান পাশে দুটো বৃত্ত দিয়ে দেখানো হয়েছে গুরুত্বপূর্ণ containment $\mathcal B\subseteq\mathcal M$ — Borel σ-algebra $\mathcal B$ (ভেতরের বৃত্ত) Lebesgue σ-algebra $\mathcal M$-এর (বাইরের বৃত্ত) একটা প্রকৃত উপসেট। অর্থাৎ প্রতিটি Borel set Lebesgue-measurable, কিন্তু Lebesgue-নির্মাণ আরও বেশি set ধরে (completion-জনিত সব null set ও তাদের subset)। এই একটা ছবিই §২–§৫-এর পুরো যুক্তি-শৃঙ্খলটা — length → premeasure → $\mu^*$ → Carathéodory → Lebesgue, এবং Borel ⊆ Lebesgue — এক নজরে ধরিয়ে দেয়।

প্রতিটা rung কেন অপরিহার্য, মইটা তা-ও বুঝিয়ে দেয়। যদি ধাপ ২ (outer measure) বাদ দিয়ে সরাসরি interval-দৈর্ঘ্য থেকে measure পেতে চাইতাম, তবে নির্বিচার set-এর কোনো আকারই থাকত না — outer measure-ই সেই সর্বজনীন "উপরের আন্দাজ" দেয় যা সব set-এ সংজ্ঞায়িত (যদিও তখনো additive নয়)। আর ধাপ ৩ (Carathéodory) বাদ দিলে $\mu^*$ subadditive থেকে যেত, additive হতো না — Vitali-র পাঠ অনুযায়ী $2^{\mathbb R}$-এর উপর কোনো translation-invariant countably-additive measure সম্ভবই নয়, তাই ছাঁকনি দিয়ে domain ছোট করা বাধ্যতামূলক, ঐচ্ছিক নয়। মইটা তাই কোনো নির্বিচার নকশা নয়; প্রতিটা ধাপ আগের ধাপের একটা সুনির্দিষ্ট ঘাটতি মেরামত করে, আর শেষ ধাপে গিয়ে আমরা ঠিক সেই বস্তুটা পাই যা শুরুতে চেয়েছিলাম: $\lambda([a,b])=b-a$।

শেষ প্রশ্ন — এত খাটুনির পর পাওয়া $\lambda$ কি একমাত্র? মইয়ের উপরে আলাদা করে আঁকা না হলেও, এর উত্তর এ অধ্যায়েরই π–λ (Dynkin) uniqueness: interval-গুলো একটা π-system (intersection-বদ্ধ পরিবার) গড়ে, আর σ-finite দুই measure যদি একটা π-system-এ মিলে যায় তবে তারা সেই π-system-জনিত গোটা σ-algebra-তেও মিলে যায়। তাই "interval-এ length = $b-a$" শর্তটাই $\lambda$-কে Borel-এ সম্পূর্ণ pin করে দেয় — Carathéodory যে অস্তিত্ব দেয়, π–λ তাতে একত্ব যোগ করে। এই অস্তিত্ব+একত্বের যুগলবন্দীই পরে নিশ্চিত করবে যে একটা CDF একটামাত্র probability law নির্ধারণ করে, যা গোটা Part VII-এর distribution-তত্ত্বের নীরব ভিত্তি।

from matplotlib.patches import FancyBboxPatch, Circle

boxes = [  # (y, title, subtitle)
    (9.6, r"interval length $\ell(I)=b-a$", "primitive measure on intervals"),
    (7.3, r"outer measure $\mu^{*}(A)$",    "cover by intervals & take infimum"),
    (5.0, r"Caratheodory-measurable sets $\mathcal{M}$", "... => a sigma-algebra"),
    (2.5, r"Lebesgue measure $\lambda$ on $\mathcal{M}$",
          r"complete, translation-invariant, $\lambda([a,b])=b-a$")]
for cy, title, sub in boxes:                     # stacked boxes ...
    ax.add_patch(FancyBboxPatch(..., boxstyle="round,...,rounding_size=0.18"))
# ... joined top-to-bottom by labelled arrows, e.g.
ax.annotate("", xy=(bx, y1), xytext=(bx, y0),
            arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", lw=2.0))
# Borel ⊆ Lebesgue: inner circle B inside outer circle M
ax.add_patch(Circle((ringx, ringy), 1.02, facecolor="#eaf2ea"))           # M
ax.add_patch(Circle((ringx, ringy+0.12), 0.55, edgecolor=C_A))            # B
ax.text(ringx, ringy-1.32, r"$\mathcal{B}\subseteq\mathcal{M}$", ...)

$উপর থেকে নিচে চারটে box তীর দিয়ে যুক্ত: (১) interval length $\ell(I)=b-a$ — "primitive measure on intervals"; তীর "length → outer measure"; (২) outer measure $\mu^{*}(A)$ — "cover by intervals & take infimum"; তীর "Caratheodory criterion"; (৩) Caratheodory-measurable sets $\mathcal{M}$ — "split every $A$ additively => a sigma-algebra"; তীর "restrict $\mu^{*}$ to $\mathcal{M}$"; (৪) Lebesgue measure $\lambda$ on $\mathcal{M}$ — "complete, translation-invariant, $\lambda([a,b])=b-a$"। ডান পাশে দুটো nested বৃত্ত: ভেতরে Borel $\mathcal{B}$, বাইরে Lebesgue $\mathcal{M}$, নিচে লেখা $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{M}$ — Borel σ-algebra Lebesgue σ-algebra-র উপসেট।$

এই চারটে ছবি একসঙ্গে অধ্যায়ের গল্পটা গাঁথে: একটা generator-জোড়া কীভাবে atom থেকে σ-algebra গড়ে (৬.১), measure কীভাবে limit-এ মসৃণভাবে continuous থাকে (৬.২), কোন ছাঁকনি নির্বিচার set থেকে measurable set আলাদা করে (৬.৩), আর সব মিলিয়ে interval-দৈর্ঘ্য কীভাবে ধাপে ধাপে Lebesgue measure-এ পরিণত হয়ে Borel-কেও নিজের ভেতরে ধরে নেয় (৬.৪)।

৭ · অনুশীলনী¶

প্রতিটি প্রশ্নে difficulty tag (★ সহজ · ★★ মাঝারি · ★★★ চ্যালেঞ্জিং) ও একটি Hint: আছে। পূর্ণ সমাধান _solutions/07-02-sigma-algebra-measure-extension-solutions.md-এ। চেষ্টা না করে সমাধান দেখবেন না — নিজে হোঁচট খেয়ে তারপর মিলিয়ে নেওয়াটাই শেখার আসল অংশ। প্রশ্নগুলো চার দলে — ক ধারণাগত, খ গণনামূলক, গ প্রমাণভিত্তিক, ঘ কোডিং।

ক · ধারণাগত (conceptual)¶

প্রশ্ন ১ (★). $\mathbb N$-এর উপর সংগ্রহ $\mathcal A=\{A\subseteq\mathbb N : A \text{ সসীম, অথবা } A^c \text{ সসীম}\}$ ("finite-or-cofinite") বিবেচনা করুন। দেখান এটি একটা algebra (field) (অর্থাৎ $\mathbb N\in\mathcal A$, complement-বদ্ধ, এবং সসীম union-বদ্ধ), কিন্তু একটা σ-algebra নয় — একটা সুনির্দিষ্ট গণনাযোগ্য union দিয়ে ভাঙনটা দেখান। এই উদাহরণ algebra বনাম σ-algebra-র পার্থক্যকে কেন এত পরিষ্কারভাবে ধরে, এক বাক্যে লিখুন। Hint: জোড় সংখ্যাগুলোর সংগ্রহ $E=\{2,4,6,\dots\}$ ধরুন — প্রতিটি singleton $\{2k\}$ সসীম, তাই $\mathcal A$-তে; কিন্তু এদের গণনাযোগ্য union $E$ নিজে সসীমও নয়, এর complement (বিজোড়গুলো) সসীমও নয়। তাই $E\notin\mathcal A$।

প্রশ্ন ২ (★). "$\sigma(\mathcal G)$ হলো $\mathcal G$-কে ধারণকারী smallest σ-algebra" — এই "smallest" কথাটার সঠিক গাণিতিক অর্থ কী? কেন আমরা "$\mathcal G$ থেকে complement/union নিয়ে নিয়ে বানানো সব set-এর সংগ্রহ" না বলে "এমন সব σ-algebra-র intersection" বলি? আর "smallest" ভালোভাবে সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য কোন দুটো জিনিস সত্য হওয়া দরকার? Hint: "smallest" মানে দুই শর্ত একসঙ্গে — (i) $\sigma(\mathcal G)$ নিজে একটা σ-algebra যা $\mathcal G\supseteq$ ধারণ করে, এবং (ii) $\mathcal G$-কে ধারণকারী যেকোনো σ-algebra $\mathcal H$-এর জন্য $\sigma(\mathcal G)\subseteq\mathcal H$। $\sigma(\mathcal G)=\bigcap\{\mathcal H:\mathcal H\text{ σ-algebra},\ \mathcal G\subseteq\mathcal H\}$ — এই intersection-টা ফাঁকা নয় কারণ $2^\Omega$ সবসময় একটা প্রার্থী, আর σ-algebra-দের intersection আবার σ-algebra (§৪, প্রমাণ ২)।

প্রশ্ন ৩ (★★). continuity from above ($A_n\downarrow A \Rightarrow \mu(A_n)\to\mu(A)$) বিবৃতিতে কেন একটা বাড়তি শর্ত — কোনো-একটা $\mu(A_{n_0})<\infty$ — লাগে, অথচ continuity from below ($A_n\uparrow A \Rightarrow \mu(A_n)\to\mu(A)$)-তে এমন কোনো শর্ত লাগে না? একটা সুনির্দিষ্ট প্রতিউদাহরণ দিয়ে দেখান যেখানে শর্তটা ভাঙলে উপপাদ্যটাও ভাঙে। Hint: Lebesgue measure $\lambda$-তে $A_n=[n,\infty)$ নিন। তখন $A_n\downarrow\varnothing$, তাই $\mu(A)=\lambda(\varnothing)=0$; কিন্তু প্রতিটি $\lambda([n,\infty))=\infty$, তাই $\mu(A_n)\to\infty\ne 0$। প্রমাণে $\mu(A_{n_0}\setminus A_n)=\mu(A_{n_0})-\mu(A_n)$ লিখতে হয় — বিয়োগটা তখনই বৈধ যখন $\mu(A_{n_0})$ সসীম ($\infty-\infty$ অর্থহীন)।

খ · গণনামূলক (computational)¶

প্রশ্ন ৪ (★). $\Omega=\{1,2,3,4\}$, $A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$ ধরুন। $\sigma(\{A,B\})$-এর সব উপাদান হাতে লিখে তালিকা করুন এবং মোট সংখ্যা গুনুন। দেখান এই σ-algebra-টা চারটি atom (অবিভাজ্য ব্লক) দিয়ে গড়া, এবং ব্যাখ্যা করুন কেন atom-সংখ্যা $k$ হলে σ-algebra-র আকার ঠিক $2^k$ হয়। (তুলনা: $\sigma(\{A\})$-এর আকার কত?) Hint: প্রথমে চার atom বের করুন — $A\cap B,\,A\cap B^c,\,A^c\cap B,\,A^c\cap B^c$, অর্থাৎ $\{2\},\{1\},\{3\},\{4\}$। σ-algebra হলো এই atom-গুলোর সব union: $2^4=16$টি। আর $\sigma(\{A\})=\{\varnothing,A,A^c,\Omega\}$, ২ atom, আকার $2^2=4$।

প্রশ্ন ৫ (★). $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$-এর উপর দুটো measure: counting measure $\mu(E)=\lvert E\rvert$ (set-এর উপাদান-সংখ্যা), আর Dirac measure $\delta_3(E)=\mathbf 1\{3\in E\}$। নিচের প্রতিটি set-এ দুটো measure হিসাব করুন: $E_1=\{1,2,3\}$, $E_2=\{4,5\}$, $E_3=\varnothing$, $E_4=\Omega$। ফলাফল একটা ছোট টেবিলে সাজান, এবং এক বাক্যে বলুন কোনটা probability measure আর কোনটা নয় (এবং কেন)। Hint: $\mu(\{1,2,3\})=3$, $\mu(\{4,5\})=2$, $\mu(\varnothing)=0$, $\mu(\Omega)=5$; $\delta_3(\{1,2,3\})=1$, $\delta_3(\{4,5\})=0$, $\delta_3(\varnothing)=0$, $\delta_3(\Omega)=1$। $\delta_3(\Omega)=1$ তাই $\delta_3$ probability measure; counting-এ $\mu(\Omega)=5\ne 1$, তাই নয়।

প্রশ্ন ৬ (★★). continuity from below সংখ্যায় দেখুন। Lebesgue measure $\lambda$-তে $A_n=[0,1-\tfrac1n]$ ($n=1,2,3,\dots$) ধরুন। (ক) দেখান $A_n\uparrow A=[0,1)$, এবং $\lambda(A)=1$। (খ) $\lambda(A_n)=1-\tfrac1n$ সূত্রটি লিখে $n=1,2,5,100$-এর জন্য মান বের করে একটা টেবিল বানান, এবং দেখান $\lambda(A_n)\to 1$। (গ) এই উদাহরণে continuity from above-এর শর্ত ($\mu(A_{n_0})<\infty$) মানা হচ্ছে কি? — প্রশ্ন ৩-এর caveat-এর সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন। Hint: $n=1\to 0.0$, $n=2\to 0.5$, $n=5\to 0.8$, $n=100\to 0.99$; প্রতিটি $A_n$-ই bounded interval, তাই $\lambda(A_n)\le 1<\infty$ — শর্ত মানা; কিন্তু এখানে set-গুলো বাড়ছে (below), তাই continuity-from-below এমনিতেই শর্তহীন।

গ · প্রমাণভিত্তিক (proof-based)¶

প্রশ্ন ৭ (★★). ধরুন $\mathcal F$ একটা σ-algebra। কেবল তিন axiom ((σ1) $\Omega\in\mathcal F$, (σ2) complement-বদ্ধ, (σ3) গণনাযোগ্য union-বদ্ধ) থেকে প্রমাণ করুন যে $\mathcal F$ গণনাযোগ্য intersection-বদ্ধও — অর্থাৎ $A_1,A_2,\dots\in\mathcal F \Rightarrow \bigcap_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal F$। প্রতিটি ধাপে কোন axiom লাগছে তা স্পষ্ট করুন। Hint: De Morgan সূত্র: $\bigcap_n A_n=\big(\bigcup_n A_n^c\big)^c$। প্রতিটি $A_n^c\in\mathcal F$ (σ2), তাই $\bigcup_n A_n^c\in\mathcal F$ (σ3), তাই তার complement $\bigcap_n A_n\in\mathcal F$ (σ2 আবার)।

প্রশ্ন ৮ (★★). ধরুন $\mu$ একটা measure (অর্থাৎ $\mu(\varnothing)=0$ ও countable additivity)। শুধু countable additivity থেকে monotonicity প্রমাণ করুন: $A\subseteq B \Rightarrow \mu(A)\le\mu(B)$। (পথে আপনি দেখাবেন $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)$।) তারপর এক লাইনে যুক্ত করুন কেন এ থেকে $\mu(A)\le\mu(B)$ আসে। Hint: $B=A\sqcup(B\setminus A)$ একটা disjoint বিভাজন (যেখানে $B\setminus A=B\cap A^c$)। দুই-set additivity (countable additivity-র বিশেষ ক্ষেত্র, বাকিগুলো $\varnothing$) দেয় $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)$; যেহেতু $\mu(B\setminus A)\ge 0$, তাই $\mu(B)\ge\mu(A)$।

প্রশ্ন ৯ (★★★). ধরুন $\{\mathcal F_i\}_{i\in I}$ একটা পরিবার σ-algebra (একই $\Omega$-এর উপর, $I$ যেকোনো — সসীম, গণনাযোগ্য বা অগণনীয় index-set)। প্রমাণ করুন তাদের intersection $\mathcal F=\bigcap_{i\in I}\mathcal F_i$ আবার একটা σ-algebra। এই ফলটাই কেন $\sigma(\mathcal G)$-কে সুসংজ্ঞায়িত করে — শেষে এক বাক্যে ব্যাখ্যা করুন। (এর উল্টোটা সত্য নয় কেন — দুই σ-algebra-র union সাধারণত σ-algebra নয় — সংক্ষেপে মন্তব্য করুন।) Hint: তিন axiom এক-এক করে যাচাই করুন। (σ1) প্রতিটি $\mathcal F_i$-তে $\Omega$ আছে, তাই $\Omega\in\bigcap_i\mathcal F_i$। (σ2) $A\in\mathcal F\Rightarrow$ প্রতিটি $i$-তে $A\in\mathcal F_i\Rightarrow A^c\in\mathcal F_i\ \forall i\Rightarrow A^c\in\mathcal F$। (σ3) একইভাবে union-এর জন্য। সংজ্ঞাগতভাবে $\sigma(\mathcal G)=\bigcap\{\mathcal H\supseteq\mathcal G:\mathcal H\text{ σ-algebra}\}$ — এই intersection এখন প্রমাণিতভাবে একটা σ-algebra, তাই "smallest" অর্থপূর্ণ।

ঘ · কোডিং (coding)¶

প্রশ্ন ১০ (★). একটা σ-algebra closure generator লিখুন: input একটা সসীম $\Omega$ (যেমন frozenset) আর কয়েকটা generator-set; output হলো $\sigma(\mathcal G)$ — অর্থাৎ generator-গুলো থেকে শুরু করে $\varnothing,\Omega$ যোগ করে, বারবার complement ও pairwise union নিয়ে যতক্ষণ নতুন set না আসে ততক্ষণ বাড়ানো। দিয়ে যাচাই করুন: $\Omega=\{1,2,3,4\}$, $\mathcal G=\{\{1,2\}\}$ দিলে আকার ৪; $\mathcal G=\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ দিলে আকার ১৬। Hint: set-of-frozensets-এ closure: একটা while changed: লুপে প্রতিটি জোড়ার union আর প্রতিটির complement (Omega - S) যোগ করতে থাকুন; আকার আর না বাড়লে থামুন। (সসীম $\Omega$-তে complement+finite-union closure-ই যথেষ্ট, countable union আলাদা লাগে না।)

প্রশ্ন ১১ (★★). Monte-Carlo দিয়ে Lebesgue measure আনুমান করুন। numpy-র default_rng(20260619) দিয়ে $[0,1]$-এ $N=10^6$টি uniform বিন্দু ফেলে $A=[0,\tfrac13]\cup[\tfrac12,1]$-এ পড়া ভগ্নাংশ দিয়ে $\lambda(A)$ আনুমান করুন। সত্য মান $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56\approx 0.8333$-এর সঙ্গে মেলান। (নিজের আনুমানটি $\approx 0.8335$ পাওয়ার কথা।) এক বাক্যে বলুন কেন এই "ভগ্নাংশ = measure" পদ্ধতি কাজ করে (LLN-এর সঙ্গে যোগসূত্র)। Hint: x = rng.random(N); inA = (x <= 1/3) | (x >= 0.5); est = inA.mean()। কাজ করে কারণ $\mathbb E[\mathbf 1_A(U)]=\lambda(A)$ (uniform-এ), আর sample mean → expectation (LLN, 3.3); দ্রষ্টব্য $N=10^6$-এ error $\sim 10^{-4}$।

প্রশ্ন ১২ (★★). continuity from below সংখ্যায় চিত্রিত করুন। $A_n=[0,1-\tfrac1n]$ ধরে $n=1,\dots,200$-এর জন্য $\lambda(A_n)=1-\tfrac1n$ হিসাব করে $n$-এর বিপরীতে plot করুন, এবং $\lambda(A)=\lambda([0,1))=1$-এ একটা অনুভূমিক রেখা টানুন; দেখান curve-টা $1$-এর দিকে উঠছে। সঠিকতার চেক হিসেবে $n=1,2,5,100$-এ মানগুলো ছাপুন এবং প্রত্যাশিত $0.0,0.5,0.8,0.99$-এর সঙ্গে মেলান। (চাইলে Monte-Carlo দিয়ে প্রতিটি $\lambda(A_n)$ স্বাধীনভাবে যাচাই করে analytic মানের পাশে আঁকুন।) Hint: n = np.arange(1, 201); lam = 1 - 1/n; plt.plot(n, lam); plt.axhline(1, ls='--'); চেক: for k in (1,2,5,100): print(k, 1-1/k)। Monte-Carlo সংস্করণে default_rng(20260619) দিয়ে প্রতিটি $A_n$-এ uniform বিন্দুর ভগ্নাংশ নিন।

৮ · সারসংক্ষেপ ও সংযোগ¶

মূল পয়েন্ট (recap):

σ-algebra $\mathcal F$ = পরিমাপযোগ্য ঘটনার পরিবার। $\Omega$-এর subset-দের এমন একটা সংগ্রহ যা $\Omega$ ধারণ করে এবং complement ও গণনাযোগ্য union-এ বদ্ধ — যেখান থেকে $\varnothing$, গণনাযোগ্য intersection ও set-difference-এর বদ্ধতা আপনিই আসে। ছোট্ট $\{\varnothing,\Omega\}$ থেকে বিশাল $2^\Omega$ পর্যন্ত, আর কাজের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণটা Borel $\mathcal B(\mathbb R)=\sigma(\text{open sets})$ — একটা generator $\mathcal G$ থেকে "smallest σ-algebra containing $\mathcal G$" রূপে গড়া ($\sigma(\mathcal G)$, যা সব এমন σ-algebra-র intersection বলে সুসংজ্ঞায়িত)। হাতে-গোনা উদাহরণ: $\sigma(\{A\})$-এর আকার $4$, $\sigma(\{A,B\})$-এর আকার $16$ (চার atom)।
measure $\mu$ = সেই পরিবারে আকার, যা limit-বান্ধব। $\mu:\mathcal F\to[0,\infty]$, $\mu(\varnothing)=0$ ও countable additivity — আর এই একটা শর্ত থেকেই আপনিই বেরোয় monotonicity ($A\subseteq B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)$), countable subadditivity, এবং দু-দিকের continuity: নিচ থেকে ($A_n\uparrow A\Rightarrow\mu(A_n)\to\mu(A)$, শর্তহীন — যেমন $\lambda([0,1-\tfrac1n])=1-\tfrac1n\to 1$) ও উপর থেকে ($A_n\downarrow A\Rightarrow\mu(A_n)\to\mu(A)$, কিন্তু কোনো-একটা $\mu(A_{n_0})<\infty$ লাগে — নয়তো $\lambda([n,\infty))=\infty\not\to 0$ ভাঙন)। বিশেষ রূপ probability measure ($\mu(\Omega)=1$); উদাহরণ counting ($\mu(\{1,2,3\})=3$), Dirac $\delta_x$, Lebesgue $\lambda$, discrete pmf।
Carathéodory length→Lebesgue পর্যন্ত প্রসারিত করে। একটা algebra-র উপর premeasure → outer measure $\mu^*$ (গণনাযোগ্য cover-এর মোট-আকারের infimum) → Carathéodory criterion ($E$ measurable iff সব $A$-র জন্য $\mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)$) → Carathéodory extension theorem: premeasure একটামাত্রভাবে measure-এ প্রসারিত হয়, আর measurable set-রা একটা complete σ-algebra গড়ে। এই মেশিন interval-দৈর্ঘ্যকে Lebesgue measure-এ পরিণত করে ($\lambda([a,b])=b-a$, translation-invariant, Lebesgue σ-algebra $\supseteq$ Borel)। সংখ্যায়: $\lambda([0,1])=1$, $\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=0$, $\lambda(\text{Cantor})=0$।
π–λ একটা measure-কে একটা π-system দিয়ে pin করে। Dynkin-এর π–λ theorem দেয় uniqueness — দুই (σ-finite) measure যদি একটা π-system-এ (intersection-বদ্ধ generator, যেমন interval $(-\infty,x]$) মিলে যায়, তবে গোটা $\sigma(\text{π-system})$-এ মেলে। ফল: CDF একটা probability law-কে সম্পূর্ণ নির্ধারণ করে।

মূল সংজ্ঞা/তথ্য (এক নজরে):

বস্তু	সংজ্ঞা/তথ্য
σ-algebra	$\Omega\in\mathcal F$; $A\in\mathcal F\Rightarrow A^c\in\mathcal F$; $A_n\in\mathcal F\Rightarrow\bigcup_n A_n\in\mathcal F$
generated $\sigma(\mathcal G)$	$\mathcal G$-কে ধারণকারী সব σ-algebra-র intersection (smallest)
Borel $\mathcal B(\mathbb R)$	$\sigma(\text{open sets})=\sigma(\text{open intervals})=\sigma((-\infty,x])$
measure	$\mu(\varnothing)=0$, countable additivity $\mu(\bigsqcup_n A_n)=\sum_n\mu(A_n)$
continuity below/above	$A_n\uparrow A\Rightarrow\mu(A_n)\to\mu(A)$; $A_n\downarrow A,\ \mu(A_{n_0})<\infty\Rightarrow\mu(A_n)\to\mu(A)$
Carathéodory criterion	$E$ measurable iff $\mu^(A)=\mu^(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\ \forall A$
extension theorem	premeasure → একমাত্র measure on $\sigma(\mathcal A)$; measurable set-রা complete σ-algebra
π–λ uniqueness	π-system-এ মিললে দুই (σ-finite) measure সর্বত্র মেলে ⇒ CDF law নির্ধারণ করে
canonical সংখ্যা	$\lvert\sigma(\{A\})\rvert=4$, $\lvert\sigma(\{A,B\})\rvert=16$; $\lambda([0,1])=1$, $\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=0$, $\lambda(\text{Cantor})=0$; $\mu(\{1,2,3\})=3$

পূর্ববর্তী সংযোগ:

← 7.1 (Why Measure Theory?): এই অধ্যায় ঠিক সেই ফাটলগুলোর মেরামত। Vitali set দেখিয়েছিল $2^{\mathbb R}$ domain হতে পারে না — তাই এখানে domain-কে σ-algebra-তে সীমিত করা হলো; আর 7.1-এর outer measure $\lambda^*$ ("ঢেকে মাপা")-ই এখানে Carathéodory-নির্মাণের আনুষ্ঠানিক চাবি ($\mu^*$ → measurable set → measure)।
← 2.1 (Kolmogorov axioms): 2.1-এর তিন স্বতঃসিদ্ধ ($\mathbb P(A)\ge 0$, $\mathbb P(\Omega)=1$, additivity) এখন আর স্বজ্ঞাগত নয় — "event" মানে σ-algebra $\mathcal F$-এর সদস্য, "additivity" মানে countable additivity, আর $\mathbb P$ মানে একটা measure যার মোট ভর $1$। অর্থাৎ এই অধ্যায় Kolmogorov-কে rigorous করে।
← 0.1 (Sets & logic): σ-algebra-র axiom, $\sigma(\mathcal G)$ ("smallest = intersection of all such"), De Morgan, countable বনাম uncountable, power set $2^\Omega$ — সবই সরাসরি 0.1-এর set-অপারেশন ও যুক্তির উপর দাঁড়িয়ে।

পরবর্তী সংযোগ:

→ 7.3 (Measurable maps / random variables): এই $(\Omega,\mathcal F)$-এর উপর $X:\Omega\to\mathbb R$ কখন measurable — প্রতিটি Borel set-এর preimage $X^{-1}(B)\in\mathcal F$; এটাই random variable-এর কঠোর সংজ্ঞা, এবং π–λ ব্যবহার করে দেখানো হবে generator (যেমন $(-\infty,x]$)-এ পরীক্ষা করলেই যথেষ্ট।
→ 7.4 (Lebesgue integral): এই measure $\mu$-এর সাপেক্ষে $\int X\,d\mu$ — simple function থেকে সাজিয়ে; এবং তিন convergence theorem (MCT, Fatou, DCT) যা 7.1-এর C2/C4 ফাটল সম্পূর্ণ সারায়।
→ 7.6 (Independence of σ-algebras): "তথ্যের পরিমাণ = σ-algebra" ভাবনা এখানে independence ও Kolmogorov 0–1 law-এ পরিণত হয়।
→ 7.7–7.8 (Conditional expectation ও Martingale): σ-algebra-কে "তথ্য" ভেবে $\mathbb E[X\mid\mathcal G]$ (Radon–Nikodym / $L^2$-projection) ও filtration $(\mathcal F_n)$-এর উপর martingale গড়া — measure-তাত্ত্বিক probability-র দুই মুকুট-রত্ন।
→ 7.10 (Rigorous CLT): characteristic function ও weak convergence দিয়ে CLT-এর পূর্ণ, কঠোর প্রমাণ — Part VII-এর চূড়া।

সূত্র (source): Klenke, Probability Theory: A Comprehensive Course, Ch. 1 (§1.1–1.4) — §1.1 σ-algebra ও generated σ-algebra (π/λ-system সহ); §1.2 premeasure, content ও measure-এর ধর্ম; §1.3 Carathéodory outer measure ও extension theorem; §1.4 Lebesgue measure-নির্মাণ।

এক বাক্যে। এই অধ্যায় দুটো প্রশ্নের উত্তরে rigorous probability space $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ গড়ে — কোন set measurable (⇒ σ-algebra, complement ও গণনাযোগ্য union-বদ্ধ) এবং interval-দৈর্ঘ্যকে সেই পরিবারে কীভাবে একমাত্রভাবে প্রসারিত করা যায় (⇒ outer measure + Carathéodory extension → Lebesgue, আর π–λ দিয়ে একটা π-system/CDF গোটা measure পিন করে)।

\(n\)	\(A_n=[0,1-\tfrac1n]\)	\(\lambda(A_n)=1-\tfrac1n\)
\(1\)	\([0,0]\)	\(0.0\)
\(2\)	\([0,0.5]\)	\(0.5\)
\(5\)	\([0,0.8]\)	\(0.8\)
\(100\)	\([0,0.99]\)	\(0.99\)

set \(A\)	\(\mu_{\#}(A)=\lvert A\rvert\)	\(\delta_2(A)=\mathbf 1\{2\in A\}\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)
\(\{2\}\)	\(1\)	\(1\)
\(\{1,3\}\)	\(2\)	\(0\)
\(\{2,4\}\)	\(2\)	\(1\)
\(\{1,2,3\}\)	\(3\)	\(1\)
\(\Omega=\{1,2,3,4\}\)	\(4\)	\(1\)

অংশ	function	কী দেখায়	মূল ধারণা
১	`sigma_algebra()`	generator থেকে σ-algebra গড়ে \(4\) ও \(16\) সংখ্যা	closure
২	`is_sigma_algebra()`	valid → PASS, union-হারানো → FAIL	axiom
৩	`part3_continuity()`	\(1-1/n\to 1\), আর from-above ভাঙে	continuity
৪	`part4_monte_carlo()`	indicator-গড় \(=\) measure \(=0.8335\)	Lebesgue দৃষ্টি
৫	`part5_measures_from_pmf()`	counting/Dirac additive	measure

বস্তু	সংজ্ঞা/তথ্য
σ-algebra	\(\Omega\in\mathcal F\); \(A\in\mathcal F\Rightarrow A^c\in\mathcal F\); \(A_n\in\mathcal F\Rightarrow\bigcup_n A_n\in\mathcal F\)
generated \(\sigma(\mathcal G)\)	\(\mathcal G\)-কে ধারণকারী সব σ-algebra-র intersection (smallest)
Borel \(\mathcal B(\mathbb R)\)	\(\sigma(\text{open sets})=\sigma(\text{open intervals})=\sigma((-\infty,x])\)
measure	\(\mu(\varnothing)=0\), countable additivity \(\mu(\bigsqcup_n A_n)=\sum_n\mu(A_n)\)
continuity below/above	\(A_n\uparrow A\Rightarrow\mu(A_n)\to\mu(A)\); \(A_n\downarrow A,\ \mu(A_{n_0})<\infty\Rightarrow\mu(A_n)\to\mu(A)\)
Carathéodory criterion	\(E\) measurable iff \(\mu^(A)=\mu^(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\ \forall A\)
extension theorem	premeasure → একমাত্র measure on \(\sigma(\mathcal A)\); measurable set-রা complete σ-algebra
π–λ uniqueness	π-system-এ মিললে দুই (σ-finite) measure সর্বত্র মেলে ⇒ CDF law নির্ধারণ করে
canonical সংখ্যা	\(\lvert\sigma(\{A\})\rvert=4\), \(\lvert\sigma(\{A,B\})\rvert=16\); \(\lambda([0,1])=1\), \(\lambda(\mathbb Q\cap[0,1])=0\), \(\lambda(\text{Cantor})=0\); \(\mu(\{1,2,3\})=3\)